专题15.隐圆问题的十大类型（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题15.隐圆问题的十大类型

隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料.

类型1. 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆

例 1.如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为________.

解析：转化为与圆有两个交点，求的取值范围问题，由两圆相交的条件可知：.

类型2.动点满足对两个定点的张角是（或者）确定隐形圆.该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用.

例2.已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（         ）

A．3 B．2 C．1 D．0

解析：设点，则，且，由，得

，即，故点P的轨迹为一个圆心为，半径为的圆，则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个. 故选B.

例3.已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

解析：由动直线方程得，所以该直线过定点Q（1,3），所以动点M在以PQ为直径的圆上，所以圆的半径为圆心的坐标为，所以点N到圆心的距离为，所以的最大值为. 故选：D.

4．已知点P是圆C：的动点，直线l：上存在两点A，B，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ）

A． B． C． D．

解析：圆，圆心为，半径为.

依题意，是圆上任意一点，直线上存在两点，使得恒成立，

故以为直径的圆始终与圆相切，即圆的半径的最小值是到直线距离的最大值，即，所以的最小值是. 故选：A

5．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ）

A． B． C． D．

解析：由题可知：，圆心，半径，

又，是的中点，所以，

所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为，

若直线上存在两点，使得恒成立，

则以为直径的圆要包括圆，

点到直线的距离为，

所以长度的最小值为，故选：B．

6．若对于圆上任意的点，直线上总存在不同两点，，使得，则的最小值为______.

解析：由题设圆，故圆心，半径为，

所以到的距离，故直线与圆相离，

故圆上点到直线的距离范围为，

圆上任意的点，直线上总存在不同两点、，使，

即以为直径的圆包含圆，至少要保证直线上与圆最近的点，与圆上点距离最大值为半径的圆包含圆，所以. 故答案为：10

类型3.正弦定理对边对角模型.

由正弦定理可知，当已知三角形任意一边和该边所对角大小时，即可得到外接圆半径，即

.

7.在中，

（1）求；

（2）若，求周长的最大值.

解析：（1）由正弦定理可得：，

，.

（2）由余弦定理得：，

即.（当且仅当时取等号），，

解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.

类型4. 动点满足对两个定点满足：.

分析：由于定值，设中点为，根据平面向量部分极化恒等式可得：

，故动点是以中点为圆心，半径为的圆.

8．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且，．点P在正方形ABCD的边AD或BC上运动，若，则满足条件的点P的个数是（  ）

A．0 B．2 C．4 D．6

解析：由上述分析可知，故动点是以中点为圆心，半径为的圆.

故此题中点以中点为圆心，半径为的圆，所以，共有4个点满足条件.

故选：C

类型5. 动点满足对两个定点满足：.

解析：由于，设中点为，则由向量关系与极化恒等式可知：，整理可得：

，显然动点以为圆心，为半径的圆.

类型6. 阿波罗尼斯圆

定义：已知平面上两点，则所有满足的动点的轨迹是一个以定比为内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆.若,则圆的半径为，圆心为.

解析：设．因为且由两点间距离公式得，化简得．

所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．

9.中，，，则的面积最大值为_______.

解析：由，见系代入得．设圆心为，显然当轴时，面积最大，此时．所以．

类型7. “从动点圆”，若为定点，点在圆上运动，则线段的中点也在一个圆上. 本例证明见人教版选择性必修教材87页，例5.

10.已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是__________.

解析：设点的坐标为，点，M为AB的中点，B的坐标为，

，解得，点满足

，即，故点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，点的轨迹方程为：．

类型8.圆的内接四边形与托勒密定理

若四边形对角互补，或者，则四点共圆.

11．在平面四边形ABCD中，，AD=3，BD=则CD的最小值为（　　）

解析：如图，可设，则，则由托勒密不等式可得：

，代值可得：，等号成立当且仅当四点共圆.

A． B． C． D．

类型9.向量隐圆

12.已知向量满足，且向量的夹角为，则的最大值为_________.

解析：依题夹角为，而向量的夹角为，故由四点共圆结论可知，向量的终点与四点共圆，则的最大值即为圆的直径，由于

则由正弦定理：.

13.已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）

A． B． C．2 D．

解析：设，

则由得，

由得

因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.

14已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

解析：在平面内一点，作，，，则，则，

因为，则，故为等腰直角三角形，则，

取的中点，则，

所以，，所以，，

因为，

所以，，则，

所以，.

当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.

故选：B.

类型10. 米勒圆与最大视角

米勒定理1：已知点是的边上的两个定点，点是边上的动点，

则当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大.

13.已知点.点为圆上一个动点，则的最大值为__________.

解析：如图，设D是圆上不同于点P的任意一点，连结DA与圆交于点E，连接

EC，由三角形外角的性质，可知，由圆周角定理：，

因此，当且仅当的外接圆与圆相切于点时，最大.

此时，可设的外接圆圆心，由于此时三点共线且

，而，则，解得：，

于是，由正弦定理，则的最大值为.