内蒙古巴彦淖尔市临河区2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份内蒙古巴彦淖尔市临河区2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年内蒙古巴彦淖尔市临河区九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（每题3分，本大题共10小题，共30.0分）
1．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（　　）
A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
2．某地2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元．设从2017年到2019年该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．1280（1+x）＝1600
B．1280（1+2x）＝1600
C．1280（1+x）2＝2880
D．1280（1+x）+1280（1+x）2＝2880
3．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1．当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＝1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1
4．抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2可由抛物线y＝﹣2x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
5．已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）

A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．
7．二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
8．已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1、x2，则的值为（　　）
A．﹣3 B． C．1 D．
9．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2上有三点A（﹣1，y1），B（，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3从小到大是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2
10．关于二次函数y＝﹣4（x+1）2+3的说法正确的有（　　）
①顶点的坐标为（1，3）；
②对称轴为x＝﹣1；
③x＜﹣1时，y随x的增大而增大；
④函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）．
A．1个 B．2 C．3 D．4个
二、填空题（每题3分，本大题共6小题，共18.0分）
11．已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p＝0的一个根，则p的值为　 　．
12．关于x的方程（a﹣1）x+x﹣3＝0是一元二次方程，则a＝　 　．
13．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4＝0有一个根为零，则m的值为　 　．
14．抛物线y＝4x2+2x+m的顶点在x轴上，则m＝　 　．
15．点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x﹣1的图象上，若当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，则y1与y2的大小关系是y1　 　y2．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
16．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么设小道进出口的宽度为x米，列方程是 　 　．

三、计算题（本大题共1小题，每小题20分，共20.0分）
17．（20分）解方程：
（1）25（x﹣5）2＝16；
（2）6x2﹣11x+4＝2x﹣2；
（3）3x2+5（2x+1）＝0；
（4）（x﹣2）2＝3（x﹣2）．
四、解答题
18．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．
19．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度米的B处．小丁此次投掷的成绩是多少米？

20．某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？

21．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并给予证明．
（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（每题3分，本大题共10小题，共30.0分）
1．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（　　）
A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
【分析】根据配方法的步骤进行配方即可．
解：
移项得：x2+6x＝5，
配方可得：x2+6x+9＝5+9，
即（x+3）2＝14，
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握配方法的步骤是解题的关键．
2．某地2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元．设从2017年到2019年该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．1280（1+x）＝1600
B．1280（1+2x）＝1600
C．1280（1+x）2＝2880
D．1280（1+x）+1280（1+x）2＝2880
【分析】设年平均增长率为x，根据：2017年投入资金给×（1+增长率）2＝2019年投入资金，列出方程即可；
解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意得：
1280（1+x）2＝2880，
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程是解题的关键．
3．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1．当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＝1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
解：二次函数y＝（x﹣m）2﹣1的对称轴为直线x＝m，
∵当x≤l时，y随x的增大而减小，
∴m≥1，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
4．抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2可由抛物线y＝﹣2x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】先根据二次函数的性质得两抛物线的顶点坐标，然后通过顶点的平移可确定抛物线的平移．
解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），因为点（0，0）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到点（﹣1，﹣2），所以把抛物线y＝﹣2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位可得抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：∵点P（a，c）在第二象限，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）

A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0；
B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；
C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；
D、错误，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴﹣＞0．
故选：D．
【点评】主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
7．二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
【分析】根据函数图象求出与x轴的交点坐标，再由图象得出答案．
解：由x2﹣x﹣2＝0可得，x1＝﹣1，x2＝2，
观察函数图象可知，当﹣1＜x＜2时，函数值y＜0．
故选：C．
【点评】此类题可用数形结合的思想进行解答．
8．已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1、x2，则的值为（　　）
A．﹣3 B． C．1 D．
【分析】由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．
解：由一元二次方程根与系数的关系得，
x1+x2＝3，x1x2＝2，
∴
＝
＝
＝，
故选：D．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2上有三点A（﹣1，y1），B（，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3从小到大是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2
【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答．
解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的对称轴是直线x＝1，
∴x＝﹣1时的函数值与x＝3时的函数值相等，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵＜2＜3，
∴y1＜y3＜y2，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．关于二次函数y＝﹣4（x+1）2+3的说法正确的有（　　）
①顶点的坐标为（1，3）；
②对称轴为x＝﹣1；
③x＜﹣1时，y随x的增大而增大；
④函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）．
A．1个 B．2 C．3 D．4个
【分析】因为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对称轴为x＝h，直接叙述其性质即可．
解：二次函数y＝﹣4（x+1）2+3的顶点的坐标为（﹣1，3），①错误；
对称轴为x＝﹣1，②正确；
开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，③正确；
函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），④错误，
故选：B．
【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．
二、填空题（每题3分，本大题共6小题，共18.0分）
11．已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p＝0的一个根，则p的值为　12　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入方程x2+4x﹣p＝0得到关于p的一元一次方程，然后解此方程即可．
解：把x＝2代入方程x2+4x﹣p＝0，得4+8﹣p＝0，解得p＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．
12．关于x的方程（a﹣1）x+x﹣3＝0是一元二次方程，则a＝　﹣1　．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出a2+1＝2且a﹣1≠0，进而得出答案．
解：∵关于x的方程（a﹣1）x+x﹣3＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
13．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4＝0有一个根为零，则m的值为　﹣4　．
【分析】根据条件，把x＝0代入原方程可求m的值，注意二次项系数m﹣1≠0．
解：依题意，当x＝0时，原方程为m2+3m﹣4＝0，
解得m1＝﹣4，m2＝1，
∵二次项系数m﹣1≠0，即x≠1，
∴m＝﹣4．
故本题答案为：﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程解的定义．方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．
14．抛物线y＝4x2+2x+m的顶点在x轴上，则m＝　　．
【分析】根据抛物线y＝4x2+2x+m的顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标是0，即＝0，代入数据计算即可得到m的值．
解：∵抛物线y＝4x2+2x+m的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得，m＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15．点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x﹣1的图象上，若当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，则y1与y2的大小关系是y1　＜　y2．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
解：由二次函数y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5可知，其图象开口向上，且对称轴为x＝2，
∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，
∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
16．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么设小道进出口的宽度为x米，列方程是 　（30﹣2x）（20﹣x）＝532　．

【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．
解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，
故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）＝532．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为532m2找到正确的等量关系并列出方程．
三、计算题（本大题共1小题，每小题20分，共20.0分）
17．（20分）解方程：
（1）25（x﹣5）2＝16；
（2）6x2﹣11x+4＝2x﹣2；
（3）3x2+5（2x+1）＝0；
（4）（x﹣2）2＝3（x﹣2）．
【分析】（1）利用直接开平方法求解比较简便；
（2）先整理方程，利用因式分解（十字相乘）法求解比较简便；
（3）先整理方程，利用求根公式求解比较简便；
（4）先移项，利用因式分解（提公因式）法求解比较简便．
解：（1）25（x﹣5）2＝16，
∴（x﹣5）2＝．
∴x﹣5＝．
∴x＝5±．
∴x1＝，x2＝；
（2）6x2﹣11x+4＝2x﹣2，
移项并整理，得6x2﹣13x+6＝0，
∴（2x﹣3）（3x﹣2）＝0．
∴2x﹣3＝0，或3x﹣2＝0．
∴x1＝，x2＝；
（3）3x2+5（2x+1）＝0，
整理，得3x2+10x+5＝0，
这里a＝3，b＝10，c＝5，
b2﹣4ac＝100﹣4×3×5＝40．
∴x＝
＝
＝．
∴x1＝，x2＝；
（4）（x﹣2）2＝3（x﹣2），
移项，得（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0．
∴x﹣2＝0或x﹣5＝0．
∴x1＝2，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的直接开平方法、公式法和因式分解法的一般步骤是解决本题的关键．
四、解答题
18．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．
【分析】已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．
解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），
设此二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
把点（2，3）代入解析式，得：
a﹣2＝3，即a＝5，
∴此函数的解析式为y＝5（x﹣1）2﹣2．
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，关键是掌握若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．
19．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度米的B处．小丁此次投掷的成绩是多少米？

【分析】由点A、B的坐标求出函数表达式y＝﹣（x﹣3）2+，令y＝0，即可求解．
解：建立平面直角坐标系如图所示．

则点A的坐标为（0，），顶点为B（3，）．
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+，
∵点A（0，）在抛物线上，
∴a（0﹣3）2+＝，
解得a＝﹣．
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣3）2+
令y＝0，则﹣（x﹣3）2+＝0，
解得x＝8或x＝﹣2（不合实际，舍去）．
即OC＝8．
答：小丁此次投掷的成绩是8米．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，通过建立坐标系，确定相应点的坐标即可求解．
20．某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？

【分析】设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28﹣2x）米，根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为12米，即可得出结论．
解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28﹣2x）米，
依题意，得：x（28﹣2x）＝80，
整理，得：x1＝4，x2＝10．
当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不符合题意，舍去；
当x＝10时，28﹣2x＝8，符合题意．
答：这个花圃的长为10米，宽为8米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量＝425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x1＝13，x2＝25（舍去），
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并给予证明．
（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据抛物线的对称性得到点B的坐标为（﹣3，0），故设抛物线为两点式方程y＝a（x﹣1）（x+3），把点C的坐标代入即可求得a的值；利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；
（2）过D作DT⊥y轴于T，则可求得∠DCT＝45°，∠BCO＝45°，则可判断△BCD的形状利；
（3）可设出P（﹣1，t），则可分别表示出AP、CP、AC的长度，分AP＝CP、AP＝AC和CP＝AC三种情况分别可得到关于t的方程，可求得P点坐标．
解：
（1）点A（1，0）关于x＝﹣1的对称点B（﹣3，0），
设过A（1，0）、B（﹣3，0）的抛物线为y＝a（x﹣1）（x+3），
该抛物线又过C（0，3）有：3＝﹣3a，解得a＝﹣1
即y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，顶点D为（﹣1，4）；
（2）△DCB为直角三角形，
理由如下：
过D点，作DT⊥y轴于T，如图1，
则T（0，4）．
∵DT＝TC＝1，
∴△DTC为等腰直角三角形，
∴∠DCT＝45°，
同理可证∠BCO＝45°，
∴∠DCB＝90°，
∴△DCB为直角三角形；
（3）设P（﹣1，t），
∵A（1，0），C（0，3），
∴AP2＝（1+1）2+t2＝4+t2，CP2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，AC2＝12+32＝10，
∵△APC为等腰三角形，
∴有AP＝CP、AP＝AC和CP＝AC三种情况，
①当AP＝CP时，则有AP2＝CP2，即4+t2＝t2﹣6t+10，解得t＝1，此时P（﹣1，1）；
②当AP＝AC时，则有AP2＝AC2，即4+t2＝10，解得t＝±，此时P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；
③当CP＝AC时，则有CP2＝AC2，即t2﹣6t+10＝10，解得t＝0或t＝6，此时P（﹣1，0）或P（﹣1，6）（此时P、A、C三点共线，故舍去）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，0）．

【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法、直角三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意抛物线解析式三种形式的灵活运用，在（2）中证得∠DCB为直角是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出AP、CP的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．