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山东省枣庄市峄城区荀子学校2023-2024学年九年级上学期第一次质检数学试卷 （月考）
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山东省枣庄市峄城区荀子学校2023-2024学年九年级上学期第一次质检数学试卷（解析版）
一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．（3分）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（3分）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
4．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
5．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
6．（3分）已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，若要使四边形ABCD成为矩形则可添加条件（ ）
A．AB＝CD B．AB∥CD C．AC⊥BD D．AC＝BD
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，DE⊥AC于点E，AE＝3CE，则DE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴
D．对角线互相垂直的平行四边形为菱形
9．（3分）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
10．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，P为AB上一动点（不与A、B重合），PF⊥BC于点F，连接EF则EF的最小值是（ ）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．1.2
二．填空题：大题共6小题，每小题填对得3分，共18分，只填写最后结果．
11．（3分）菱形ABCD的一个内角为120°，边长为6，则这个菱形较长的对角线长＝ ．
12．（3分）直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是 ．
13．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14．（3分）如图，E是边长为6的正方形ABCD的边AB上一点，且AE＝2，则△APE周长的最小值是 ．
15．（3分）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，则四边形CEDF的周长是 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝30°，则∠AEB＝ °；若△AEF的面积等于1，则AB的值是 ．
三．解答题：本大题共8小题，共72分，解答时，要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
17．（15分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
19．（8分）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，并证明．
20．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，判断△ABC的形状．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点P在AD边上，是不与A，过点P分别做AC和BD的垂线，垂足分别为E，F求PE+PF的值
22．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ODE≌△FCE；
（2）试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．
23．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
24．（10分）如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△BOF；
（2）如果两个正方形的边长都为4，求四边形OEBF的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
2．（3分）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解答】解：∵3x2+2x﹣1＝0，
∴4x2+6x＝6，
x2+2x＝，
则x2+3x+1＝，即（x+1）8＝，
∴a＝7，b＝，
∴a+b＝．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
3．（3分）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【分析】先解出方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝6，
∴x＝3或x＝4．
①当长是5的边是直角边时，该直角三角形的面积是；
②当长是3的边是斜边时，第三边是＝×3×＝．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键．
4．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝ACBD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
5．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
【分析】利用一元二次方程有实数根的条件得到关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣3＝0有实数根，
∴，
解得：m≥且m≠1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于m的不等式组是解题的关键．
6．（3分）已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，若要使四边形ABCD成为矩形则可添加条件（ ）
A．AB＝CD B．AB∥CD C．AC⊥BD D．AC＝BD
【分析】由平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定方法即可得出结论．
【解答】解：需要添加的条件是AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，DE⊥AC于点E，AE＝3CE，则DE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】由矩形的性质得出OA＝OD＝OC，得出∠OAD＝∠ODA，由已知条件得出OE＝CE，∠DEA＝90°，由线段垂直平分线的性质得出OD＝CD，得出△OCD为等边三角形，因此∠DOC＝60°，由三角形的外角性质得出∠DAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出DE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝ACBD，
∴OA＝OD＝OC，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵DE⊥AC，AE＝3CE，
∴OE＝CE，∠DEA＝90°，
∴OD＝CD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵CD＝AB＝6，
∴AC＝2CD＝8，
∴AD＝CD＝4，
∴DE＝AD＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，证明△ABO是等边三角形是本题的关键．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴
D．对角线互相垂直的平行四边形为菱形
【分析】由平行四边形的判定、矩形的判定与性质、菱形的判定分别对各个说法进行判断即可．
【解答】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形；
C、矩形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、菱形的判定等知识，熟记平行四边形的判定、矩形的判定与性质、菱形的判定是解题的关键．
9．（3分）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【分析】根据方程根的定义，将x＝1代入方程，解出m的值即可．
【解答】解：关于x的方程x2+mx+3＝2的一个根为x＝1，
所以1+m+8＝0
解得m＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
10．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，P为AB上一动点（不与A、B重合），PF⊥BC于点F，连接EF则EF的最小值是（ ）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．1.2
【分析】连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：如图，连接CP．
∵∠C＝90°，AC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF＝CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC•AC＝，
即×5×3＝，
解得CP＝2.4．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
二．填空题：大题共6小题，每小题填对得3分，共18分，只填写最后结果．
11．（3分）菱形ABCD的一个内角为120°，边长为6，则这个菱形较长的对角线长＝ 6 ．
【分析】首先证得△ABC是等边三角形，得到AO＝AC＝3，再利用勾股定理列式求出OB，即可得解．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝6，∠AOB＝90°
∴AO＝AC＝3，
在Rt△AOB中，
BO＝＝＝3，
∴菱形较长的对角线长BD是：2×3＝6．
故答案为：8．
【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟记性质是解题的关键．
12．（3分）直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是 30 ．
【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线CD是6，
∴斜边AB长为：2×CD＝5×2＝12，
∴它的面积＝×AB×CE＝，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜2且k≠1 ．
【分析】根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣8）2﹣4×（k﹣7）＞0，
解得k＜2且k≠3，
所以k的取值范围是k＜2且k≠1．
故答案为：k＜3且k≠1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
14．（3分）如图，E是边长为6的正方形ABCD的边AB上一点，且AE＝2，则△APE周长的最小值是 2+2 ．
【分析】由正方形的性质可知A点与C点关于BD对称，连接CE与BD交于点P，此时PA+PE最小为EC，则△APE周长的最小为EC+AE．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴A点与C点关于BD对称，
连接CE与BD交于点P′，
则P′A+P′E＝P′C+P′E＝CE，则当点P和点P′重合时，
∵正方形的边长为6，
∴AB＝BC＝6，
∵AE＝6，
∴EB＝4，
在Rt△CBE中，EC2＝BC5+EB2，
∴EC2＝42+45＝52，
∴EC＝2，
∴△AP′E周长＝AP′+P′E+AE＝EC+AE＝2+4，
∴△APE周长的最小值为2+2，
故答案为：6+2．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质，能确定A点与C点关于BD对称是解题的关键．
15．（3分）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，则四边形CEDF的周长是 16 ．
【分析】连接EF交CD于O，证明四边形CEDF是菱形，可得CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝2，在Rt△COE中，可得CE＝＝＝4，故四边形CEDF的周长是4CE＝16．
【解答】解：连接EF交CD于O，如图：
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠FCD＝∠ECD，
∵DE∥AC，
∴∠FCD＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE，
∴四边形CEDF是菱形，
∴CD⊥EF，∠ECD＝，OC＝，
在Rt△COE中，
CE＝＝＝4，
∴四边形CEDF的周长是4CE＝3×4＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查是三角形角平分线及菱形性质和判定，解题的关键是掌握平行线性质，证明四边形CEDF是菱形．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝30°，则∠AEB＝ 60 °；若△AEF的面积等于1，则AB的值是 ．
【分析】利用“HL”先说明△ABE与△ADF全等，得结论∠BAE＝∠DAF，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出∠AEB；先利用三角形的面积求出AE，再利用直角三角形的边角间关系求出AB．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．
∴∠BAE＝∠DAF．
∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）
＝（90°﹣30°）
＝30°．
∴∠AEB＝60°．
故答案为：60．
过点F作FG⊥AE，垂足为G．
∵sin∠EAF＝，
∴FG＝sin∠EAF×AF．
∵S△AEF＝×AE×FG＝，
∴×AE2×sin30°＝8．
即×AE4×＝3．
∴AE＝2．
在Rt△ABE中，
∵cos∠BAE＝，
∴AB＝cos30°×AE
＝×2
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质及解直角三角形，掌握正方形的性质及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
三．解答题：本大题共8小题，共72分，解答时，要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
17．（15分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可．
（2）先移项得到x（x﹣7）+8（x﹣7）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣7＝0或x+8＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+4）＝0，
x﹣3＝5或x+1＝0，
所以x5＝3，x2＝﹣4；
（2）x（x﹣7）＝8（5﹣x），
x（x﹣7）+8（x﹣8）＝0，
（x﹣7）（x+3）＝0，
x﹣7＝2或x+8＝0，
所以x3＝7，x2＝﹣5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
【分析】（1）利用根的判别式，进行计算即可解答；
（2）利用根与系数的关系和已知可得，求出α，β的值，再根据αβ＝﹣3m2，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣24，
∴Δ＝（﹣2）2﹣3×1•（﹣3m8）
＝4+12m2＞3，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
∵αβ＝﹣7m2，
∴﹣3m8＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±5．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键．
19．（8分）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，并证明．
【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行分析推理．
【解答】解：赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定，掌握平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形以及菱形的判定方法：（1）四条边相等的四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形，是解题关键．
20．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，判断△ABC的形状．
【分析】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0整理得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，由非负数的性质求得三边相等，所以这是一个等边三角形．
【解答】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
＝（2a2+2b7+2c2﹣6ab﹣2bc﹣2ca）
＝[（a2﹣8ab+b2）+（b2﹣8bc+c2）+（c2﹣6ca+a2）]
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，
又∵a2+b2+c7﹣ab﹣bc﹣ac＝0，
∴[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）8]＝0，
根据非负数的性质得，（a﹣b）2＝3，（b﹣c）2＝0，（c﹣a）6＝0，
可知a＝b＝c，
故这个三角形是等边三角形．
【点评】此题主要考查等边三角形的判定的运用，还涉及配方法的应用，非负数的性质等知识点．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点P在AD边上，是不与A，过点P分别做AC和BD的垂线，垂足分别为E，F求PE+PF的值
【分析】连接OP，由矩形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠BAD＝90°，再由勾股定理求出BD的长，然后由三角形的面积关系可得结论．
【解答】解：如图，连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝2，S△ABD＝AB•AD＝，
∴OA＝OD＝OB＝BD＝，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝S△ABD，
∴OA•PE+×5＝2，
∴PE+PF＝，
即PE+PF的值为．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握矩形性质并利用三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
22．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ODE≌△FCE；
（2）试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．
【分析】（1）根据ASA即可证明△ODE≌△FCE；
（2）由（1）△ODE≌△FCE，可得OE＝FE，证明四边形ODFC为平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE，
又∵CF∥BD
∴∠ODE＝∠FCE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）解：四边形ODFC为矩形，证明如下：
∵△ODE≌△FCE，
∴OE＝FE，
又∵CE＝DE，
∴四边形ODFC为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠DOC＝90°，
∴四边形ODFC为矩形．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
23．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE＝∠FDE，而点E是AD的中点，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，从而四边形ABDF是平行四边形，又∠BDF＝90°，即得四边形ABDF是矩形；
（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDF＝DF•AF＝12，四边形ABCD是平行四边形，得CD＝AB＝3，从而S△BCD＝BD•CD＝6，即可得四边形ABCF的面积S为18．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴EF＝EB，
又∵AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°．
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，
∴AF＝＝＝4，
∴S矩形ABDF＝DF•AF＝2×4＝12，BD＝AF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝7，
∴S△BCD＝BD•CD＝，
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，
答：四边形ABCF的面积S为18．
【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BEA≌△FED．
24．（10分）如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△BOF；
（2）如果两个正方形的边长都为4，求四边形OEBF的面积．
【分析】（1）由题意得OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝45°又因为∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOF+∠EOB＝90°可得∠AOE＝∠BOF，根据ASA可证明全等；
（2）由（1）得△AOE≌△BOF⇒S四边形OEBF＝S△EOB+S△OBF＝S△EOB+S△AOE＝S△AOB＝S正方形ABCD．据此解答．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AO＝BO，∠OAB＝∠OBC＝45°，
∵∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOF+∠EOB＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF．
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA）．
（2）解：∵△AOE≌△BOF，
∴S四边形OEBF＝S△EOB+S△OBF＝S△EOB+S△AOE＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×44＝4，
答：四边形OEBF的面积为4．
【点评】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握正方形的性质．
山东省枣庄市峄城区荀子学校2023-2024学年九年级上学期第一次质检数学试卷（解析版）
一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．（3分）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（3分）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
4．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
5．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
6．（3分）已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，若要使四边形ABCD成为矩形则可添加条件（ ）
A．AB＝CD B．AB∥CD C．AC⊥BD D．AC＝BD
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，DE⊥AC于点E，AE＝3CE，则DE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴
D．对角线互相垂直的平行四边形为菱形
9．（3分）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
10．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，P为AB上一动点（不与A、B重合），PF⊥BC于点F，连接EF则EF的最小值是（ ）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．1.2
二．填空题：大题共6小题，每小题填对得3分，共18分，只填写最后结果．
11．（3分）菱形ABCD的一个内角为120°，边长为6，则这个菱形较长的对角线长＝ ．
12．（3分）直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是 ．
13．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14．（3分）如图，E是边长为6的正方形ABCD的边AB上一点，且AE＝2，则△APE周长的最小值是 ．
15．（3分）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，则四边形CEDF的周长是 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝30°，则∠AEB＝ °；若△AEF的面积等于1，则AB的值是 ．
三．解答题：本大题共8小题，共72分，解答时，要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
17．（15分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
19．（8分）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，并证明．
20．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，判断△ABC的形状．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点P在AD边上，是不与A，过点P分别做AC和BD的垂线，垂足分别为E，F求PE+PF的值
22．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ODE≌△FCE；
（2）试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．
23．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
24．（10分）如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△BOF；
（2）如果两个正方形的边长都为4，求四边形OEBF的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
2．（3分）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解答】解：∵3x2+2x﹣1＝0，
∴4x2+6x＝6，
x2+2x＝，
则x2+3x+1＝，即（x+1）8＝，
∴a＝7，b＝，
∴a+b＝．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
3．（3分）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【分析】先解出方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝6，
∴x＝3或x＝4．
①当长是5的边是直角边时，该直角三角形的面积是；
②当长是3的边是斜边时，第三边是＝×3×＝．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键．
4．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝ACBD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
5．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
【分析】利用一元二次方程有实数根的条件得到关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣3＝0有实数根，
∴，
解得：m≥且m≠1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于m的不等式组是解题的关键．
6．（3分）已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，若要使四边形ABCD成为矩形则可添加条件（ ）
A．AB＝CD B．AB∥CD C．AC⊥BD D．AC＝BD
【分析】由平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定方法即可得出结论．
【解答】解：需要添加的条件是AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，DE⊥AC于点E，AE＝3CE，则DE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】由矩形的性质得出OA＝OD＝OC，得出∠OAD＝∠ODA，由已知条件得出OE＝CE，∠DEA＝90°，由线段垂直平分线的性质得出OD＝CD，得出△OCD为等边三角形，因此∠DOC＝60°，由三角形的外角性质得出∠DAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出DE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝ACBD，
∴OA＝OD＝OC，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵DE⊥AC，AE＝3CE，
∴OE＝CE，∠DEA＝90°，
∴OD＝CD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵CD＝AB＝6，
∴AC＝2CD＝8，
∴AD＝CD＝4，
∴DE＝AD＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，证明△ABO是等边三角形是本题的关键．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴
D．对角线互相垂直的平行四边形为菱形
【分析】由平行四边形的判定、矩形的判定与性质、菱形的判定分别对各个说法进行判断即可．
【解答】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形；
C、矩形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、菱形的判定等知识，熟记平行四边形的判定、矩形的判定与性质、菱形的判定是解题的关键．
9．（3分）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【分析】根据方程根的定义，将x＝1代入方程，解出m的值即可．
【解答】解：关于x的方程x2+mx+3＝2的一个根为x＝1，
所以1+m+8＝0
解得m＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
10．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，P为AB上一动点（不与A、B重合），PF⊥BC于点F，连接EF则EF的最小值是（ ）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．1.2
【分析】连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：如图，连接CP．
∵∠C＝90°，AC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF＝CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC•AC＝，
即×5×3＝，
解得CP＝2.4．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
二．填空题：大题共6小题，每小题填对得3分，共18分，只填写最后结果．
11．（3分）菱形ABCD的一个内角为120°，边长为6，则这个菱形较长的对角线长＝ 6 ．
【分析】首先证得△ABC是等边三角形，得到AO＝AC＝3，再利用勾股定理列式求出OB，即可得解．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝6，∠AOB＝90°
∴AO＝AC＝3，
在Rt△AOB中，
BO＝＝＝3，
∴菱形较长的对角线长BD是：2×3＝6．
故答案为：8．
【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟记性质是解题的关键．
12．（3分）直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是 30 ．
【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线CD是6，
∴斜边AB长为：2×CD＝5×2＝12，
∴它的面积＝×AB×CE＝，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜2且k≠1 ．
【分析】根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣8）2﹣4×（k﹣7）＞0，
解得k＜2且k≠3，
所以k的取值范围是k＜2且k≠1．
故答案为：k＜3且k≠1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
14．（3分）如图，E是边长为6的正方形ABCD的边AB上一点，且AE＝2，则△APE周长的最小值是 2+2 ．
【分析】由正方形的性质可知A点与C点关于BD对称，连接CE与BD交于点P，此时PA+PE最小为EC，则△APE周长的最小为EC+AE．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴A点与C点关于BD对称，
连接CE与BD交于点P′，
则P′A+P′E＝P′C+P′E＝CE，则当点P和点P′重合时，
∵正方形的边长为6，
∴AB＝BC＝6，
∵AE＝6，
∴EB＝4，
在Rt△CBE中，EC2＝BC5+EB2，
∴EC2＝42+45＝52，
∴EC＝2，
∴△AP′E周长＝AP′+P′E+AE＝EC+AE＝2+4，
∴△APE周长的最小值为2+2，
故答案为：6+2．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质，能确定A点与C点关于BD对称是解题的关键．
15．（3分）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，则四边形CEDF的周长是 16 ．
【分析】连接EF交CD于O，证明四边形CEDF是菱形，可得CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝2，在Rt△COE中，可得CE＝＝＝4，故四边形CEDF的周长是4CE＝16．
【解答】解：连接EF交CD于O，如图：
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠FCD＝∠ECD，
∵DE∥AC，
∴∠FCD＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE，
∴四边形CEDF是菱形，
∴CD⊥EF，∠ECD＝，OC＝，
在Rt△COE中，
CE＝＝＝4，
∴四边形CEDF的周长是4CE＝3×4＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查是三角形角平分线及菱形性质和判定，解题的关键是掌握平行线性质，证明四边形CEDF是菱形．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝30°，则∠AEB＝ 60 °；若△AEF的面积等于1，则AB的值是 ．
【分析】利用“HL”先说明△ABE与△ADF全等，得结论∠BAE＝∠DAF，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出∠AEB；先利用三角形的面积求出AE，再利用直角三角形的边角间关系求出AB．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．
∴∠BAE＝∠DAF．
∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）
＝（90°﹣30°）
＝30°．
∴∠AEB＝60°．
故答案为：60．
过点F作FG⊥AE，垂足为G．
∵sin∠EAF＝，
∴FG＝sin∠EAF×AF．
∵S△AEF＝×AE×FG＝，
∴×AE2×sin30°＝8．
即×AE4×＝3．
∴AE＝2．
在Rt△ABE中，
∵cos∠BAE＝，
∴AB＝cos30°×AE
＝×2
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质及解直角三角形，掌握正方形的性质及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
三．解答题：本大题共8小题，共72分，解答时，要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
17．（15分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可．
（2）先移项得到x（x﹣7）+8（x﹣7）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣7＝0或x+8＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+4）＝0，
x﹣3＝5或x+1＝0，
所以x5＝3，x2＝﹣4；
（2）x（x﹣7）＝8（5﹣x），
x（x﹣7）+8（x﹣8）＝0，
（x﹣7）（x+3）＝0，
x﹣7＝2或x+8＝0，
所以x3＝7，x2＝﹣5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
【分析】（1）利用根的判别式，进行计算即可解答；
（2）利用根与系数的关系和已知可得，求出α，β的值，再根据αβ＝﹣3m2，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣24，
∴Δ＝（﹣2）2﹣3×1•（﹣3m8）
＝4+12m2＞3，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
∵αβ＝﹣7m2，
∴﹣3m8＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±5．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键．
19．（8分）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，并证明．
【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行分析推理．
【解答】解：赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定，掌握平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形以及菱形的判定方法：（1）四条边相等的四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形，是解题关键．
20．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，判断△ABC的形状．
【分析】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0整理得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，由非负数的性质求得三边相等，所以这是一个等边三角形．
【解答】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
＝（2a2+2b7+2c2﹣6ab﹣2bc﹣2ca）
＝[（a2﹣8ab+b2）+（b2﹣8bc+c2）+（c2﹣6ca+a2）]
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，
又∵a2+b2+c7﹣ab﹣bc﹣ac＝0，
∴[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）8]＝0，
根据非负数的性质得，（a﹣b）2＝3，（b﹣c）2＝0，（c﹣a）6＝0，
可知a＝b＝c，
故这个三角形是等边三角形．
【点评】此题主要考查等边三角形的判定的运用，还涉及配方法的应用，非负数的性质等知识点．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点P在AD边上，是不与A，过点P分别做AC和BD的垂线，垂足分别为E，F求PE+PF的值
【分析】连接OP，由矩形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠BAD＝90°，再由勾股定理求出BD的长，然后由三角形的面积关系可得结论．
【解答】解：如图，连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝2，S△ABD＝AB•AD＝，
∴OA＝OD＝OB＝BD＝，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝S△ABD，
∴OA•PE+×5＝2，
∴PE+PF＝，
即PE+PF的值为．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握矩形性质并利用三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
22．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ODE≌△FCE；
（2）试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．
【分析】（1）根据ASA即可证明△ODE≌△FCE；
（2）由（1）△ODE≌△FCE，可得OE＝FE，证明四边形ODFC为平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE，
又∵CF∥BD
∴∠ODE＝∠FCE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）解：四边形ODFC为矩形，证明如下：
∵△ODE≌△FCE，
∴OE＝FE，
又∵CE＝DE，
∴四边形ODFC为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠DOC＝90°，
∴四边形ODFC为矩形．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
23．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE＝∠FDE，而点E是AD的中点，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，从而四边形ABDF是平行四边形，又∠BDF＝90°，即得四边形ABDF是矩形；
（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDF＝DF•AF＝12，四边形ABCD是平行四边形，得CD＝AB＝3，从而S△BCD＝BD•CD＝6，即可得四边形ABCF的面积S为18．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴EF＝EB，
又∵AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°．
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，
∴AF＝＝＝4，
∴S矩形ABDF＝DF•AF＝2×4＝12，BD＝AF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝7，
∴S△BCD＝BD•CD＝，
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，
答：四边形ABCF的面积S为18．
【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BEA≌△FED．
24．（10分）如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△BOF；
（2）如果两个正方形的边长都为4，求四边形OEBF的面积．
【分析】（1）由题意得OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝45°又因为∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOF+∠EOB＝90°可得∠AOE＝∠BOF，根据ASA可证明全等；
（2）由（1）得△AOE≌△BOF⇒S四边形OEBF＝S△EOB+S△OBF＝S△EOB+S△AOE＝S△AOB＝S正方形ABCD．据此解答．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AO＝BO，∠OAB＝∠OBC＝45°，
∵∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOF+∠EOB＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF．
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA）．
（2）解：∵△AOE≌△BOF，
∴S四边形OEBF＝S△EOB+S△OBF＝S△EOB+S△AOE＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×44＝4，
答：四边形OEBF的面积为4．
【点评】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握正方形的性质．
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