专题17.盘点高中数学中的八大距离最值问题（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题17.盘点高中数学中的八大距离最值问题

1.圆中与距离最值有关的常见的结论

2.圆锥曲线中的距离最值常见结论

3.将军饮马型最值

4.函数图象上的铅锤距离最值

5.函数图象上的水平距离最值

6.函数图象上的点到直线的距离最值

7.两点间距离最值与代数转化

8.函数图象与函数图象的距离最值

结论1. 圆外一点到圆上距离最近为，最远为；

例1．抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（    ）

A．6 B．2 C．5 D．8

答案：A.

结论2. 过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦；

例2．在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（       ）

A． B． C． D．

答案：B

结论3. 直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离,最近为；

例3．已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

答案：D

2.圆锥曲线中的距离最值常见结论

1.定点与圆锥曲线上动点的距离的最值问题.

写出定点与曲线上动点的距离表示，利用点在曲线上可消去x或y，然后转化为关于y或x的二次函数，利用曲线上点的有界性确定最值，或设曲线的参数方程，利用三角函数的有界性去限定.

2.椭圆上的点到两焦点距离最大、最小值的点为长轴两端点：，

3.圆锥曲线的点到直线距离的最值

例4.设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是(      )

A.         B.        C.        D.

解析：转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）,,转化为二次函数，，当时，取到最大值，选D.

例5．已知动点M，N分别在抛物线：和圆：上，则的最小值为（    ）

A． B． C．5 D．6

解析：设，则，即，由题意可得：，

∵，

令，则在R上单调递增，且，

当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，则，即，，则.

故选：A.

例6．点为椭圆上一点，则到直线的距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

解析：根据题意可知，当点在第一象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离取得最小值，可设切线方程为，

联立，消去整理可得，

，因为，解得，所以，椭圆在点处的切线方程为，因此，点到直线的距离的最小值为.故选：C.

3.将军饮马型最值

1.直线型将军饮马模型：如图，动点为直线上一点，为直线一侧的两个定点，那么的最小值即为做点关于的对称点，然后连接后其长度.

2.其他形式的将军饮马模型：若动点为曲线上一点，为曲线所在平面内的两个定点，那么如何求的最值.

3.三角不等式：任意两边之和大于等于第三边，任意两边之差小于等于第三边，取等条件当且仅当三点共线.

如图动点为直线上一点，为直线一侧的两个定点，那么的最大值当且仅当三点共线.

倘若在两侧，则需先利用对称将其搬到一侧再寻找最大值！此时，的最小

值为0，即为中垂线与的交点.

例1.已知椭圆内有一点，、分别为其左右焦点，是椭圆上一点，求：

(1).的最大值与最小值；

(2).的最大值与最小值.

解析：（1）如图：，等号成立当在一侧，且三点共线以及当在一侧，且三点共线.故的最大值与最小值为：.

（2）由椭圆定义可知：，由（1）可知：的最大值与最小值为：，故的最大值与最小值为：与

.

小结：已知椭圆上任意一点，椭圆内一定点，如何求：的

距离最值？

距离差直接用结论，距离和转化为距离差再利用上述结论4求解.

例2．已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（  ）

A． B． C． D．

解析：由题意可得 ，又，故 ，所以 ，则双曲线方程为 ，结合双曲线定义可得，

如图示，连接,交双曲线右支于点M，即当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，此时直线方程为 ，联立，解得点Q的坐标为,( Q为双曲线右支上的一点)，

故，故选：B

4.函数图象上的铅锤距离最值

例1.已知函数，，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是_______.

解：由题意，，则∴，，，，由，得，

∴：，则，

：，则，

∴，，令（），

，∴在上递增，又，，∴的取值范围是.故答案为：

5.函数图象上的水平距离最值

例1．已知，，若，则的最小值是（    ）

A．2 B． C． D．

解析：令，即，所以，，，令，则，

所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，

因为，所以，

所以，的最小值是.故选：D

例2．已知函数，，若成立，则n－m的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

解析：令，则，，∴，，即，，，

∴，有，当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴，即的最小值为.故选：A.

6.函数图象上的点到直线的距离最值

1.函数图象上一个动点到一条定直线（与函数图象相离）距离的最小值.若两个动点分别在函数图象上，那么到直线距离的最小：当在点处的切线与直线平行时，到直线的距离.

2.两个动点分别在一个函数图象和一条直线上.若两个动点分别在函数和直线上，那么当在点处的切线与直线平行时，到直线的距离.

例1．已知P是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（   ）

A． B． C． D．

解析：设，点在直线上，当取最小值时，垂直于直线. 此时

记，最小时，最小.

，当时，最小时，最小. 故选：C

例2．已知函数在处的切线方程为.

（1）求的解析式；

（2）求函数图象上的点到直线的距离的最小值.

解析：（1）∵函数，∴的定义域为，，

∴在处切线的斜率为，由切线方程可知切点为，而切点也在函数图象上，解得，∴的解析式为；

（2）由于直线与直线平行，直线与函数在处相切，所以切点到直线的距离最小，最小值为，

故函数图象上的点到直线的距离的最小值为.

例3.设点在曲线上，在直线上，则的最小值________.

解析：函数的定义域为，求导得，

当曲线在点处的切线与直线平行时，最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离.设，由导数的几何意义，可得，解得（舍去），故切点为，点到直线的距离

所以的最小值为故答案为：

7.两点间距离最值与代数转化

例1．已知，则y的最小值为（   ）

A． B． C． D．

解析：y的最小值即为上的点与上的点的距离的平方的最小值.

，令，解得：，又，故图象上与平行的切线在图像上的切点为.

于是图像上的点与上的点的最短距离为点到的距离，即最短距离，则，y的最小值为.故选：B.

例2．已知，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

解析：由，则点在函数上，

，则点在函数上，则表示、两点的距离的平方，要求的最小值，即求的最小值，

当过的点切线与直线平行时，点到直线的距离即为的最小值，由可得，所以，解得，

所以，即，

所以到的距离，即，

所以的最小值为；故选：C

例3．已知且，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．8

解析：代数式

可以看成点到点距离的平方，点在平面直角坐标系中，表示单位圆上的点，点表示曲线上的点，如下图所示：

，由，

所以曲线在点处的切线方程为：，

此时直线与直线垂直于点，交圆于点，由数形结合思想可以确定：

当点运动到点时，当点运用到点时，有最小值，即，故选：B

例4．实数，，满足：，，则的最小值为（    ）

A．0 B． C． D．8

解析：由，则，又，的最小值转化为：上的点与上的点的距离的平方的最小值，

由，得：，与平行的直线的斜率为1，∴，解得或（舍，可得切点为，切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，的最小值为：.故选：D.

8.函数图象与函数图象的距离最值

若两个动点分别在函数和函数上，那么当直线与直线平行

时，且与相切，则切点到的距离.

例1.设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（    ）

A.     B.       C.       D.

解析：函数与函数互为反函数，图象关于对称，函数上的点到直线的距离为.

设函数，由图象关于对称得：最小值为.

例2．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为　　

A． B． C． D．

解析：与互为反函数，先求出曲线上的点到直线的最小距离．设与直线平行且与曲线相切的切点，．，

，解得．得到切点，到直线的距离，的最小值为，故选：．