数学华师大版第23章 图形的相似23.3 相似三角形2. 相似三角形的判定教学课件ppt

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角的关系判定三角形相似定理边角关系判定三角形相似定理三边关系判定三角形相似定理
角的关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理1　两角分别相等的两个三角形相似.特别地，两个直角三角形，若有一对锐角相等，则它们一定相似.
特别提醒：由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角. 一般地，相等的角是对应角．如：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.
2. 数学表达式如图23.3-8，在△ ABC 和△ DEF 中，∵∠ A=∠ D，且∠ B=∠ E，∴△ ABC ∽△ DEF.
3. 常见的相似三角形的类型(1)平行线型：如图23.3-9 ①， 若DE ∥ BC， 则△ ADE ∽△ ABC.(2)斜交线型：如图23.3-9 ②，若∠ AED= ∠ B，则△ AED ∽△ ABC.
(3)“ 子母”型：如图23.3-9 ③，若∠ ACD= ∠ B，则△ ACD ∽△ ABC.(4)“K” 型：如图23.3-9 ④， 若∠ A= ∠ D= ∠ BCE=90 °，则△ ACB ∽ △ DEC，整体像一个横放的字母K，所以称为“K”型相似.
如图23.3-10，在△ ABC 中，AD 是∠ BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于点E，交BC 的延长线于点F.求证：△ ABF ∽△ CAF.
解题秘方：紧扣“两组对应角相等的两三角形相似”；由于∠ BFA 是公共角，因此只需利用图形的相关性质说明∠B =∠4 即可证明.
证明：∵EF 垂直平分AD，∴ AF=DF.∴∠ FAD =∠ 3.又∵∠ B =∠ 3 －∠ 1，∠ 4 =∠ FAD －∠ 2，∠ 1 =∠ 2，∴∠ B =∠ 4.又∵∠ BFA =∠ AFC，∴△ ABF ∽△ CAF.
1-1. 如图，已知在四边形ABCD 中， ∠ ADB =∠ ACB， 延长AD， BC相交于点E.求证：(1)△ ACE ∽△ BDE；(2)BE·CD=AB·DE.
证明：(1)∵∠ ADB ＝ ∠ ACB，∴∠ BDE ＝ ∠ ACE.又∵∠ E ＝ ∠ E，∴△ ACE ∽△ BDE.
边角关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理2　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
特别提醒：运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角.类似于判定三角形全等的SAS 方法.
2. 数学表达式　如图23.3-11， 在△ ABC 和△ DEF 中，∵ 且∠ B=∠ E，∴△ ABC ∽△ DEF.
如图23.3-12，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的一点，且BP=3PC，Q 是CD 的中点.求证：△ ADQ ∽△ QCP.
解题秘方：紧扣“边角关系判定相似三角形定理”证明即可.
证明：设正方形ABCD 的边长为4a，则AD=CD=BC=4a.∵ Q 是CD 的中点，BP=3PC，∴ DQ=CQ=2a，PC=a.∴ =2.又∵∠ D=∠ C=90°，∴△ ADQ ∽△ QCP.
2-1. 如图，在△ ABC 中，D，E 分别在AB 与AC上， 且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4. 求证：△ ADE ∽△ ACB.
三边关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理3　三边成比例的两个三角形相似.
特别提醒：●由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可.●应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况.
2. 数学表达式如图23.3-13，在△ ABC 和△ DEF 中，∵∴△ ABC ∽△ DEF.
图23.3-14， 图23.3-15 中小正方形的边长均为1， 则图23.3-15 中的哪一个三角形( 阴影部分) 与图23.3-14 中的△ ABC相似？
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求各边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”，用计算比较法判断.
解：易知AC= ，BC=2，AB= .图23.3-15 ①中，三角形的三边长分别为图23.3-15 ②中，三角形的三边长分别为图23.3-15 ③中，三角形的三边长分别为图23.3-15 ④中，三角形的三边长分别为∵ ，∴图23.3-15 ②中的三角形与△ ABC 相似.
3-1. 如图， 在4×4 的正方形网格中，△ ABC和△ DEF 的顶点都在边长为1 的小正方形的顶点上.(1)填空： ∠ ABC=______°，AC=______；
(2)判断 ：△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.