第7章 微专题进阶课6　简单几何体的外接球与内切球问题教案

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简单几何体外接球与内切球问题是立体几何中的难点，也是历年高考重要的考点，重在考查直观想象和逻辑推理两个数学核心素养．
简单几何体的外接球问题
(2020·栖霞模拟)已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝2，BC＝PA＝4，PA⊥平面ABCD，则球O的体积为( )
A．eq \f(64\r(2)π,3)B．eq \f(16\r(2)π,3)
C．16eq \r(2)πD．16π
A 解析：取BC的中点E，连接AE，DE，BD．
因为AD∥BC且AD＝eq \f(1,2)BC＝EC＝BE，
所以四边形ADCE，四边形ADEB均为平行四边形，
所以AE＝CD，AB＝DE.
又CD＝AB＝eq \f(1,2)BC，
所以AE＝DE＝BE＝EC，
所以E为四边形ABCD的外接圆圆心．
已知O为外接球的球心，连接OA，OE，由球的性质可知OE⊥平面ABCD，
作OF⊥PA，垂足为F，
所以四边形AEOF为矩形，OF＝AE＝2.
设AF＝x，OP＝OA＝R，
则4＋(4－x)2＝4＋x2，解得x＝2，
所以R＝eq \r(4＋4)＝2eq \r(2)，
所以球O的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(64\r(2),3)π.
1．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点， △ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )
A．12eq \r(3)B．18eq \r(3)
C．24eq \r(3)D．54eq \r(3)
B 解析：设△ABC的边长为a，则S△ABC＝eq \f(1,2)a·a·sin 60°＝9eq \r(3)，解得a＝6(负值舍去)．△ABC的外接圆半径r满足2r＝eq \f(6,sin 60°)，得r＝2eq \r(3)，球心到平面ABC的距离为eq \r(42－2\r(3)2)＝2.
所以点D到平面ABC的最大距离为2＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值为eq \f(1,3)×9eq \r(3)×6＝18eq \r(3).故选B．
2.(2020·石家庄3月质检)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点．若PB＝1，∠APB＝eq \f(π,3)，则三棱锥P-AOB的外接球的体积是________．
eq \f(4,3)π 解析：因为底面ABCD为菱形，O为对角线AC与BD的交点，所以BD⊥AC．
又PB⊥底面ABCD，所以PB⊥AC．
因为BD∩PB＝B，
所以AC⊥平面PBD，所以AC⊥PO，所以三角形PAO为直角三角形．
又△PBA是直角三角形，所以公共斜边PA的中点即为球心．
因为PB＝1，∠APB＝eq \f(π,3)，所以PA＝2＝2R(R为三棱锥P-AOB外接球的半径)，所以R＝1，故三棱锥P-AOB的外接球的体积是eq \f(4π,3)×13＝eq \f(4,3)π.
简单几何体的内切球问题
在一个圆锥内有一个半径为R的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切．若该圆锥体积的最小值为eq \f(9π,2)，则R＝( )
A．1B．eq \r(3)
C．2D．2eq \r(3)
B 解析：几何体的轴截面如图所示．
设圆锥的底面圆心为O，半径为r，高为h，则OA＝h，rh＝eq \r(h2＋r2)·R，解得r2＝eq \f(h2R2,h2－R2).
又圆锥体积V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)π×eq \f(h2R2,h2－R2)×h＝eq \f(1,3)πR2×eq \f(h3,h2－R2)，
令f (h)＝eq \f(1,3)πR2×eq \f(h3,h2－R2)(h>R)，
则f ′(h)＝eq \f(1,3)πR2×eq \f(h2h2－3R2,h2－R22).
由f ′(h)>0，得h>eq \r(3)R；由f ′(h)<0，得RVmin＝eq \f(1,3)πR2×eq \f(3R2,3R2－R2)×eq \r(3)R＝eq \f(9,2)π，解得R＝eq \r(3).故选B．
1．在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4πB．eq \f(9π,2)
C．6πD．eq \f(32π,3)
B 解析：易知AC＝10.设底面△ABC的内切圆的半径为r，则eq \f(1,2)×6×8＝eq \f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.因为2r＝4>3，所以当球与三棱柱的上、下底面相切时，体积最大，所以最大球的直径2R＝3，则R＝eq \f(3,2)，此时球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(9π,2).故选B．
2．将半径为3，圆心角为eq \f(2π,3)的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为( )
A．eq \f(\r(2)π,3)B．eq \f(\r(3)π,3)
C．eq \f(4π,3)D．2π
A 解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝eq \f(2π,3)×3，所以r＝1，所以h＝eq \r(32－12)＝2eq \r(2).
设内切球的半径为R，则eq \f(R,2\r(2)－R)＝eq \f(1,3)，所以R＝eq \f(\r(2),2)，所以V＝eq \f(4π,3)R3＝eq \f(4π,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up8(3)＝eq \f(\r(2)π,3).故选A．