山东省枣庄市峄城区东方学校2023—2024学年上学期10月月考九年级数学试卷

2023-2024学年山东省枣庄市峄城区东方国际学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列说法中正确的是(    )

A. 两条对角线垂直的四边形的菱形 B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形
C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形

2.下列方程中是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.如图，菱形中，对角线、交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.用配方法解方程时，原方程变形为(    )

A.  B.  C.  D.

5.根据下面表格中的对应值：

判断方程为常数的一个解的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线，一定是(    )

A. 互相平分 B. 互相垂直 C. 互相平分且相等 D. 互相垂直且相等

7.某种植基地年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量达到吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.已知一元二次方程的两根为与，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图为菱形与的重叠情形，其中在上．若，，，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点，在轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点的落点依次为，，，连续翻转次，则的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.关于的方程无实数解，则的取值范围______ ．

12.若一元二次方程有两个相等的实数根，则          ．

13.如果，则______．

14.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______ ．

15.如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，的平分线交于点，点是线段上的一个动点，则的周长最小值为______．

16.如图，为正方形内一点，且，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则______ ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
用适当的方法解方程：
．
．

18.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
当方程的一个根是时，求的值．

19.本小题分
如图，在▱中，，交于点，点，在上，．

求证：四边形是平行四边形；
若，求证：四边形是菱形．

20.本小题分
如图，在▱中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接．
求证：≌；
当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．

21.本小题分
某超市以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售，一天可售出千克为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，经调查这种干果每千克降价元，销售量将会增加千克；
当每千克干果降价元时，超市获利多少元？
若超市要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？

22.本小题分
已知，是关于的一元二次方程的两个实数根．
若，求的值；
已知等腰三角形的一边长为，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．

23.本小题分
如图，利用一面墙墙长米，用总长度米的栅栏图中实线部分围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米．
______米用含的代数式表示；
若矩形围栏的面积为平方米，求栅栏的长；
矩形围栏的面积是否有可能达到平方米？若有可能，求出相应的值，若不可能，请说明理由．

24.本小题分
如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．
求证：≌；
若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故错误；
B.对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，故错误； 
C.两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
D.两条对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
故选：．
根据菱形，正方形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答．
本题考查了菱形，正方形，矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记四边形的判定定理．

2.【答案】 

【解析】解：、将方程整理，得，是一元二次方程，故符合题意；
B、不是整式方程，故不合题意；
C、若，则就不是一元二次方程，故不合题意；
D、将方程整理，得，是一元一次方程，故不合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐项判断解答即可．
本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即一元二次方程有个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是；是整式方程．

3.【答案】 

【解析】解：菱形的周长为，
，，
为边中点，
是的中位线，
．
故选：．
根据菱形的四条边都相等求出，再根据菱形的对角线互相平分可得，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关键．
首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解．
【解答】
解：，
，
，
．
故选：．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
根据表中数据得到当时，；当时，，则取到之间的某一个数时，可使，于是可判断关于的方程的一个解的范围是．
【解答】
解：当时，；当时，，
关于的方程的一个解的范围是．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：如图，

、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是正方形，即，，
，，
故选：．
根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可，
本题考查了中点四边形，三角形中位线定理以及正方形的性质，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答

7.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
分析：利用该种植基地年蔬菜产量该种植基地年蔬菜产量蔬菜产量的年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以．
故选A．
先根据根与系数的关系得到，，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

9.【答案】 

【解析】解：连接，设交于点，
四边形为菱形，
，且，
在中，
，
，
在中，
，
，
又，
．
故选D．
首先连接，设交于点，由四边形为菱形，利用菱形对角线互相垂直且平分的性质及勾股定理，即可求得的长度．
此题考查了勾股定理与菱形的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．

10.【答案】 

【解析】解：连接与轴交于点，
则与互相垂直且平分．
又，，
所以，
则，
．
所以点的坐标为，
当再翻转时，点的对应点在轴上，
所以点的坐标为．
依次类推，
，，，，，，，，
观察这些点的坐标可知，
点的坐标为，为正整数．
又时，
，，
即点的坐标为，
所以点的坐标为
故选：．
根据题中所给条件，可求出菱形的对角线长，再根据每次翻转，依次求出点，，的坐标，由所发现的规律即可解决问题．
本题考查平面直角坐标系中点的运动规律，能根据所给的菱形的运动方式得出点坐标的变化规律是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：关于的方程无实数解，
，
解得．
故答案为：．
根据平方非负数的性质即可求解．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法，关键是熟悉平方的非负性．

12.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
根据方程有两个相等的实数根，可得，解方程即可．
【解答】
解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．

13.【答案】或 

【解析】解：设为则变形为
移项去括号得
因式分解得
解得或
即或．
求时可把看作一个整体，利用因式分解法求解即可．
正确设出为，然后转化为解方程求得的值．

14.【答案】 

【解析】【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算．此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【解答】
解：设直角三角形的斜边为，两直角边分别为与．
直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，
，；
根据勾股定理可得：，因为，
，
故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：如图，在上截取，使得，连接，过点作于点．

四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
，，，
，
平分，，
、关于对称，
，
，
，
的周长的最小值为，
故答案为：．
如图，在上截取，使得，连接，过点作于点利用勾股定理求出，，证明，可得结论．
本题考查矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

16.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形、勾股定理等知识点，熟练运用这些性质、定理得是直角三角形是解题关键．
根据旋转性质可得、、、，由知是等腰直角三角形，进而根据可得，由此利用勾股定理即可求得的值，则的长也可求出．
【解答】
解：是由旋转得到，
，，，，
，
，即，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．

17.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
，
，
则，
或，
解得，． 

【解析】将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

18.【答案】证明：

，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
解：设方程有两个实数根，，
，，
方程有一个根为，
，，
，
． 

【解析】根据根的判别式得出，据此可得答案；
设方程有两个实数根，，根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．

19.【答案】证明：在▱中，，，
．
，
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
根据平行四边形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可以证明四边形是菱形．

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
点，分别为，的中点，
，，
，
在和中，

≌；
解：当时，四边形是矩形；
理由如下：
，，
，
是的中点，
，
，
同理：，
，
，
由得：≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形． 

【解析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
由平行四边形的性质得出，，，，由平行线的性质得出，证出，由证明≌即可；
证出，由等腰三角形的性质得出，，同理：，得出，，得出四边形是平行四边形，即可得出结论．

21.【答案】解：

元．
答：当每千克干果降价元时，超市获利元．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要让顾客获得更大实惠，
．
答：这种干果每千克应降价元． 

【解析】利用超市销售该种干果获得的利润每千克的销售利润日销售量，即可求出结论；
利用超市销售该种干果获得的利润每千克的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价元．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据图中点的坐标，，利用待定系数法求出一次函数解析式；根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程．

22.【答案】解：，是关于的一元二次方程的两实数根，
，，
，
或，
当时，原方程无解，故舍去，
；
当为底边时，此时方程有两个相等的实数根，
，
，
方程变为，
，
，
不能构成三角形．
当为腰时，设，
代入方程得：，
解得：或，
当时，方程变为，
或，
，
不能组成三角形．
当时，方程变为，
或，
此时三角形的周长为． 

【解析】利用根与系数的关系可得代入整理，得出关于的一元二次方程，解方程可得结果；
利用分类讨论思想可得当为底边时，此时方程有两个相等的实数根，根据判别式求解，利用三角形的三边关系可得结果；
 当为腰时，代入数据方程，得出方程的根，利用等腰三角形的性质和三边关系可得周长．
本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

23.【答案】解：
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
答：栅栏的长为米；
不可能，理由如下：
依题意，得：，
整理得：，
，
方程没有实数根，
矩形围栏的面积不可能达到平方米． 

【解析】解：设栅栏长为米，
栅栏的全长为米，且中间共留两个米的小门，
米，
故答案为：；
见答案；
见答案．
设栅栏长为米，根据栅栏的全长结合中间共留个米的小门，即可用含的代数式表示出的长；
根据矩形围栏的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
根据矩形围栏的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏的面积不可能达到平方米．
本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．

24.【答案】解：四边形为正方形，
，，
又，
四边形为矩形，
，
的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，
，，
，
在和中，
，
≌；
连接，
的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，
，
设，
，
在中，，
，
，
，是公共角，
∽，
：：，
，，
，
：：，
，
≌，
，
． 

【解析】首先利用正方形的性质可以得到，，然后利用可以得到，进一步得到，最后利用全等三角形的判定方法即可求解；
连接，利用的垂直平分线得到，设，则，然后利用勾股定理即可求出，最后利用相似三角形的判定与性质解决问题．
本题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质相似三角形的判定与性质，综合性比较强，对于学生的要求比较高．