新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练小题满分练6（含解析）

小题满分练6

一、单项选择题

1．设集合M＝{x|x>4}，N＝{x|x2>4}，则(　　)

A．M⊆N   B．N⊆M

C．M⊆∁RN   D．N⊆∁RM

答案　A

解析　N＝{x|x2>4}＝{x|x>2或x<－2}，

∴M⊆N，A正确，B错误；

∁RN＝{x|－2≤x≤2}，∁RM＝{x|x≤4}，

可知C，D均错误．

2．(2022·开封模拟)命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”的否定是(　　)

A．∀x∈R，x＋|x|<0

B．∀x∈R，x＋|x|≠0

C．∃x∈R，x＋|x|≥0

D．∃x∈R，x＋|x|<0

答案　D

解析　因为命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即“∃x∈R，x＋|x|<0”．

3．棣莫弗公式[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(i为虚数单位，r>0)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754)发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内，复数15对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　A

解析　由题意得15

＝215

＝215cos ＋215sin ·i，

对应的点的坐标为，

是第一象限角，其正弦、余弦都为正数，即对应点的横坐标和纵坐标均为正数，故点在第一象限．

4.(2022·宁波模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(e是自然对数的底数)(　　)

A．f(x)＝

B．f(x)＝

C．f(x)＝

D．f(x)＝

答案　A

解析　由图知，x≠1，可排除B，C；又由图可知f(0)>0，因为选项D中函数f(x)＝，

则f(0)＝＝－1<0，故D错误．

5．(2022·泰安模拟)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)

A．16小时   B．20小时

C．24小时   D．28小时

答案　C

解析　由题意，得

即

于是当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb

＝3×192＝24(小时)．

6．(2022·东北师大附中模拟)某中学为响应国家“双减”政策，开设了乒乓球、羽毛球、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选修2门，初一到初三这三学年将4门选修课程选修完，则每位同学的不同选修方式有(　　)

A．60种   B．78种

C．54种   D．84种

答案　C

解析　根据题意，三年修完4门选修课程，每学年至多选修2门，

则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,2,2.

先将4门课程按照1,1,2分成三组有种方式，再分到三个学年，有A种方式，

所以不同的选修方式有×A＝36(种)；

再将4门课程按照0,2,2分成三组有种方式，

再分到三个学年，有A种方式，

所以不同的选修方式有×A＝18(种)，

综上，共有36＋18＝54(种)．

7．(2022·吕梁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，BD为AC边上的中线，BD＝2，且acos C－2bcos B＋ccos A＝0，则△ABC的面积为(　　)

A．2  B.  C.  D.

答案　C

解析　∵acos C－2bcos B＋ccos A＝0，

由正弦定理得

sin Acos C－2sin Bcos B＋sin Ccos A＝0，

∴sin(A＋C)－2sin Bcos B＝0，

又A＋B＋C＝π，

∴sin B－2sin Bcos B＝0，

∵B是三角形内角，

∴sin B≠0，

∴cos B＝，

∴B＝，

由余弦定理得

b2＝a2＋c2－2accos B，即9＝a2＋c2－ac，

又＝(＋)，

∴||2＝(||2＋||2＋2·)，

即4＝(a2＋c2＋ac)，

解得ac＝，

∴S△ABC＝acsin B＝××＝.

8．已知x∈(0，＋∞)，不等式ax＋eax≥ln x＋x恒成立，则实数a的最小值为(　　)

A.  B.  C．0  D．1

答案　A

解析　设f(x)＝x＋ex，显然f(x)是增函数，

不等式ax＋eax≥ln x＋x可变形为ax＋eax≥ln x＋eln x，即f(ax)≥f(ln x)，所以ax≥ln x.

所以a≥，

令g(x)＝，x>0，

则g′(x)＝，

当0<x<e时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

所以g(x)max＝g(e)＝，

因为不等式a≥恒成立，所以a≥.

即a的最小值是.

二、多项选择题

9．(2022·临沂模拟)给出下列说法，其中正确的是(　　)

A．若数据x1，x2，…，xn的方差s2为0，则此组数据的众数唯一

B．已知一组数据2,3,5,7,8,9,9,11，则该组数据的第40百分位数为6

C．一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多

D．经验回归直线＝x＋恒过样本点的中心(，)，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好

答案　AC

解析　选项A，由方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝0，

可得x1＝x2＝…＝xn＝，即此组数据众数唯一，故A正确；

选项B，数据2,3,5,7,8,9,9,11，共有8个数，由8×40%＝3.2可知，该组数据的第40百分位数为第4个数7，故B错误；

选项C，依据中位数定义和平均数定义，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多，故C正确；

选项D，经验回归直线的拟合效果看残差平方和，残差平方和越小，拟合效果越好，而不是经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好，故D错误．

10．(2022·潍坊模拟)已知向量＝(1,2)，将绕原点O旋转－30°，30°，60°到，，的位置，则(　　)

A.·＝0

B．||＝||

C.·＝·

D．点P1的坐标为

答案　ABC

解析　因为绕原点O旋转－30°，30°，60°到，，，

所以与的夹角为90°，

故·＝0，A选项正确；

由题意知，△OPP1≌△OPP2，

所以PP1＝PP2，即||＝||，故B正确；

因为〈，〉＝60°，

〈，〉＝60°，

||＝||＝||＝||，

所以由数量积的定义知·＝·，

故C正确；

若点P1的坐标为，

则||＝≠||＝，故D不正确．

11．(2022·永州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，并且当x∈(0,1]时，f(x)＝2|x－2|－3，则下列选项正确的是(　　)

A．f(x)在(－3，－2)上单调递减

B．f(x)在上小于0

C．f(x)在[1,2]上单调递增

D．f(x)的图象关于直线x＝3对称

答案　BD

解析　因为f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，

所以函数f(x)的图象关于点(0,0)中心对称，

且关于直线x＝1轴对称，则f(x)的周期为4，

当x∈(0,1]时，f(x)＝2|x－2|－3＝1－2x，

则函数f(x)在(0,1)上单调递减，

根据对称性可得f(x)在(1,2)上单调递增，

再结合周期性可得f(x)在(－3，－2)上单调递增，故A错误；

f(x)在上小于0，根据对称性可得f(x)在上小于0，故B正确；

f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，

所以f ＝f ＝0，f(2)＝f(0)＝0，

所以f(x)不可能在[1,2]上单调递增，故C错误；

f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，

又f(x)是奇函数，

所以f(x)的图象关于直线x＝－1轴对称，

因为f(x)的周期为4，

所以f(x)关于直线x＝3对称，故D正确．

12．(2022·南通模拟)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝2|BF|，M为AB中点，则下列结论正确的是(　　)

A．∠CFD＝90°

B．直线AB的斜率为±

C．△AOB的面积为

D．△CMD为等腰直角三角形

答案　AC

解析　令∠AFC＝α，∠BFD＝β，

∵|AC|＝|AF|，∴∠ACF＝α，∠CAF＝π－2α，

∵|BF|＝|BD|，

∴∠BDF＝β，∠DBF＝π－2β.

又∵π－2α＋π－2β＝π，∴α＋β＝，

∴∠CFD＝90°，A正确；

设AB：x＝my＋1，

令A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

消去x可得y2－4my－4＝0，

则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

∵＝2，∴y1＝－2y2，

∴y1＝－2，y2＝，m＝－，此时k＝－2，

或y1＝2，y2＝－，m＝，此时k＝2，

即k＝±2，B错误；

|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2

＝my1＋my2＋4＝，

O到AB的距离d＝＝，

∴S△AOB＝××＝，C正确；

令m＝，则AB：x＝y＋1，

此时A(2,2)，B，M，

C(－1,2)，D(－1，－)，|DM|＝，

|CM|＝，|CD|＝3，CM2＋DM2≠CD2，

∴△CDM不是等腰直角三角形，D错误．

三、填空题

13．(2022·日照模拟)已知第一象限的点M(a，b)在直线x＋y－1＝0上，则＋的最小值是____________．

答案　3＋2

解析　因为第一象限的点M(a，b)在直线x＋y－1＝0上，所以a＋b＝1，a>0，b>0，

所以＋＝(a＋b)

＝3＋＋≥3＋2，

当且仅当a＝－1，b＝2－时，等号成立．

14．(2022·广东六校联考)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，角β的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点，角α的终边与角β的终边关于y轴对称，则cos(α－β)＝________.

答案　－

解析　因为角β的终边与圆x2＋y2＝1交于点，所以sin β＝，cos β＝－，

因为角α的终边与角β的终边关于y轴对称，

所以sin α＝，cos α＝，

所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－.

15．(2022·鹰潭模拟)图1是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名．已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图2所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为156，且图2中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为______．

答案　48

解析　设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为a1，a2，a3，a4，成等差数列，设公差为d，

由题意得6(a1＋a2＋a3＋a4)＝156，

即a1＋a2＋a3＋a4＝26，

所以2a1＋3d＝13，①

因为阴影部分的面积

S＝6××(a－a)＝，

所以2a1d＋d2＝11，②

联立①②解得或(不符合题意，舍去)，故a4＝a1＋3d＝8，

所以最外层六边形的周长为48.

16．(2022·莆田质检)定义：若A，B，C，D为球面上四点，E，F分别是AB，CD的中点，则把以EF为直径的球称为AB，CD的“伴随球”．已知A，B，C，D是半径为2的球面上四点，AB＝CD＝2，则AB，

CD的“伴随球”的直径取值范围为________；若A，B，C，D不共面，则四面体ABCD体积的最大值为________．

答案　(0,2]　4

解析　设O为A，B，C，D所在球面的球心，

∴OA＝OC＝2.

∵AB＝CD＝2，且E，F分别是AB，CD的中点，

∴OE⊥AB，OF⊥CD，且AE＝CF＝，

∴OE＝OF＝1，

则E，F均是以O为球心，1为半径的球面上的点，

若以EF为直径作球，

则0<EF≤OE＋OF＝2，

即AB，CD的“伴随球”的直径取值范围是(0,2]；

∵E是AB的中点，

∴VA－BCD＝2VA－CDE＝S△CDE·d，

d为点A到平面CDE的距离，d≤AE＝，

又S△CDE＝CD·h，h为点E到CD的距离，h≤EF≤2，

∴VA－BCD≤××＝4，

当且仅当E，O，F三点共线，且AB⊥CD时，等号成立．