湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验学校2024-2025学年九年级上学期9月月考模拟数学试卷

这是一份湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验学校2024-2025学年九年级上学期9月月考模拟数学试卷，共24页。

A．B．
C．D．
2．（3分）已知点，（1，y2），（﹣2，y3）都在直线上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y3＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y1
3．（3分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度a得到△A'B'C，∠A＝30°，∠1＝50°，则旋转角a等于（ ）
A．110°B．70°C．40°D．20°
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若∠ADC＝60°，，则⊙O的半径为（ ）
A．B．4C．D．5
6．（3分）如图，AB是圆O的直径，BC、AC、BE、CE是圆O的弦，CE平分∠BCA，CE＝CB，则∠ABC的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
7．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≠5C．x≠0D．x≥0且x≠5
8．（3分）2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A．2.8×10﹣10B．2.8×10﹣8C．2.8×10﹣6D．2.8×10﹣9
9．（3分）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为 ．
12．（3分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 ．
13．（3分）点A（﹣2，m）和点B（n，6）关于原点对称，则m+n＝ ．
14．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点，B（2，0），则不等式组的解集是 ．
15．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB＝8，OD＝3，那么⊙O的半径为 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD为对角线，BD经过圆心O．若∠DBC＝65°，则∠BAC的度数为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：
18．（6分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝+1．
19．（6分）如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点都在格点上，A（1，3），B（4，5），C（5，1）．
（1）请在图中画出△A1B1C1，使它和△ABC关于原点O对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标．
20．（8分）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将AD绕点A逆时针旋转60°得AE；
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．
21．（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD．
（2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的半径长．
22．（9分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求二次函数的解析式．
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值．
23．（9分）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．
（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？
（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？
24．（10分）关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且a≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）判断方程x2+2x+1＝0是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）如图，已知AB、CD是半径为8的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程是“勾系一元二次方程”，则∠BAC的度数为 °．
25．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．
（1）求抛物线和直线BC的表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验学校2024-2025学年九年级上学期9月月考模拟
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
2．（3分）已知点，（1，y2），（﹣2，y3）都在直线上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y3＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y1
【解答】解：∵k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点，（1，y2），（﹣2，y3）都在直线上，且﹣＜﹣2＜1，
∴y2＜y3＜y1．
故选：A．
3．（3分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
4．（3分）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度a得到△A'B'C，∠A＝30°，∠1＝50°，则旋转角a等于（ ）
A．110°B．70°C．40°D．20°
【解答】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转某个角度α得到△A′B′C，
∴∠A＝∠A′＝30°，
又∵∠1＝∠A′+∠ACA′＝50°，
∴∠BCB′＝∠ACA′＝20°，
故选：D．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若∠ADC＝60°，，则⊙O的半径为（ ）
A．B．4C．D．5
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝2，＝，∠AED＝∠AEC＝90°，
∴∠A+∠ADC＝90°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∴sin∠BOC＝＝，
∴OC＝＝＝4，
即⊙O的半径为4，
故选：B．
6．（3分）如图，AB是圆O的直径，BC、AC、BE、CE是圆O的弦，CE平分∠BCA，CE＝CB，则∠ABC的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
【解答】解：∵AB是圆O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE＝∠BCA＝45°，
∵CE＝CB，
∴∠E＝∠CBE＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠E＝∠A＝67.5°，
∴∠ABC＝22.5°，
故选：B．
7．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≠5C．x≠0D．x≥0且x≠5
【解答】解：根据题意可知，
，
解得x≥0且x≠5．
故选：D．
8．（3分）2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A．2.8×10﹣10B．2.8×10﹣8C．2.8×10﹣6D．2.8×10﹣9
【解答】解：0.000000028＝2.8×10﹣8．
故选：B．
9．（3分）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故A不符合题意；
根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，
故B不符合题意；
一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，
故C符合题意；
根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故D不符合题意；
故选：C．
10．（3分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+＝0，
∴b＝a+，
而t＝2a+b，
∴t＝2a+a+＝3a+，
∵二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，
∴a＜0，Δ＝b2﹣4ac＝a2++a﹣2a＝（a﹣）2≥0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴a+＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
∴﹣1＜3a+＜，
∴﹣1＜t＜，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为 4 ．
【解答】解：数据3，4，x，6，7的众数是3，因此x＝3，
将数据3，4，3，6，7排序后处在第3位的数是4，因此中位数是4．
故答案为：4．
12．（3分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 y＝2（x﹣1）2﹣2 ．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣3+2）2+1﹣3，即y＝2（x﹣1）2﹣2．
故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣2．
13．（3分）点A（﹣2，m）和点B（n，6）关于原点对称，则m+n＝ ﹣4 ．
【解答】解：∵点A（﹣2，m）和点B（n，6）关于原点对称，
∴m＝﹣6，n＝2，
∴m+n＝﹣6+2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
14．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点，B（2，0），则不等式组的解集是 ﹣＜x＜2 ．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点，B（2，0），
∴不等式组的解集﹣＜x＜2．
15．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB＝8，OD＝3，那么⊙O的半径为 5 ．
【解答】解：连接OB，
∵OC⊥AB于点D，AB＝8，
∴BD＝AB＝4，
在Rt△BOD中，
∵OB2＝OD2+BD2
＝32+42
＝25，
∴OB＝5，
故答案为：5．
16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD为对角线，BD经过圆心O．若∠DBC＝65°，则∠BAC的度数为 25° ．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DBC+∠BDC＝90°，
∵∠DBC＝65°，
∴∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝∠BDC＝25°，
故答案为：25°．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：
【解答】解：原式＝﹣+2+2﹣2
＝3﹣．
18．（6分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝+1．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝+1时，
原式＝＝．
19．（6分）如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点都在格点上，A（1，3），B（4，5），C（5，1）．
（1）请在图中画出△A1B1C1，使它和△ABC关于原点O对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1就是所要求画的三角形；
（2）A1（﹣1，﹣3），B1（﹣4，﹣5），C1（﹣5，﹣1）．
20．（8分）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将AD绕点A逆时针旋转60°得AE；
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．
【解答】（1）证明：∵将AD绕点A逆时针旋转60°得AE，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∵△ABC为等边三角形，
∴AD＝AE，BA＝CA，∠BAC＝60°，
∴∠EAC＝∠DAB，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠ADB＝120°，
而∠ADC＝90°，∠DAE＝60°，
∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°；
（3）解：∵△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°，
又∵∠DCE＝90°，
∴DE＝2CE＝2BD＝2，
∴AD＝DE＝2，
在Rt△DCE中，DC＝＝．
21．（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD．
（2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的半径长．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）∵CD＝8，AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
设半径OC＝OB＝r
在Rt△OCE中，（r﹣3）2+42＝r2，
∴r＝．
22．（9分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求二次函数的解析式．
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A，B，AB＝2，图象的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，AQ＝BQ＝1，
解得：b＝﹣4，A（1，0），
即y＝x2﹣4x+c，
把A的坐标代入得：0＝1﹣4+c，
解得：c＝3，
即二次函数的解析式是y＝x2﹣4x+3；
（2）y＝x2﹣4x+3，
当x＝0时，y＝3，
即C点的坐标为（0，3），
∵A（1，0），
∴AC＝＝，
作C关于对称轴EF的对称点M，则M在抛物线的图象上，坐标为（4，3），连接AM，交EF于P，则此时△APC的周长最小，
AP+PC＝AP+PM＝AM，
由勾股定理得：AM＝＝3，
即△APC周长的最小值为AC+AM＝+3．
23．（9分）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．
（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？
（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？
【解答】解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物资采购了y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：甲物资采购了300吨，乙物资采购了240吨．
（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50﹣m）辆，
依题意，得：，
解得：25≤m≤27．
∵m为正整数，
∴m可以为25，26，27，
∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．
24．（10分）关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且a≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）判断方程x2+2x+1＝0是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）如图，已知AB、CD是半径为8的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程是“勾系一元二次方程”，则∠BAC的度数为 45 °．
【解答】解：（1）方程x2+2x+1＝0是“勾系一元二次方程”，理由如下：
x2+2x+1＝0，
由题意知：，
满足且1≠0，
故方程x2+2x+1＝0是“勾系一元二次方程”；
（2）证明：∵是“勾系一元二次方程”，
∴a2+b2＝c2，
∵，
∴必有实数根；
（3）连接OC，OB，作OE⊥CD于E，EO的延长线交AB于F．
∵关于x的方程是“勾系一元二次方程”，
∴a2+b2＝82，
∵AB∥CD，OE⊥CD，
∴OF⊥AB，
∴∠OEC＝∠OFB＝90°，
∴CE2+OE2＝OC2，OF2+BF2＝OB2，DE＝EC＝b，BF＝AF＝a，
∵OD＝OB＝8，
∴，，
∴CE＝OF，OE＝BF，
∴△OEC≌△BFO（SSS），
∴∠EOC＝∠OBF，
∵∠OBF+∠BOF＝90°，
∴∠EOC+∠BOF＝90°，
∴∠COB＝90°，
∴，
故答案为：45．
25．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．
（1）求抛物线和直线BC的表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，
解得
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
∴点C坐标为（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：，
解得
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
（2）①∵PA交直线BC于点D，
∴设点D的坐标为（m，﹣m+3），
设直线AD的表达式为y＝k1x+b1，
∴，
解得，
∴直线AD的表达式，y＝x+，
∴x+＝﹣x2+2x+3，
整理得，（x﹣）（x+1）＝0
解得x＝或﹣1（不合题意，舍去），
∴点D的横坐标为m，点P的横坐标为，
分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1中：
∴DM∥PN，OM＝m，ON＝，OA＝1，
∴＝＝＝＝＝，
设＝t，则t＝
整理得，（t+1）m2+（2t﹣3）m+t＝0，
∵△≥0，
∴（2t﹣3）2﹣4t（t+1）≥0，
解得t≤
∴有最大值，最大值为．
解法二：如图1中，过点P作PE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，过点PO作PH∥OC交BC于点G，过点A作AG∥OC交直线BC于点G．
∵AG∥PH，
∴∠AGF＝∠PHE，
∵∠AFG＝∠PEH＝90°，
∴△AFG∽△PEH，
∴＝，
∵＝＝＝，
设P（m，﹣m2+2m+3），则H（m，﹣m+3），
∴PH＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴PH的最大值为，
∵G（﹣1，4），
∴AG＝4，
∴的最大值＝＝．
②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2中，
∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，
∴OE＝1，
∵B（3，0），C（0，3）
∴OC＝OB＝3，
又∵∠COB＝90°，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴FG＝GB＝EG＝1，
∴点F的坐标为（2，1），
当EF为边时，
∵四边形EFPQ为平行四边形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，
当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
点Q的坐标为（1，2），
根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形．
当EF为对角线时，如图3中，
∵四边形PEQF为平行四边形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，
同理求得：点P的坐标为（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
点Q的坐标为（1，﹣2）；
综上，点P的坐标为（2，3）时，点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2），P（0，3）时，Q（1，4）．