专题16.外接（内切）球中的十大解题模型（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题16.外接（内切）球中的十大解题模型

一．基本原理

1．三角形的外心:

.

注：等边三角形的外心，直角三角形的外心，正方形，长方形的外心.

三．正方体，长方体的外接球.

正长体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点

二．典例分析

一．四面体模型

1.1正四面体：由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等.

1.2 正四面体的外接球和内切球.

假设正四面体棱长为,其外接球半径为，内切球半径为，则.

例1．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（       ）

A． B． C． D．

解析：如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体，

则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为，

正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，所以正四面体的外接球体积为．故选：A

二．等腰四面体（正棱锥）

例2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

解析：∵ 球的体积为，所以球的半径，设正四棱锥的底面边长为，高为，

则，，所以，

所以正四棱锥的体积，

所以，当时，，当时，，

所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，，所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是．故选：C．

三．棱台模型

例3．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．

四．对棱相等：补成长方体

例4．在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

解：如下图所示，

将四面体放在长方体内，设该长方体的长、宽、高分别为、、，

则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为，

由勾股定理得，上述三个等式全加得，

所以，该四面体的外接球直径为，因此，四面体的外接球的表面积为，故选：．

五．直棱柱

1.基本定义：

棱柱：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱.

直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.正棱柱是侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱.

2.外接球球心：

直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.

正棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点。

3.计算公式：

设底面小圆的半径为，棱柱高为，则.

例5．在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______．

解析：设BC的中点为D，的中点为，，由题，得三棱柱外接球的球心在线段的中点O处，由三棱柱的体积为2，得，即，

由题，得，所以，外接球表面积

．故答案为：

六．墙角模型 

墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出

例6．已知是球面上的四个点，平面，，，则该球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

解：因为平面，所以，又，所以，又，所以平面；同理平面，则两两互相垂直，将三棱锥补形成以为长宽高的长方体，如下图所示，

又是球面上的四个点，所以球的直径为该长方体的体对角线，又，，所以该长方体的体对角线长为，

即球的直径，其中是球的半径；所以球的表面积为.故选:B.

七．最值问题

例7．已知是边长为3的等边三角形，三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（       ）．

A． B． C． D．

解：球O的半径为R，则，解得：，由已知可得：，其中，球心O到平面ABC的距离为，故三棱锥的高的最大值为3，体积最大值为．故选：C．

例8．三棱锥的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，．若球M的表面积为，，则三棱锥的体积的最大值为（       ）

A．24 B． C．27 D．

解析：因为三棱锥的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，所以，又，，故面，

又 ，故面，又面，故.球M的表面积为，设球的半径为，则，解得，即，所以，，三棱锥的体积为，

要使体积最大，即最大，又，当且仅当时取等，故体积的最大值为.故选：A.

八．外接球综合模型

例9．是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为

A． B． C． D．

解析：由题,取中点,连接,因为是边长为的等边三角形,故均为边长为的等边三角形.连接交于.

易得为中点,且..

又四棱锥的外接球的表面积最小时球半径最小,且球心到的距离相等.故球心在过且与平面垂直的直线上.故当球心为时,球半径取得最小值.此时有.在中由余弦定理可得.

因为,故平面.故到平面的距离.又底面.故选：D

九.等体积法解决内切球

即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等

第1步：

先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

第2步：

设内切球的半径为，建立等式：

第3步：解出

2.轴截面法：做出轴截面利用相似三角形求解.

例10.已知正三棱锥的高为，底面边长为，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．

解析：如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．是正三棱锥的高，即．是边中点，在上，的边长为，

∴，∴，

所以，，

由等体积法，，

∴，解得：，

∴该球的表面积为，该球的体积为．故答案为：；.

十．轴截面法解决内切球

例11.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

解析：（轴截面法）由三角形相似可得：由

则其体积：.