专题14. 数量积计算拔高拓展（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题14.数量积计算中的两个重要的二级结论

一．基本结论

结论1：如图1，，特别地，若点在线段的中垂线上时，.

         如图1                                       如图2

进一步，外心性质：如图，为的外心，证明：

1.；，同理可得等.

2.，同理可得等.

3.，同理可得等.

结论2.

如图2，人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：.若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.

证明：由于，两式相减可得：

                      .                               

特别，在中，设，点为中点，再由三角形中线向量公式可得：(极化恒等式).               

二．典例分析

例1.如图，,是圆上的两点，若，则弦长为______.

例2.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（    ）

A.  B.

C.  D.

解析：

的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，故选：A.

例3.已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为_______.

解析：根据向量数量积的几何意义，是指与在方向上的投影的乘积.当点的坐标为时，最大为，此时.

例4．已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是(    )

A． B． C． D．

解析：（方法1.几何法）设点为中点，可得，再设中点为，这样用极化恒等式可知：，在等边三角形中，，故取最小值当且仅当取最小，即，故

.

（方法2.坐标法）以中点为坐标原点，由于，，．

设，，，，

故，则其最小值为，此时，．

例5.在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

解析：取中点，由向量的加法知，，

从而.所以求的最值转化为求线段中点到单位圆上动点的距离的最值.在中，.

设直线与单位圆相交于，两点，当点位于点，处时，分别取得最小值和最大值，从而的取值范围是.

一般地， 当是定点且是定值时，满足向量方程的动点的轨迹是以线段的中点为圆心，为半径的圆，这是向量方程的几何意义.

例6．已知中，∠C＝90°，BC＝2，D为AC边上的动点，则______．

解析：.故答案为：

例7．在边长为4的菱形中，，为中点，为平面内一点，若，

A．16 B．14 C．12 D．8

解析：由可得：，故在中垂线上，由投影的定义可得：.

再根据余弦定理可得：，故可得选B.

例8.如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（     ）

A.　4　　　    B.　 　　 　 C.　 　　  　 D.

思路：外心在上的投影恰好为它们的中点，分别设为，所以在上的投影为，而恰好为中点，故考虑

，所以

答案：B

例9.已知A、B是圆上的两个动点，，，若M是线段的中点，则的值为（    ）

A.3      B.     C.2           D.

解析：如下图2所示，由知A、B、C三点共线，

所以，因为是中点，所以，故，易求得，从而.

例10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是的外心，．

（1）求角A；

（2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围，

解析：（1）过点O作AB的垂线，垂足为D，因为O是的外心，所以D为AB的中点，所以，同理，所以，由正弦定理边化角得：

所以整理得：因为，所以所以，即又，所以，得

（2）记外接圆的半径为R，因为外接圆的周长为，

所以，得所以周长由（1）知，

所以因为，所以

所以所以，即所以周长的取值范围为