2023-2024学年湖南省邵阳市邵东县湘郡铭志学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年湖南省邵阳市邵东县湘郡铭志学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 绿色饮品 B. 绿色食品
C. 有机食品 D. 速冻食品

2.下列由、、三边组成的三角形不是直角三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、

3.如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，下列结论不一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.关于点，下列说法正确的个数有(    )
点到轴的距离为；
点到轴的距离为；
点在第四象限；
点到原点的距离为；
点关于轴的对称点的坐标是．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.一次数学测试后，某班名学生的成绩被分为组，第组的频数分别是，，，，第组的频率为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.若反比例函数的图形位于第二四象限，则的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

7.一元二次方程根的情况为(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

8.年我校一本上线人，年一本上线人，设平均每年一本上线人数的增长率为，依题意列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于若我们规定一个新数“”，使其满足即方程有一个根为并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.已知一次函数的图象经过点，则的值为______ ．

12.把方程利用配方法配成的形式是______．

13.反比例函数的图象经过点、及，则 ______ ．

14.如图，菱形中，，对角线，则菱形的周长等于______ ．

15.方程的两根为、，则的值为______．

16.已知点在反比例函数的图象上，则当时，的取值范围是______ ．

17.如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路两条道路各与矩形的一条平行，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为，则根据题意，可列方程为____．

 

18.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上，对角线轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点若点，，则的值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.先化简，再求值：，其中满足方程：．

四、解答题（本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.本小题分
用适当的方法解下列方程解方程：
；
．

21.本小题分
已知函数是反比例函数，求的值．

22.本小题分

如图，在▱中，、为对角线上的两点，且，求证：．

23.本小题分

为了方便孩子入学，小王家购买了一套学区房，交首付款万元，剩余部分向银行贷款，贷款及贷款利息按月分期还款，每月还款数相同．计划每月还款万元，个月还清贷款，若是的反比例函数，其图象如图所示：
求与的函数解析式；
若小王家计划个月年还清贷款，则每月应还款多少万元？

24.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点．
求反比例函数的解析式；
若点在轴上，且的面积为，求点的坐标．

 

25.本小题分
已知平行四边形的两邻边、的长是关于的方程的两个实数根．
当为何值时，平行四边形是菱形？
若的长为，那么平行四边形的周长是多少？

26.本小题分
阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，但变形一定要保证恒等，即配方前后式子的值不变．
例如：
解方程，则有，，解得，．
已知，求，的值，则有，，解得，，
根据以上材料解答下列各题：
若，求的值；
无论取何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根；
解方程：；
若，，表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图形重合．

2.【答案】 

【解析】解：、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
D、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，，，，
，
不能得到，
故选：．
由平行四边形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：
如图所示：点到轴的距离为，故正确；
点到轴的距离为，故错误；
点在第二象限，故错误；
点到轴的距离为，点到轴的距离为，根据勾股定理可得，点到原点的距离为，故正确；
点关于轴的对称点的坐标是，故正确．
所以正确的个数有个．
故选：．
根据已知点所在象限，画出图形，进而分析得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确确定点位置是解题关键．

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
解得．
故选：．
根据频率公式：频率即可求解．
本题考查了频率的计算公式，理解公式是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选C．
根据反比例函数的性质即可确定的符号，从而求解．
本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限；，反比例函数图象在第二、四象限内．

7.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

8.【答案】 

【解析】解：设平均每年一本上线人数的增长率为，依题意列方程为．
故选：．
一般用增长后的量增长前的量增长率，年一本上线人数为万元，年一本上线人数为万元，即可列出方程．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为．

9.【答案】 

【解析】解：已知，，是方程的两根，
，
，，
，，
，
故选：．
根据根与系数的关系求出和的值，再相加即可得到答案．
本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，牢记，是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：根据题中规定可知，
，
即连续四个式子的和为，
又余，
所以原式．
故选：．
根据题中对的规定可知，的值为零，据此可解决问题．
本题考查规定新数的运算规律，能根据题中所给信息发现从第一项开始的连续四项的和为零是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：把点代入，得，
解得．
故答案为：．
把点的坐标代入一次函数解析式求出即可．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，是一道比较典型的题目．

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
先把常数项移到方程右边，方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：设反比例函数解析式为，
把点代入得，
所以反比例函数解析式为，
把、分别代入得，，
解得，，
所以．
故答案为：．
设反比例函数解析式为，先把点代入求出的值，确定反比例函数解析式为，然后把、分别求出、，再计算．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的横纵坐标之积为．

14.【答案】 

【解析】解：，
为等边三角形

菱形的周长为，
故答案为．
由已知可得为等边三角形，从而求得菱形的边长，再根据周长公式计算即可．
此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定．

15.【答案】 

【解析】解：方程的两根为、，
，
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．

16.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
函数解析式为，
图象位于一、三象限，如图，

在每个象限内，随的增大而减小，
当时，，
则当时，．
故答案为：．
根据点在反比例函数的图象上，求出的值，得到反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求解即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，求出反比例函数解析式是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解本题的关键．把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】
解：道路的宽应为米，
由题意得，，
故答案为．

18.【答案】 

【解析】【分析】
根据平行于轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设利用矩形的性质得出为中点，根据线段中点坐标公式得出由勾股定理得，列出方程，求出，得到点坐标，代入，利用待定系数法求．
【解答】
解：轴，
、两点纵坐标相同，都为
可设
矩形的对角线的交点为
为中点，



，，

解得

反比例函数的图象经过点

故答案为．

19.【答案】解：


，
满足方程，
，
解得：，，
当时，原式的分母为，故舍去；
当时，原式． 

【解析】将原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并后利用平方差公式分解因式，然后将除式的分子利用完全平方公式分解因式，并利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后求出满足方程的解，将满足题意的的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式时，应先将多项式分解因式后再约分，此外分式的化简求值题，要先将原式化为最简再代值．本题注意根据分式的分母不为，将舍去．

20.【答案】解：，
，
或，
，；
．
，
，
或， 

【解析】利用直接开平方法求解比较简便；
利用配方法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、配方法法是解决本题的关键．

21.【答案】解：是反比例函数，
且，
解得：． 

【解析】利用反比例函数定义可得且，再解即可．
此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握反比例函数的形式为为常数，或为常数，．

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
又已知，
≌，
． 

【解析】先由平行四边形的性质得出，，再加上已知可推出≌，得证．
此题考查的知识点是平行四边形的性质与全等三角形的判定和性质，关键是证明和所在的三角形全等．

23.【答案】解：设与的函数关系式为：，
把，代入得：，
解得：，
与的函数解析式为：；
当时，万元，
答：则每月应还款万元． 

【解析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键．
直接利用待定系数法求出反比例函数解析式；
把代入求出答案．

24.【答案】解：把点代入，
解得，
点坐标为
把代入反比例函数，
，
反比例函数的解析式为；
一次函数的图象与轴交于点，
点坐标为，
设点坐标为，
，
，
或，
的坐标为或． 

【解析】本题考查反比例函数与一次函数综合，待定系数法求反比例函数的解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征．
利用点在上求，进而代入反比例函数求即可；
设，求得点的坐标，则，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．

25.【答案】解：平行四边形是菱形，
，
方程有两个相等的实数根，
，
，
当时，四边形是菱形；
，的长是方程的两个实数根，的长为，
是方程的一个根，

解得原方程为：
，
，
即平行四边形的周长为． 

【解析】根据菱形的性质可知方程有个相等的实数根，由根的判别式求出；
由的长为，可知是方程的一个根，代入方程求出，根据根与系数的关系可求出平行四边形的周长．
本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，综合运用各知识点是解答本题的关键．

26.【答案】解：，
，
，，
；
，
无论取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
，
，
，，
解得，；
为等边三角形．理由如下：
，
，
即，
，
，，，
，
为等边三角形． 

【解析】首先将分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出、的值，再代入即可解答；
计算方程的判别式，判断其符号即可；
根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质解题．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，根的判别式，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判断．解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题．