2021年湖南省常德市安乡县中考数学二模试卷（word版，含解析）

这是一份2021年湖南省常德市安乡县中考数学二模试卷（word版，含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年湖南省常德市安乡县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列各数中比﹣1小的数是（　　）
A．0 B．|﹣1| C．﹣ D．﹣
2．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A．＝±2 B．|a|≥a C．a2•a3＝a6 D．﹣12＝1
3．（3分）2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（　　）
A．5.19×10﹣2 B．5.19×10﹣3 C．519×105 D．519×10﹣6
4．（3分）下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆
5．（3分）在一次“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分数都是92分，甲的成绩方差是10，乙的成绩方差是2，下列说法正确的是（　　）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙二人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
6．（3分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．（3分）某公司生产的一种产品按照质量由高到低分为A，B，C，D四级，为了增加产量、提高质量，该公司改进了一次生产工艺，使得生产总量增加了一倍．为了解新生产工艺的效果，对改进生产工艺前、后的四级产品的占比情况进行了统计，绘制了如下扇形图：

根据以上信息，下列推断合理的是（　　）
A．改进生产工艺后，A级产品的数量没有变化
B．改进生产工艺后，B级产品的数量增加了不到一倍
C．改进生产工艺后，C级产品的数量减少
D．改进生产工艺后，D级产品的数量减少
8．（3分）小明使用图形计算器探究函数y＝的图象，他输入了一组a，b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a，b的值满足（　　）

A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
10．（3分）分解因式：x3﹣2x2+x＝　 　．
11．（3分）若代数式的值为0，则实数x的值是　 　．
12．（3分）某学校组织500名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比到植物园人数的2倍少10人，若设到植物园的人数为x人，依题意，可列方程为　 　．
13．（3分）如果≠0，那么代数式•（2m+n）的值是　 　．
14．（3分）如图点P（6，m）在反比例函数y＝图象上，PH⊥x轴于点H，则tan∠POH的值为　 　．

15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，AC＝BC，AD与CB交于点E．∠DAB＝20°，则∠E＝　 　．

16．（3分）记Sn＝a1+a2+…+an，令Tn＝称Tn为a1，a2，…，an这列数的“理想数”．已知a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，那么21，a1，a2，…，a500的“理想数”为　 　．
三、解答题（本题共72分，10个小题）
17．（5分）计算：（）﹣2﹣|﹣2|+（5+π）0﹣4sin60°．
18．（5分）下面是学生小伟设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l外一点A．
求作：直线AD，使得AD∥l．
作法：如图2，
①在直线l上任取一点B，连接AB；
②以点B为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于点C；
③分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D（不与点B重合）；
④作直线AD．
所以直线AD就是所求作的直线．
根据小伟设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）
证明：连接CD．
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴四边形ABCD是菱形　 　．
∴AD∥l　 　．

19．（6分）解不等式组并写出它的所有整数解．
20．（6分）关于x的方程mx2﹣2mx+m+n＝0有两个实数根．
（1）求实数m，n需满足的条件；
（2）写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
21．（7分）为了贯彻落实《关于开展全市义务教育学生体质抽测工作的通知》精神，推进青少年茁壮成长工程，我市决定继续开展市直初中生体质抽测工作．我校初三某班被抽中，已知各人选测项目为下列选项中的任意一项：引体向上（男生）、仰卧起坐（女生）、立定跳远（男女生），坐位体前屈（男女生）．
（1）求男生小磊抽测引体向上的概率；
（2）用树状图或列表法求男生小磊与女生小铭恰好都抽测坐位体前屈的概率．
22．（7分）已知直线y＝kx+3k与函数y＝（x＞0）交于A（3，2）．
（1）求k，m值．
（2）若直线y＝kx+3k与x轴交于点P，与y轴交于点Q．点B是y轴上一点，且S△ABQ＝2S△POQ．求点B的纵坐标．

23．（8分）如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）

24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BE是弦，点D是弦BE上一点，连接OD并延长交⊙O于点C，连接BC，过点D作FD⊥OC交⊙O的切线EF于点F．
（1）求证：∠CBE＝∠F；
（2）若⊙O的半径是2，点D是OC中点，∠CBE＝15°，求线段EF的长．

25．（10分）如图①，已知抛物线y＝ax2﹣4amx+3am2（a、m为参数，且a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．
（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；
（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tan∠ACB的值；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．

26．（10分）如图所示，在正方形ABCD中，点E为AB上一动点（不与A、B重合），连接DE交AC于点N，点F在边BC上，使得∠EDF＝45°，DF交AC于点M，连接EF．
（1）求证：MN2＝AN2+CM2；
（2）求证：DF平分∠EFC；
（3）在点E的运动中，请猜想FE与MN的数量关系，并证明你的结论．


2021年湖南省常德市安乡县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列各数中比﹣1小的数是（　　）
A．0 B．|﹣1| C．﹣ D．﹣
【分析】先比较每个数和﹣1的大小，再得出答案即可．
【解答】解：A．0＞﹣1，故本选项不符合题意；
B．|﹣1|＝1＞﹣1，故本选项不符合题意；
C．﹣＞﹣1，故本选项不符合题意；
D．﹣＜﹣1，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A．＝±2 B．|a|≥a C．a2•a3＝a6 D．﹣12＝1
【分析】分别根据算术平方根的定义，绝对值的性质，同底数幂的乘法法则以及相反数的定义逐一判断即可．
【解答】解：A.＝2，故本选项不合题意；
B．|a|≥a，故本选项符合题意；
C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
D．﹣12＝﹣1，故本选项不合题意；
故选：B．
3．（3分）2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（　　）
A．5.19×10﹣2 B．5.19×10﹣3 C．519×105 D．519×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00519＝5.19×10﹣3，
故选：B．
4．（3分）下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．（3分）在一次“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分数都是92分，甲的成绩方差是10，乙的成绩方差是2，下列说法正确的是（　　）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙二人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵甲，乙两位同学的平均分都是92分，
而甲的成绩方差是10，乙的成绩方差是0，
即甲的成绩方差大于乙的成绩方差，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定．
故选：B．
6．（3分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．
【解答】解：设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
三角形的周长为1+4+4＝9．
故选：C．
7．（3分）某公司生产的一种产品按照质量由高到低分为A，B，C，D四级，为了增加产量、提高质量，该公司改进了一次生产工艺，使得生产总量增加了一倍．为了解新生产工艺的效果，对改进生产工艺前、后的四级产品的占比情况进行了统计，绘制了如下扇形图：

根据以上信息，下列推断合理的是（　　）
A．改进生产工艺后，A级产品的数量没有变化
B．改进生产工艺后，B级产品的数量增加了不到一倍
C．改进生产工艺后，C级产品的数量减少
D．改进生产工艺后，D级产品的数量减少
【分析】设原生产总量为1，则改进后生产总量为2，所以原A、B、C、D等级的生产量为0.3、0.37、0.28、0.05，改进后四个等级的生产量为0.6、1.2、0.12、0.08，据此逐一判断即可得．
【解答】解：设原生产总量为1，则改进后生产总量为2，
所以原A、B、C、D等级的生产量为0.3、0.37、0.28、0.05，
改进后四个等级的生产量为0.6、1.2、0.12、0.08，
A．改进生产工艺后，A级产品的数量增加，此选项错误；
B．改进生产工艺后，B级产品的数量增加超过三倍，此选项错误；
C．改进生产工艺后，C级产品的数量减少，此选项正确；
D．改进生产工艺后，D级产品的数量增加，此选项错误；
故选：C．
8．（3分）小明使用图形计算器探究函数y＝的图象，他输入了一组a，b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a，b的值满足（　　）

A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【分析】由图象可知，当x＞0时，y＞0，可知a＞0；根据函数解析式自变量的取值范围可以知道x≠b，结合图象可以知道函数的x取不到的值大概是在1的位置，所以大概预测可以得b约为1，也即b＞0．
【解答】解：由图象可知，当x＞0时，y＞0，
∴a＞0；
∵x≠b，结合图象可以知道函数的x取不到的值大概是在1的位置，
∴b＞0．
故选：A．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠﹣　．
【分析】根据分母不等于0列出不等式，求解即可．
【解答】解：根据题意得3x+1≠0，
∴x≠﹣．
故答案为：x≠﹣．
10．（3分）分解因式：x3﹣2x2+x＝　x（x﹣1）2　．
【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
11．（3分）若代数式的值为0，则实数x的值是　2　．
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
∴x＝2．
故答案为：2．
12．（3分）某学校组织500名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比到植物园人数的2倍少10人，若设到植物园的人数为x人，依题意，可列方程为　x+（2x﹣10）＝500　．
【分析】根据到野生动物园的人数比到植物园人数的2倍少10人，某学校组织500名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设到植物园的人数为x人，
依题意，可列方程为：x+（2x﹣10）＝500，
故答案为：x+（2x﹣10）＝500．
13．（3分）如果≠0，那么代数式•（2m+n）的值是　　．
【分析】先化简该分式，再设＝k，则m＝3k、n＝2k，代入化简后的分式计算可得．
【解答】解：原式＝•（2m+n）＝，
设＝k，
则m＝3k、n＝2k，
所以原式＝＝＝，
故答案为：．
14．（3分）如图点P（6，m）在反比例函数y＝图象上，PH⊥x轴于点H，则tan∠POH的值为　　．

【分析】根据反比例函数的解析式求得P的坐标，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：∵点P（6，m）在反比例函数y＝图象上，
∴m＝＝4，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH＝4，OH＝6，
∴tan∠POH＝＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，AC＝BC，AD与CB交于点E．∠DAB＝20°，则∠E＝　25°　．

【分析】在Rt△BDE中，求出∠BDE即可解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝∠BDE＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵∠DAB＝20°，
∴∠ABD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠DBE＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
∴∠E＝90°﹣65°＝25°，
故答案为：25°．
16．（3分）记Sn＝a1+a2+…+an，令Tn＝称Tn为a1，a2，…，an这列数的“理想数”．已知a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，那么21，a1，a2，…，a500的“理想数”为　2008　．
【分析】本题先根据Tn＝得出n×Tn＝s1+s2+s3+..．+sn，再根据a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，得出T500＝2004，再设出新的“理想数”代入式子求值即可．
【解答】解：∵Tn＝，
∴n×Tn＝s1+s2+s3+..．+sn，
设新的“理想数”为Tx，
则501×Tx＝8×501+500×T500，
即Tx＝＝＝2008，
故答案为：2008．
三、解答题（本题共72分，10个小题）
17．（5分）计算：（）﹣2﹣|﹣2|+（5+π）0﹣4sin60°．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质化简进而得出答案．
【解答】解：原式＝9﹣2+1﹣2
＝8﹣2．
18．（5分）下面是学生小伟设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l外一点A．
求作：直线AD，使得AD∥l．
作法：如图2，
①在直线l上任取一点B，连接AB；
②以点B为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于点C；
③分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D（不与点B重合）；
④作直线AD．
所以直线AD就是所求作的直线．
根据小伟设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）
证明：连接CD．
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴四边形ABCD是菱形　四边相等的四边形是菱形　．
∴AD∥l　菱形的对边平行　．

【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据四边相等的四边形是菱形证明即可．
【解答】解：（1）如图2中，直线AD即为所求作．

（2）连接CD．
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）．
∴AD∥l（菱形的对边平行）．
故答案为：四边相等的四边形是菱形，菱形的对边平行．
19．（6分）解不等式组并写出它的所有整数解．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解即可．
【解答】解：原不等式组为
解不等式①得，．
解不等式②得，x＜2．
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的所有整数解为﹣1，0，1．
20．（6分）关于x的方程mx2﹣2mx+m+n＝0有两个实数根．
（1）求实数m，n需满足的条件；
（2）写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）先计算判别式得到△＝﹣4mn，根据非负数的性质得到△≥0，依此可得实数m，n需满足的条件；
（2）取m＝1，n＝0，则方程化为x2﹣2x+1＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）∵关于x的方程mx2﹣2mx+m+n＝0有两个实数根，
∴m≠0，
△＝（﹣2m）2﹣4m（m+n）＝﹣4mn≥0，
∴mn≤0．
∴实数m，n需满足的条件为mn≤0且m≠0．
（2）答案不唯一，如：m＝1，n＝0．
此时方程为x2﹣2x+1＝0．
解得x1＝x2＝1．
21．（7分）为了贯彻落实《关于开展全市义务教育学生体质抽测工作的通知》精神，推进青少年茁壮成长工程，我市决定继续开展市直初中生体质抽测工作．我校初三某班被抽中，已知各人选测项目为下列选项中的任意一项：引体向上（男生）、仰卧起坐（女生）、立定跳远（男女生），坐位体前屈（男女生）．
（1）求男生小磊抽测引体向上的概率；
（2）用树状图或列表法求男生小磊与女生小铭恰好都抽测坐位体前屈的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）将引体向上、仰卧起坐、立定跳远，坐位体前屈四个项目分别即为A、B、C、D，列表得出所有等可能结果，从中找到其中符合条件的结果，根据概率公式可得答案．
【解答】解：（1）男生小磊抽测引体向上的概率为；

（2）将引体向上、仰卧起坐、立定跳远，坐位体前屈四个项目分别即为A、B、C、D，
列表如下：

A
C
D
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（C，D）
（D，D）
由表可知，共有9种等可能结果，其中男生小磊与女生小铭恰好都抽测坐位体前屈的只有1种结果，
所以男生小磊与女生小铭恰好都抽测坐位体前屈的概率为．
22．（7分）已知直线y＝kx+3k与函数y＝（x＞0）交于A（3，2）．
（1）求k，m值．
（2）若直线y＝kx+3k与x轴交于点P，与y轴交于点Q．点B是y轴上一点，且S△ABQ＝2S△POQ．求点B的纵坐标．

【分析】（1）运用待定系数法即可求出k，m的值；
（2）由可得直线表达式为，进而求出点P、Q的坐标，再根据S△ABQ＝2S△POQ即可解答．
【解答】解：（1）由已知，直线y＝kx+3k与函数y＝交于A（3，2）
∴3k+3k＝2，，
解得k＝，m＝6；

（2）由（1），，故此直线表达式为，
令x＝0，则y＝1；令y＝0，则，x＝﹣3．
∴P（﹣3，0），Q（0，1）．
过点A作AD⊥y轴，垂足为D．

∵S△ABQ＝2S△POQ，
∴，即，
∴BQ＝2，
∴B点纵坐标为3或﹣1．
23．（8分）如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）

【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．
【解答】解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，
∵CD＝12米，∠DCE＝60°，
∴DE＝CD•sin60°＝12×＝6米，CE＝CD•cos60°＝12×＝6米．
∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，
∴四边形DEE′D′是矩形，
∴DE＝D′E′＝6米．
∵∠D′CE′＝39°，
∴CE′＝≈≈12.8，
∴EE′＝CE′﹣CE＝12.8﹣6＝6.8≈7（米）．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．

24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BE是弦，点D是弦BE上一点，连接OD并延长交⊙O于点C，连接BC，过点D作FD⊥OC交⊙O的切线EF于点F．
（1）求证：∠CBE＝∠F；
（2）若⊙O的半径是2，点D是OC中点，∠CBE＝15°，求线段EF的长．

【分析】（1）连接OE交DF于点H，根据切线的性质得：OE⊥EF，则∠F+∠EHF＝90°，根据垂直的定义得：∠DOH+∠DHO＝90°，所以∠F＝∠DOH，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得：∠CBE＝∠DOH，可得结论；
（2）先根据（1）得：∠DOH＝2∠CBE＝30°．根据特殊角的三角函数列式得：OH＝2，则，最后在Rt△FEH中，，代入可得结论．
【解答】（1）证明：连接OE交DF于点H，
∵EF是⊙O的切线，OE是⊙O的半径，
∴OE⊥EF．
∴∠F+∠EHF＝90°．
∵FD⊥OC，
∴∠DOH+∠DHO＝90°．
∵∠EHF＝∠DHO，
∴∠F＝∠DOH．
∵∠CBE＝∠DOH，
∴．
（2）解：∵∠CBE＝15°，
∴∠F＝∠COE＝2∠CBE＝30°．
∵⊙O的半径是，点D是OC中点，
∴．
在Rt△ODH中，cos∠DOH＝，
∴OH＝2．
∴．
在Rt△FEH中，．
∴．

25．（10分）如图①，已知抛物线y＝ax2﹣4amx+3am2（a、m为参数，且a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．
（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；
（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tan∠ACB的值；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）令y＝0，解方程ax2﹣4amx+3am2＝0，即可求出点B的坐标；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为点D，可得△BOC为等腰直角三角形，求出AD，CD，则tan∠ACB的值为；
（3）求出抛物线的解析式，分不同的情况：①当P在对称轴的左边，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标，②当P在对称轴的左边，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，则可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，则有ax2﹣4amx+3am2＝0，
解得：x1＝m，x2＝3m，
∵m＞0，A在B的左边，
∴B（3m，0）；
（2）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，

由（1）可知B（3m，0），则△BOC为等腰直角三角形，
∵OC＝OB＝3m，
∴BC＝3m，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝2m，
∴m，CD＝2m，
∴tan∠ACB＝；
（3）∵由题意知x＝2为对称轴，
∴2m＝2，
即m＝1，
∵在（2）的条件下有（0，3m），
∴3m＝3am2，
解得m＝，即a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
①当P在对称轴的左边，如图2，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m＝或，
∴P的坐标为（，）或（）；
②当P在对称轴的右边，
如图3，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：x＝或；
P的坐标为（）或（）；
综上所述，点P的坐标是：（）或（）或（）或（）．
26．（10分）如图所示，在正方形ABCD中，点E为AB上一动点（不与A、B重合），连接DE交AC于点N，点F在边BC上，使得∠EDF＝45°，DF交AC于点M，连接EF．
（1）求证：MN2＝AN2+CM2；
（2）求证：DF平分∠EFC；
（3）在点E的运动中，请猜想FE与MN的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）过点D作DH⊥DN，且使DH＝DN，连接MN、CH，证明△ADN≌△CDH（SAS），由全等三角形的性质得出AN＝CH，∠DAN＝∠DCH＝45°，证明△NDM≌△HDM（SAS），得出MN＝MH，由勾股定理得出结论；
（2）延长BC至点G，使CG＝AE，证明△DAE≌△DCG（SAS），由全等三角形的性质得出DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，证明△EDF≌△GDF（SAS），由全等三角形的性质得出∠EFD＝∠GFD，则可得出结论；
（3）连接BD，证明△BED∽△CMD，由相似三角形的性质得出，证明△DMN∽△DEF，由相似三角形的性质得出，则可得出结论．
【解答】（1）证明：过点D作DH⊥DN，且使DH＝DN，连接MN、CH，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵∠NDH＝90°，
∴∠ADN＝∠CDH，
∴△ADN≌△CDH（SAS），
∴AN＝CH，∠DAN＝∠DCH＝45°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠ADN+∠MDC＝45°，
∴∠CDH+∠MDC＝∠MDH＝45°，
∴∠NDM＝∠HDM，
又∵DM＝DM，
∴△NDM≌△HDM（SAS），
∴MN＝MH，
∵∠ACD＝45°，
∴∠MCH＝90°，
∴MH2＝CH2+CM2，
∴MN2＝AN2+MC2；
（2）证明：延长BC至点G，使CG＝AE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠DAE＝∠DCB＝∠ADC＝90°，
∴∠DAE＝∠DCG，
∴△DAE≌△DCG（SAS），
∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，
∵∠EDF＝45°，
∴∠ADE+∠FDC＝45°，
∴∠FDC+∠CDG＝∠FDG＝45°，
∴∠EDF＝∠FDG，
又∵DF＝DF，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴∠EFD＝∠GFD，
即DF平分∠EFC；
（3）解：EF＝MN．
证明：连接BD，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBE＝∠DCM＝45°，
又∵∠EDF＝∠BDC＝45°，
∴∠EDB＝∠MDC，
∴△BED∽△CMD，
∴，
∵∠NDM＝∠MCF＝45°，∠DMN＝∠CMF，
∴∠MFC＝∠DNM，
由（2）知∠MFC＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠DNM，
∵∠NDM＝∠EDF，
∴△DMN∽△DEF，
∴，
∴EF＝MN．