第一章集合与常用逻辑用语同步练习人教A版（2019）必修第一册

这是一份第一章集合与常用逻辑用语同步练习人教A版（2019）必修第一册，共16页。
集合与常用逻辑用语
一．选择题（共8小题）
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，5}，∁UN＝{3，4}，则M∩N＝（　　）
A．{1} B．{1，2} C．{1，5} D．{1，2，5}
2．已知全集为R，集合A＝{x|y＝log2（x+1）}，，则A∩∁RB＝（　　）
A．{x|x＞1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|﹣1＜x≤0或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}
3．已知集合A＝{2，3，4}，B＝{1，3，4，5}，全集U＝A∪B，则∁UA＝（　　）
A．{2} B．{1，5} C．{2，3，4} D．{1，3，4，5}
4．设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x＜3}，则A∩B＝（　　）
A．{x|x＜﹣1} B．{x|x＜4} C．{x|﹣4＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3}
5．已知集合A＝{﹣2，﹣1}，B＝{x∈N*|x2﹣x﹣2≤0}，则A∪B＝（　　）
A．∅ B．{﹣2，﹣1，1}
C．{﹣2，﹣1，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
6．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝﹣|x﹣3|﹣2}，则A∪B＝（　　）
A．[﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）
7．设全集U＝Z，集合A＝{x|1≤x＜7，x∈Z}，B＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，则A∩（∁UB）＝（　　）
A．{1，2，3，4，5，6} B．{1，3，5}
C．{2，4，6} D．∅
8．已知集合A＝{2，﹣2}，B＝{x|x2﹣ax+4＝0}，若A∪B＝A，则实数a满足（　　）
A．a＝4 B．a＝﹣4 C．{﹣4，4} D．{a|﹣4≤a≤4}
二．多选题（共4小题）
（多选）9．若﹣1＜x≤3是﹣3＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
（多选）10．）已知集合A＝{y|y＝x2+1}，集合B＝{（x，y）|y＝x2+1}，下列关系正确的是（　　）
A．（1，2）∈B B．A＝B C．0∉A D．（0，0）∉B
（多选）11．已知集合M＝{2，4}，集合M⊆N⫋{1，2，3，4，5}，则集合N可以是（　　）
A．{2，4} B．{2，3，4} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}
（多选）12．已知全集U＝R，集合A，B满足A⫋B，则下列选项正确的有（　　）
A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．（∁UA）∩B＝∅ D．A∩（∁UB）＝∅

三．填空题（共4小题）
13．满足{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}的集合A有　 　个．
14．设集合A＝{x|x＜0或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是 　 　．
15．已知集合A＝{1，2，3，5}，B＝{1，t}．若A∪B＝A，则t的所有可能的取值构成的集合是 　 　．
16．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤a}≠∅，若{y|y＝x+1，x∈A}＝{y|y＝x2，x∈A}，则实数a值为 　 　．
四．解答题（共5小题）
17．已知集合A＝{x|x2﹣2ax+a2﹣4≤0}，B＝{x||2x﹣5|＞3}．
（1）当a＝3时，求A∩B；
（2）若“x∈∁RB”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18．已知集合A＝{x∈R|2x＜8}，B＝{y∈R|y＝0.2x+5，x∈R}．
（1）求A∪B；
（2）集合C＝{x|1﹣m≤x≤m﹣1}，若集合C⊆（A∪B），求实数m的取值范围．

19．已知集合A＝{x|﹣2＜x≤3}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1＜0}，C＝{x||x﹣m|＜2}．
（1）若m＝2，求集合A∩B；
（2）在B，C两个集合中任选一个，补充在下面问题中，命题p：x∈A，命题q：x∈　 　，求使p是q的必要非充分条件的m的取值范围．

20．设全集为R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}．
（1）若a＝﹣1，求A∩B；
（2）在①A∪B＝A，②A∩B＝B，③（∁RA）∩B＝∅，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．


21．已知全集为R，集合A＝{x|5﹣m＜x＜m}，B＝{x|2＜x≤10}．
（1）若m＝6，求A∪B，（∁RA）∩B；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．

《集合与常用逻辑用语》
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，5}，∁UN＝{3，4}，则M∩N＝（　　）
A．{1} B．{1，2} C．{1，5} D．{1，2，5}
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】由已知求得N，再由交集运算得答案．
【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，∁UN＝{3，4}，∴N＝{1，2，5}，
又M＝{1，3，5}，
∴M∩N＝{1，3，5}∩{1，2，5}＝{1，5}．
故选：C．
【点评】本题考查交集与补集的混合运算，是基础题．
2．已知全集为R，集合A＝{x|y＝log2（x+1）}，，则A∩∁RB＝（　　）
A．{x|x＞1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|﹣1＜x≤0或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}
【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】先化简，再运算即可求解．
【解答】解：由题意可得A＝（﹣1，+∞），B＝（0，1]，
∴∁RB＝（﹣∞，0]∪（1，+∞），
∴A∩∁RB＝（﹣1，0]∪（1，+∞），
故选：C．
【点评】本题考查集合基本运算，属基础题．
3．已知集合A＝{2，3，4}，B＝{1，3，4，5}，全集U＝A∪B，则∁UA＝（　　）
A．{2} B．{1，5} C．{2，3，4} D．{1，3，4，5}
【考点】补集及其运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】直接根据并集、补集概念求解．
【解答】解：∵A＝{2，3，4}，B＝{1，3，4，5}，
∴U＝A∪B＝{1，2，3，4，5}，∵∁UA＝{1，5}，
故选：B．
【点评】本题考查集合基本运算，属基础题．
4．设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x＜3}，则A∩B＝（　　）
A．{x|x＜﹣1} B．{x|x＜4} C．{x|﹣4＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3}
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＜3}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}．
故选：D．
【点评】本题考查了集合的描述法的定义，交集及其运算，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．
5．已知集合A＝{﹣2，﹣1}，B＝{x∈N*|x2﹣x﹣2≤0}，则A∪B＝（　　）
A．∅ B．{﹣2，﹣1，1}
C．{﹣2，﹣1，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【考点】并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合B，利用并集定义能求出A∪B．
【解答】解：∵集合A＝{﹣2，﹣1}，
B＝{x∈N*|x2﹣x﹣2≤0}＝{1，2}，
∴A∪B＝{﹣2，﹣1，1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝﹣|x﹣3|﹣2}，则A∪B＝（　　）
A．[﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）
【考点】并集及其运算；函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∪B．
【解答】解：∵集合A＝{x|y＝}＝{x|1﹣2x＞0}＝{x|x＜0}，
B＝{y|y＝﹣|x﹣3|﹣2}＝{y|y≤﹣2}，
∴A∪B＝{x|x＜0}＝（﹣∞，0）．
故选：D．
【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力等数学核心素养，是基础题．
7．设全集U＝Z，集合A＝{x|1≤x＜7，x∈Z}，B＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，则A∩（∁UB）＝（　　）
A．{1，2，3，4，5，6} B．{1，3，5}
C．{2，4，6} D．∅
【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】根据集合的基本运算即可求解．
【解答】解：∵A＝{x|1≤x＜7，x∈Z}＝{1，2，3，4，5，6}，
B＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，
∴A∩（∁UB）＝{2，4，6}，
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
8．已知集合A＝{2，﹣2}，B＝{x|x2﹣ax+4＝0}，若A∪B＝A，则实数a满足（　　）
A．a＝4 B．a＝﹣4 C．{﹣4，4} D．{a|﹣4≤a≤4}
【考点】并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；分类讨论；综合法；集合；数学运算．
【分析】根据A与B的并集为A，得到B为A的子集，分B为空集与不为空集两种情况考虑，分别求出求出a的范围即可．
【解答】解：由A∪B＝A，得B⊆A，则B＝∅或B≠∅，
（1）当B＝∅时，即有Δ＝a2﹣16＜0，解得﹣4＜a＜4，
（2）当B≠∅时，且A＝{﹣2，2}，
①若B＝{﹣2}，则x2﹣ax+4＝0有两个相等的实根﹣2，
则（﹣2）2﹣a×（﹣2）+4＝0，则a＝﹣4，满足Δ＝a2﹣16＝0，
②若B＝{2}，则x2﹣ax+4＝0有两个相等的实根2，
则22﹣a×2+4＝0，解得a＝4，满足Δ＝a2﹣16＝0，
③若B＝{﹣2，2}，则x2﹣ax+4＝0有两个的实根﹣2和2，
则（﹣2）2﹣a×（﹣2）+4＝0，22﹣a×2+4＝0，则a不存在，
综上得：所有满足条件的实数a组成的集合为[﹣4，4]，
故选：D．
【点评】本题考查并集及其运算，集合的包含关系判断及应用，本题易错主要是忽略B＝∅的情况，考查分类讨论思想．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．若﹣1＜x≤3是﹣3＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑；数学运算．
【分析】把﹣1＜x≤3是﹣3＜x＜a的充分不必要条件转化为（﹣1，3]⫋（﹣3，a），由此得到a的范围，则答案可求．
【解答】解：∵﹣1＜x≤3是﹣3＜x＜a的充分不必要条件，
∴{x|﹣1＜x≤3}⫋{x|﹣3＜x＜a}，
∴a＞3，
∴实数a的值可以是4或5．
故选：CD．
【点评】本题考查充分必要条件的判定及其应用，是基础题．
（多选）10．已知集合A＝{y|y＝x2+1}，集合B＝{（x，y）|y＝x2+1}，下列关系正确的是（　　）
A．（1，2）∈B B．A＝B C．0∉A D．（0，0）∉B
【考点】元素与集合关系的判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】先求出集合A，集合B，再根据元素与集合的关系进行判断．
【解答】解：∵集合A＝{y|y≥1}＝[1，+∞），∴C正确，
∵集合B是由抛物线y＝x2+1上的点组成的集合，∴A正确，B错误，D正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．
（多选）11．已知集合M＝{2，4}，集合M⊆N⫋{1，2，3，4，5}，则集合N可以是（　　）
A．{2，4} B．{2，3，4} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}
【考点】集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用集合关系，判断N中元素的特征，即可得到选项．
【解答】解：集合M＝{2，4}，集合M⊆N⫋{1，2，3，4，5}，
则集合N中至包含2，4两个元素，又不能等于或多于{1，2，3，4，5}中的元素，
所以集合N可以是{2，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}．
故选：ABC．
【点评】本题考查集合的包含关系的应用，子集与真子集的关系，是基础题．
（多选）12．已知全集U＝R，集合A，B满足A⫋B，则下列选项正确的有（　　）
A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．（∁UA）∩B＝∅ D．A∩（∁UB）＝∅
【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】利用A⫋B的关系即可判断．
【解答】解：∵A⫋B，∴A∩B＝A，A∪B＝B，（∁UA）∩B＝≠∅，A∩（∁UB）＝∅，
故选：BD．
【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．满足{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}的集合A有　8　个．
【考点】集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】由已知中{1，2}⊆A，可得1∈A，2∈A，又由A⊆{1，2，3，4，5}，可得A中元素只能从1，2，3，4，5中取，逐一列出满足条件的集合A，即可得到答案．
【解答】解：∵{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}
∴满足条件的集合A有：
{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，
{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}
共8个
故答案为：8
【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及其应用，其中当元素个数不多时，用列举法表示出所有满足条件的集合A是解答的关键．
14．设集合A＝{x|x＜0或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是 　[1，+∞）　．
【考点】集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算；数据分析．
【分析】利用已知集合A，B以及B⊆A，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|x＜0或x≥1}，B＝{x|x≥a}，
因为B⊆A，则a≥1，
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题考查了集合的包含关系的应用，考查了学生的求解问题的能力，属于基础题．
15．已知集合A＝{1，2，3，5}，B＝{1，t}．若A∪B＝A，则t的所有可能的取值构成的集合是 　{2，3，5}　．
【考点】并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】根据集合的包含关系即可求解．
【解答】解：∵A∪B＝A，∴B⊆A，
∵A＝{1，2，3，5}，B＝{1，t}．
又t≠1，∴t＝2，3，5，
∴t可能的取值构成的集合为{2，3，5}，
故答案为：{2，3，5}．
【点评】本题考查了集合的包含关系的应用，涉及到求解集合的子集的问题，属于基础题．
16．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤a}≠∅，若{y|y＝x+1，x∈A}＝{y|y＝x2，x∈A}，则实数a值为 　0或　．
【考点】元素与集合关系的判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】根据条件可得出：﹣1≤a≤1时，{y|0≤y≤a+1}＝{y|0≤y≤1}，从而求出a＝0；a＞1时，{y|0≤y≤a+1}＝{y|0≤y≤1}，从而求出，这样即可得出a的值．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x≤a}≠∅，
∴{y|y＝x+1，x∈A}＝{y|0≤y≤a+1}，﹣1≤a≤1时，
{y|y＝x2，x∈A}＝{y|0≤y≤1}，a＞1时，{y|y＝x2，x∈A}＝{y|0≤y≤a2}，
∴①﹣1≤a≤1时，{y|0≤y≤a+1}＝{y|0≤y≤1}，则a+1＝1，解得a＝0；
②a＞1时，{y|0≤y≤a+1}＝{y|0≤y≤a2}，则a2＝a+1，解得，
∴a＝0或．
故答案为：0或．
【点评】本题考查了集合的描述法的定义，集合相等的定义，考查了计算能力，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
17．已知集合A＝{x|x2﹣2ax+a2﹣4≤0}，B＝{x||2x﹣5|＞3}．
（1）当a＝3时，求A∩B；
（2）若“x∈∁RB”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】充分条件、必要条件、充要条件；交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．
【分析】（1）当a＝3时，求出集合A，B的等价条件，然后利用交集定义进行计算即可．
（2）根据充分不必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．
【解答】解：（1）当a＝3时，x2﹣2ax+a2﹣4≤0等价为x2﹣6x+5≤0得1≤x≤5，即A＝[1，5]，
由|2x﹣5|＞3得2x﹣5＞3或2x﹣5＜﹣3，
得2x＞8或2x＜2，即x＞4或x＜1，即B＝（﹣∞，1）∪（4，+∞），
则A∩B＝（4，5]．
（2）由x2﹣2ax+a2﹣4≤0得[x﹣（a﹣2）][x﹣（a+2）≤0，得a﹣2≤x≤a+2，即A＝[a﹣2，a+2]，
∁RB＝[1，4]，
若“x∈∁RB”是“x∈A”的充分不必要条件，
则[1，4]⫋[a﹣2，a+2]，
则，得，
得2≤a≤3，即实数a的取值范围是[2，3]．
18．已知集合A＝{x∈R|2x＜8}，B＝{y∈R|y＝0.2x+5，x∈R}．
（1）求A∪B；
（2）集合C＝{x|1﹣m≤x≤m﹣1}，若集合C⊆（A∪B），求实数m的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】先求出集合A，B，（1）根据并集的定义即可求解；（2）分集合C为空集与不是空集讨论，建立不等式关系即可求解．
【解答】解：因为集合A＝{x∈R|2x＜8}，B＝{y∈R|y＝0.2x+5，x∈R}，
所以集合A＝{x|x＜3}，B＝{y|y＞5}，
（1）A∪B＝{x|x＜3或x＞5}；
（2）集合C＝{x|1﹣m≤x≤m﹣1}，因为集合C⊆（A∪B），
所以当C＝∅时，1﹣m＞m﹣1，解得m＜1，
当C≠∅时，只需1﹣m＞5或m﹣1＜3，解得m＜﹣4或m＜4，所以m＜4，
综上，实数m的取值范围为：（﹣∞，4）．
19．已知集合A＝{x|﹣2＜x≤3}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1＜0}，C＝{x||x﹣m|＜2}．
（1）若m＝2，求集合A∩B；
（2）在B，C两个集合中任选一个，补充在下面问题中，命题p：x∈A，命题q：x∈　B　，求使p是q的必要非充分条件的m的取值范围．
【考点】充分条件、必要条件、充要条件；交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】（1）m＝2代入求出集合B，进而求出结论；
（2）若选B，求出B，再根据范围的大小即可求出m的取值范围；同样的方法求出选C时对应的m的取值范围．
【解答】解：（1）由m＝2及x2﹣2mx+m2﹣1＜0
得x2﹣4x+3＜0；
解得1＜x＜3
所以B＝{x|1＜x＜3}
又A＝{x|﹣2＜x≤3}，
所以A∩B＝{x|1＜x＜3}．
（2）若选B：
由x2﹣2mx+m2﹣1＜0．
得[x﹣（m﹣1）][x﹣（m+1）]＜0，
∴m﹣1＜x＜m+1
∴B＝{x|m﹣1＜x＜m+1}；
由p是q的必要非充分条件，得集合B是集合A的真子集．
∴⇒﹣1≤m≤2．
若选C：由|x﹣m|＜2．
得m﹣2＜x＜m+2；
∴C＝{x|m﹣2＜x＜m+2}．
由p是q的必要非充分条件，得集合C是集合A的真子集

即0≤m≤1．
20．设全集为R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}．
（1）若a＝﹣1，求A∩B；
（2）在①A∪B＝A，②A∩B＝B，③（∁RA）∩B＝∅，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；分类讨论；集合思想；综合法；分类法；集合；数学运算．
【分析】化简A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，
（1）若a＝﹣1，化简B＝{x|﹣2＜x＜1}，再求交集即可；
（2）选择①或②或③，都可以转化为B⊆A，再分类讨论求参数的范围即可．
【解答】解：A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，
（1）若a＝﹣1，则B＝{x|﹣2＜x＜1}，
A∩B＝{x|﹣2＜x＜﹣1}；
（2）选择①A∪B＝A时，B⊆A，
Ⅰ、当a﹣1≥2a+3，即a≤﹣4时，
B＝∅，成立；
Ⅱ、当a﹣1＜2a+3，即a＞﹣4时，
2a+3≤﹣1或a﹣1≥3，
解得，a≤﹣2或a≥4；
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．
选择②A∩B＝B时，B⊆A，
Ⅰ、当a﹣1≥2a+3，即a≤﹣4时，
B＝∅，成立；
Ⅱ、当a﹣1＜2a+3，即a＞﹣4时，
2a+3≤﹣1或a﹣1≥3，
解得，a≤﹣2或a≥4；
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．
选择③（∁RA）∩B＝∅时，B⊆A，
Ⅰ、当a﹣1≥2a+3，即a≤﹣4时，
B＝∅，成立；
Ⅱ、当a﹣1＜2a+3，即a＞﹣4时，
2a+3≤﹣1或a﹣1≥3，
解得，a≤﹣2或a≥4；
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．
21．已知全集为R，集合A＝{x|5﹣m＜x＜m}，B＝{x|2＜x≤10}．
（1）若m＝6，求A∪B，（∁RA）∩B；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．
【考点】充分条件、必要条件、充要条件；交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】（1）先求出集合A和∁RA，再利用集合的运算求解即可．
（2）由x∈B是x∈A的充分条件，得到B⊆A，再列出不等式组求解．
【解答】解：（1）若m＝6，则A＝{x|5﹣m＜x＜m}＝{x|﹣1＜x＜6}，∴∁RA＝{x|x≤﹣1或x≥6}，
∵B＝{x|2＜x≤10}，
∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤10}，（∁RA）∩B＝{x|6≤x≤10}．
（2）∵x∈B是x∈A的充分条件，
∴B⊆A，
∴，∴m＞10．
∴实数m的取值范围为（10，+∞）．
【点评】本题考查了集合的运算性质，充分条件的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

考点卡片
1．元素与集合关系的判断
【知识点的认识】
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．
2、集合中元素的特征：
（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．

【命题方向】
题型一：验证元素是否是集合的元素
典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：
（1）3∈A；
（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．
分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；
（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．
解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；
（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，
1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，
∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，
∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．
综上4k﹣2∉A．
点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．

题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．
典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．
分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．
解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）
当a+2＝3时，a＝1，…（5分）
此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）
当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）
由，得，成立…（12分）
故…（14分）
点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．

【解题方法点拨】
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
2．集合的包含关系判断及应用
【知识点的认识】
概念：
1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；
2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．

【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
3．并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
图形语言：．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算形状：
①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．

【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．

【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．
4．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
5．补集及其运算
【知识点的认识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
【解题方法点拨】
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．

【命题方向】
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
6．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 　　
集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．　　
集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．　　
集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．　　
集合求补律 　A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．

【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．

【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
7．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
8．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．