第二十二章 二次函数 达标检测卷（A卷）-2023-2024学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

2023-2024学年九年级上册 第二单元二次函数

A卷•达标检测卷

（考试时间：90分钟  试卷满分：100分）

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1．（2023•仓山区校级开学）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（　　）

A．y＝ax2+bx+c B． 

C．y＝50+x2 D．y＝（x+2）（x﹣3）﹣x2

【答案】C

【解答】解：A、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；

B、不是二次函数，故此选项不合题意；

C、是二次函数，故此选项符合题意；

D、化简后，不是二次函数，故此选项不合题意；

故选：C．

2．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（　　）

A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4

【答案】A

【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是

y＝（x﹣3）2+4．

故选：A．

3．（2023•怀宁县一模）抛物线y＝2（x+3）2+4的顶点坐标是（　　）

A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（﹣3，﹣4）

【答案】B

【解答】解：抛物线y＝2（x+3）2+4的顶点坐标（﹣3，4），

故选：B．

4．（2022秋•平度市期末）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　）

A．图象的对称轴在y轴的右侧 

B．图象与y轴的交点坐标为（0，8） 

C．图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（4，0） 

D．函数的最小值为﹣9

【答案】D

【解答】解：A、∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴图象的对称轴x＝﹣1，故A不正确，不符合题意；

B、∵图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），∴B不正确，不符合题意；

C、∵y＝x2+2x﹣8＝（x+4）（x﹣2），∴图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故C不正确，不符合题意；

D、∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，顶点坐标为（﹣1，﹣9），a＝1＞0，∴函数值有最小值为﹣9，故D正确，符合题意；

故选：D．

5．（2022秋•未央区校级期末）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为（　　）

A．3或1 B．﹣3或1 C．3或﹣3 D．﹣3或﹣1

【答案】B

【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+m＝﹣（x+1）2+m+1，

∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，

由图象可知：二次函数y＝﹣x2﹣2x+m与x轴的一个交点为（﹣3，0），

∴该函数与x轴的另一个交点为（1，0），

∴当y＝0时，0＝﹣x2﹣2x+m对应的x的值为﹣3或1，

故选：B．

6．（2023•营口一模）抛物线y＝x2+4x﹣c与x轴只有一个公共点，则c的值为（　　）

A．c＝4 B．c＝﹣4 C．c≤4 D．c≥﹣4

【答案】B

【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x﹣c与x轴只有一个公共点，

∴方程x2+4x﹣c＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1•（﹣c）＝0，

∴c＝﹣4．

故选：B．

7．（2023•婺城区校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是（　　）

A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2

【答案】A

【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴为x＝﹣＝1，

故选：A．

8．（2023春•东营期末）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（　　）

A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1

【答案】C

【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得

一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在

﹣1＜x1＜0，

故选：C．

9．（2023•怀集县一模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c，点A（﹣2，y1），B（4，y2）是抛物线上两点，若a＜0，则y1，y2的大小关系是（　　）

A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较

【答案】B

【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，

∴抛物线的对称轴为直线x＝2，

∵a＜0，

∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，

∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离为2﹣（﹣2）＝4，点B（4，y2）到对称轴的距离为4﹣2＝2，

又∵2＜4，

∴点B（4，y2）到对称轴的距离近．

∴y1＜y2，

故选：B．

10．（2023•太平区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（　　）

A．abc＞0 B．b＝2a C．9a+3b+c＜0 D．8a+c＝0

【答案】D

【解答】解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线对称轴为直线x＝1，

∴﹣＝1，

∴b＝﹣2a＞0，

∵抛物线交y轴的正半轴，

∴c＞0，

∴abc＜0，故A、B错误；

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），

∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，故C错误；

∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），

∴4a﹣2b+c＝0，

∵b＝﹣2a，

∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，故D正确，

故选：D．

二、填空题(本题共6题,每小题3分，共18分）。

11．（2022秋•河北区校级期末）二次函数的图象开口向下，则m＝　﹣2　．

【答案】﹣2．

【解答】解：二次函数y＝（m+1）的图象的开口向下，

∴m2﹣2＝2，且m+1＜0，

解得：m＝﹣2．

故答案为：﹣2．

12．（2022秋•河西区校级期末）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1），请你写出一个满足条件的二次函数的解析式 　y＝2x2﹣1（答案不唯一）　．

【答案】y＝2x2﹣1（答案不唯一）．

【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），

∴该抛武线的解析式为y＝ax2﹣1，

又∵二次函数的图象开口向上，

∴a＞0，

∴这个二次函数的解析式可以是y＝2x2﹣1，

故答案为：y＝2x2﹣1（答案不唯一）．

13．（2022秋•延边州期末）若二次函数y＝x2﹣2x+k的图象与x轴只有一个公共点，则k＝　1　．

【答案】1．

【解答】解：令x2﹣2x+k＝0，

∵抛物线与x轴只有一个交点，

∴Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，

解得k＝1，

故答案为：1．

14．（2023•长岭县三模）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝24t﹣4t2，则小球从飞出到落地所用的时间为　6　s．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：依题意，令h＝0得：0＝24t﹣4t2，

解得t＝0或t＝6，

小球从飞出到落地所用的时间为6﹣0＝6s．

15．（2023•东洲区模拟）已A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　y3＜y1＜y2　．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：把A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）分别代入y＝﹣2（x+2）2得

y1＝﹣2（x+2）2＝﹣8，y2＝2（x+2）2＝﹣2，y3＝﹣2（x+2）2＝﹣50，

所以y3＜y1＜y2．

故答案为y3＜y1＜y2．

16．（2022秋•雁塔区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），，（2，y3）在该函数图象上，y2＜y3＜y1，其中正确结论有 　①②④　．（填序号）

【答案】①②④．

【解答】解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线与y轴交于点（0，﹣1），

∴c＝﹣1，

∵，

∴b＝﹣2a＜0，

∴abc＞0，故①正确，

∵y＝ax2﹣2ax﹣1，

当x＝﹣1时，y＞0，

∴a+2a﹣1＞0，

∴，故②正确，

由图象可得，对于任意m都有am2+bm+c≥a+b+c，

即am2+bm≥a+b，

∴m（am+b）≥a+b，

故③不正确，

∵点（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（2，y3）到对称轴的距离，

∴y1＞y3，

∵点到对称轴的距离小于点（2，y3）到对称轴的距离，

∴y3＞y2，

∴y2＜y3＜y1，故④正确，

故答案为：①②④．

三、解答题（本题共5题，共52分）。

17．（10分）（2022秋•郸城县期末）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3．

（1）求开口方向、对称轴及顶点坐标；

（2）当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大．

【答案】（1）开口向下，对称轴为：直线x＝1，顶点坐标为：（1，5）；

（2）x＞1时，y随x增大而减小，x＜1时，y随x增大而增大．

【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，

∵﹣2＜0，

∴抛物线的开口向下，

对称轴为：直线x＝1，顶点坐标为：（1，5）；

（2）∵抛物线的开口向下，

∴x＞1时，y随x增大而减小，x＜1时，y随x增大而增大．

18．（10分）（2023•泸县校级模拟）已知一个抛物线经过点（3，0），（﹣1，0）和（2，﹣6）．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．

【答案】（1）y＝2x2﹣4x﹣6；

（2）顶点坐标为（1，﹣8）；对称轴为直线x＝1．

【解答】解：（1）设y＝a（x﹣3）（x+1），

将（2，﹣6）代入，则a＝2，

∴y＝2（x﹣3）（x+1）＝2x2﹣4x﹣6，

（2）∵，，

∴顶点坐标为（1，﹣8）；对称轴为直线x＝1．

19．（10分）（2023•唐河县模拟）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，AB＝2m，BP＝10m，水嘴高AD＝6m．

（1）以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求图中抛物线的解析式；

（2）求水柱落点C与水嘴底部A的距离AC．

【答案】（1）y＝﹣（x﹣2）2+10；（2）（）m．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，

∴y＝a（x﹣2）2+10，

把D（0，6）代入y＝a（x﹣2）2+10得，

4a＝﹣4．

∴a＝﹣1，

∴y＝﹣（x﹣2）2+10．

（2）当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+10．

解得x1＝2+，x2＝（舍去）．

所以C（，0）．

答：水柱落点C与水嘴底部A的距离AC为（）m．

20．（10分）（2022秋•海陵区校级期末）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．

【答案】（1）y＝﹣5x+150（10≤x≤21，且x为整数）．（2）当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），

将（12，90），（15，75）代入y＝kx+b，

，解得：，

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+150（10≤x≤21，且x为整数）．

（2）依题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5x2+200x﹣1500＝﹣5（x﹣20）2+500．

∵﹣5＜0，

∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为500．

答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．

21．（12分）（2023•中宁县二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点M（a，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求a的值．

【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣5；D（2，﹣9）；

（2）．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，

∴，

∴b＝﹣4，

∴y＝x2﹣4x+c，

∵y＝x2﹣4x+c经过点A（﹣1，0），

∴0＝1+4+c，

∴c＝﹣5，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，

∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，

∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣9）；

（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接C'D交x轴于点M，此时C'D最小，即CM+DM的值最小，

令x＝0，则y＝﹣5，

∴点C的坐标为（0，﹣5），

∴点C'的坐标为（0，5），

设直线C'D的解析式为y＝mx+n，

∴，

解得：，

∴直线C'D的解析式为y＝﹣7x+5，

令y＝0，则﹣7x+5＝0，

解得：，

即直线C'D与x轴的交点坐标为，

∴．