山东省枣庄市峄城区吴林街道中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2023-2024学年山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级（上）第一次月考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列哪个方程是一元二次方程(    )

A.  B.  C.  D.

2.顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足(    )

A.  B.  C.  D.

3.根据下列表格中的对应值：

判断方程、、为常数的一个解的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.如图，菱形中，连接，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.用配方法解方程时，配方后正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图，菱形的对角线、相交于点，于点，若，，则在下列结论中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.据国家统计局发布的年国民经济和社会发展统计公报显示，年和年全国居民人均可支配收入分别为万元和万元设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形若，，则四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

10.如图，边长为的正方形中，为对角线上的一点，连接并延长交于点，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是______ 写出一个即可．

12.如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，，垂足为点，则______．

13.九章算术中提出了如下问题：今有产不加高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是______ ．

14.边长为的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则的面积为______ ．

15.如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，若，，则的长为______ ．

16.已知、是方程的两根，则 ______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

17.正方形的边长为，、分别是、边上的点，且将绕点逆时针旋转，得到．
求证：；
当时，求的长．

四、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分
解下列方程：
；
．

19.本小题分

如图，矩形的对角线，相交于点，，．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．

20.本小题分
随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月份游客人数为万人，月份游客人数为万人．
求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
预计月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率已知该景区月日至月日已接待游客万人，则月份后天日均接待游客人数最多是多少万人？

21.本小题分
如图，在中，，延长至，使得，过点，分别作，，与相交于点下面是两位同学的对话：

请你选择一位同学的说法，并进行证明；
连接，若，求的长．

22.本小题分
某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每月可售出件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件．
降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？

23.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
设该方程的两个实数根为，，若，求的值．

24.本小题分

小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______
性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形的面积与两对角线，之间的数量关系：______ ．
问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，．
求证：四边形为垂美四边形；
求出四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B.该方程符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；
C.该方程是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D.当时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是．

2.【答案】 

【解析】解：已知：如右图，四边形是矩形，且、、、分别是、、、的中点，求证：四边形是对角线垂直的四边形．
证明：由于、、、分别是、、、的中点，
根据三角形中位线定理得：，；
四边形是矩形，即，
，
故选：．
此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．

3.【答案】 

【解析】解：时，；时，，
关于的方程的一个解的范围是．
故选：．
根据表中数据得到时，；时，，则取到之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围是．
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．

4.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
故选：．
根据菱形的性质和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先把移到方程的右边，然后方程两边都加，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
于点，
在中，根据勾股定理得，，故B错误；
，故C正确；
在中，根据勾股定理得，，故A错误；
，
在中，根据勾股定理得，，故D错误．
故选：．
根据菱形的性质可知，，，由于于点，所以在中，利用勾股定理可以求出，进而求出、，再在中求出即可作出判断．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用．菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

7.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
故选：．
根据年的人均可支配收入年平均增长率年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：如图，设与交于点，

四边形为矩形，
，，，
根据折叠的性质可得，，，，，
，，
，，，，，
四边形为菱形，
．
故选：．
由折叠可知，，，，由同旁内角互补，两直线平行得，，由平行线的性质可得，，，，，再根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形可知四边形为菱形，最后利用菱形的面积公式计算即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、菱形的面积公式，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程，
，
方程有两个实数根，
，
解得，
的取值范围是且，
故选：．
根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案．
此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，如图：

正方形边长为，
，，，
由，可得直线解析式为，
设，
由，得直线解析式为，
在中，令得，
，
，
，
，
整理得，
解得不符合题意，舍去或，
，
，
故选：．
方法：
，
，
，
，
，，
，，
，
在中，，，
，
由正方形对称性知，
故选：．
以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，由正方形边长为，可知，，，直线解析式为，设，可得直线解析式为，即得，由，有，解得不符合题意，舍去或，故，从而求出．
本题考查正方形性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出的坐标．

11.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
则的值可以是．
故答案为：．
根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于求出的范围，写出一个即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，，
，，
，，由勾股定理得：，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
根据菱形的性质得出，，，，求出和，求出，根据菱形的面积公式求出即可．
本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键．

13.【答案】尺 

【解析】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是尺，根据勾股定理可得：
，
整理得：，
解得舍去或．
则门高：．
故答案为：尺．
利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可．
本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：过作交延长线与，如图：

，，
，
的面积为，
故答案为：．
过作交延长线与，由已知可得，即知，从而的面积为．
本题考查正方形，等边三角形性质及应用，解题的关键是掌握所对的直角边等于斜边的一半．

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，设与交于点，

线段垂直平分，
，，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
连接，设与交于点，由线段垂直平分得，再证≌，得，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：是方程的根，
，
，
，是方程的两根，
，
．
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义得到，，再根据根与系数的关系得到，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，，也考查了一元二次方程的解．

17.【答案】解：证明：逆时针旋转得到，
，
、、三点共线，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
设，
，且，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，
则． 

【解析】由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出；
由第一问的全等得到，正方形的边长为，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长．
此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

18.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

19.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
矩形的对角线，相交于点，
，，，
，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，，，
，，
，
四边形是菱形，
菱形的面积． 

【解析】证明四边形是平行四边形，再根据矩形性质可得：，利用菱形的判定即可证得结论；
先求出矩形面积，再根据矩形性质可得，再由菱形性质可得菱形的面积可解答．
本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，矩形面积和菱形面积等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键．

20.【答案】解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，
由题意可得：，
解得：，不合题意舍去，
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
设月份后天日均接待游客人数是万人，
由题意可得：，
解得：，
答：月份后天日均接待游客人数最多是万人． 

【解析】设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由月份游客人数为万人，月份游客人数为万人，列出方程可求解；
设月份后天日均接待游客人数是万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．

21.【答案】证明：小星：连接，

，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
；
小红：连接，，

，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
；
连接，

，
设，，
，
，
，
，
． 

【解析】小星：连接，根据平行四边的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形性质得到；小红：连接，，根据平行四边形的判定和性质以及矩形 的判定和性质定理即可得到论；
连接，设，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形 的判定和性质，勾股定理，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

22.【答案】解：由题意，得元．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是元；
要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，设每件商品应降价元，
由题意，得，
解得：，．
有利于减少库存，
．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元． 

【解析】先求出每件的利润，再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；
设要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
本题考查了销售问题的数量关系：利润售价进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．

23.【答案】证明：

，
无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
解：该方程的两个实数根为，，
，，



，
，
，
整理得：，
解得：，，
的值为或． 

【解析】要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明即可；
利用根与系数的关系得，，再将变形可得，将，的代入可得关于的一元二次方程，求解即可．
本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．

24.【答案】菱形、正方形  

【解析】解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
菱形和正方形一定是垂美四边形；
故答案为：菱形、正方形；
解：如图所示：

四边形的面积的面积的面积；
故答案为：；
证明：连接、，如图所示：

四边形和四边形是正方形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
又，，
，
，
，
四边形为垂美四边形；
解：，，，
，
，
在中，，
，
四边形为垂美四边形，
四边形的面积．
由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；
四边形的面积的面积的面积；
连接、，证出，由证明≌，得出，，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出，得出即可；
根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合的结论计算即可．
本题是四边形综合题目，考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．