新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练小题满分练5（含解析）

小题满分练5

一、单项选择题

1．(2022·济宁模拟)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则的虚部为(　　)

A．1  B．－1  C．2  D．－2

答案　B

解析　因为z·i3＝1－2i，

可得z＝＝＝(1－2i)i＝2＋i，

所以＝2－i，所以的虚部为－1.

2．(2022·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(x－1)}，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1，＋∞)   B．[1，＋∞)

C．(－∞，1)   D．(－∞，1]

答案　B

解析　由题意可知A＝{x|y＝ln(x－1)}＝{x|x>1}，所以由A∪B＝R得a≥1.

3．(2022·莆田质检)若sin 12°＋cos 12°＝a，则cos 66°等于(　　)

A．1－a   B．a－1

C．1－a2   D．a2－1

答案　D

解析　依题意知sin 12°＋cos 12°＝a，

两边平方并化简得1＋sin 24°＝a2，

则sin 24°＝a2－1，

所以cos 66°＝cos(90°－24°)＝sin 24°＝a2－1.

4．(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　)

A．1.0×109 m3   B．1.2×109 m3

C．1.4×109 m3   D．1.6×109 m3

答案　C

解析　如图，由已知得该棱台的高为

157．5－148.5＝9(m)，

所以该棱台的体积

V＝×9×(140＋＋180)×106＝60×(16＋3)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C.

5．(2022·淄博模拟)若4x＝5y＝20，z＝logxy，则x，y，z的大小关系为(　　)

A．x<y<z   B．z<x<y

C．y<x<z   D．z<y<x

答案　D

解析　∵4x＝5y＝20，

根据指数与对数的关系和y＝logax(a>1)为增函数，得x＝log420>log416＝2，

y＝log520，

由log55<log520<log525，

得1<log520<2，

故1<y<2，∴1<y<x，

可得logxy<logxx＝1，即z<1，

综上，z<y<x.

6．(2022·广东六校联考)我国最早按乐器的制造材料对乐器进行分类，《周礼·春宫》中记载，中国古典乐器一般按“八音”分类，分为“金、石、土、革、丝、木、匏(páo)、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，则三音来自两种不同类型乐器的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　由题意可得，从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，共有C＝10(种)不同的取法，

三音来自两种不同类型乐器的取法共有CC＋CC＋CC＋CC＝6(种)，

故所求概率P＝＝.

7．(2022·泰安模拟)已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn＝.若对任意的n∈N*，都有bn≥b5成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－6，－5]   B．(－6，－5)

C．[－5，－4]   D．(－5，－4)

答案　D

解析　根据题意，数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，所以an＝n＋a－1，

由于数列{bn}满足bn＝＝＋1，

所以≥对任意的n∈N*都成立，

故数列{an}单调递增，且满足a5<0，a6>0，

所以

解得－5<a<－4.

8．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则 f(k)等于(　　)

A．－21  B．－22  C．－23  D．－24

答案　D

解析　由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，

可得g(2＋x)＝g(2－x)．

在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替换x，

可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，

可得f(－x)＝f(x)．

在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替换x，

得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，

代入f(x)＋g(2－x)＝5中，

得f(x)＋f(－x－2)＝－2，

可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，

所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，

所以f(x＋4)＝f(x)，

所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．

由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5，

又g(2)＝4，所以可得f(0)＝1，

又f(x)＋f(x＋2)＝－2，

所以f(0)＋f(2)＝－2，

f(－1)＋f(1)＝－2，

得f(2)＝－3，f(1)＝f(－1)＝－1，

又f(3)＝f(－1)＝－1，

f(4)＝f(0)＝1，

所以 f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.

故选D.

二、多项选择题

9．(2022·龙岩质检)已知二项式n的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有(　　)

A．展开式共有7项

B．二项式系数最大的项是第4项

C．所有二项式系数和为128

D．展开式的有理项共有4项

答案　CD

解析　因为二项式n的展开式中各项系数之和是，所以令x＝1，

可得n＝⇒＝⇒n＝7.

因为n＝7，所以展开式共有8项，因此A不正确；

因为n＝7，所以二项式系数最大的项是第4项和第5项，因此B不正确；

因为n＝7，所以所有二项式系数和为27＝128，所以C正确；

展开式通项为Tk＋1＝C·k·，k＝0,1,2，…，7，

当k＝1,3,5,7时，对应的项是有理项，故D正确．

10．(2022·聊城质检)已知实数a，b，c满足a>b>c>0，则下列说法正确的是(　　)

A.<

B.<

C．ab＋c2>ac＋bc

D．(a＋b)的最小值为4

答案　BC

解析　对于A，因为a>b>c>0，

所以<，<0，

所以>，

所以A错误；

对于B，因为a>b>c>0，

所以c(a－b)>0，a(a＋c)>0，

所以－＝

＝＝>0，

所以<，所以B正确；

对于C，因为a>b>c>0，所以a－c>0，b－c>0，

所以ab＋c2－(ac＋bc)＝a(b－c)－c(b－c)

＝(a－c)(b－c)>0，

所以ab＋c2>ac＋bc，所以C正确；

对于D，因为a>0，b>0，

所以(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当＝，即a＝b时取等号，

因为a>b，所以取不到等号，

所以(a＋b)的最小值不为4，

所以D错误．

11．(2022·保定模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是棱A1D1，AB的中点，则下列选项中正确的是(　　)

A．MC⊥DN

B．A1C1∥平面MNC

C．异面直线MD与NC所成角的余弦值为

D．平面MNC截正方体所得的截面是五边形

答案　AD

解析　以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，

则D(0,0,0)，M(1,0,2)，C(0,2,0)，N(2,1,0)，A(2,0,0)．

所以＝(－1,2，－2)，＝(2,1,0)，

·＝－2＋2＝0，

所以MC⊥DN，故A正确；

因为＝(－1,2，－2)，＝(1,1，－2)，

设平面MNC的法向量为n＝(x，y，z)，

所以由·n＝0，·n＝0，

可得

所以可取n＝(2,4,3)，

因为＝(－2,2,0)，·n＝－4＋8＝4≠0，

又＝，

所以A1C1不与平面MNC平行，故B错误；

因为＝(1,0,2)，＝(－2,1,0)，

所以cos〈，〉＝＝－，

所以异面直线MD与NC所成角的余弦值为，

故C错误；

连接CN，在D1C1上取靠近D1的四等分点Q，连接MQ，则MQ∥CN，

连接CQ，在AA1上取靠近A1的三等分点P，连接NP，则NP∥CQ，连接MP，

所以平面MNC截正方体所得的截面是五边形CQMPN，故D正确．

12．(2022·山东名校大联考)设函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)，已知f(x)在[0，π]上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是(　　)

A．在(0，π)上存在x1，x2，满足f(x1)－f(x2)＝4

B．f(x)在(0，π)上有2个最大值点

C．f(x)在上单调递增

D．ω的取值范围为

答案　AD

解析　f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin(ω>0)，

则函数f(x)的大致图象如图所示，

当x＝0时，

y＝2sin＝－1，

因为ω>0，所以当x>0时，f(x)在y轴右侧第一个最大值区间内单调递增，

因为f(x)在[0，π]上有且仅有3个零点，

所以π的位置在C与D之间(包括C，不包括D)，

令f(x)＝2sin＝0，

则ωx－＝kπ，k∈Z，

得x＝，k∈Z，

所以y轴右侧第一个零点的横坐标为，

周期T＝，

所以＋T≤π<＋T，

即＋≤π<＋·，

解得≤ω<，所以D正确；

在区间(0，π)上，函数f(x)可以取到最大值和最小值，所以在(0，π)上存在x1，x2，

满足f(x1)－f(x2)＝4，所以A正确；

由图象可得，f(x)在(0，π)上不一定有2个最大值点，所以B错误；

当0<x<时，－<ωx－<－，

因为≤ω＜，

所以≤－＜，

所以f(x)在上不单调递增，所以C错误．

三、填空题

13．(2022·济南模拟)已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为________．

答案　π

解析　因为圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则此等腰三角形底边上的高即为圆锥的高，设为h，

因此h＝2cos ＝1，

圆锥底面圆半径r＝＝，所以圆锥的体积为V＝πr2h＝×()2×1＝π.

14．(2022·六安模拟)若函数f(x)＝为奇函数，则实数a的值为________．

答案　±1

解析　因为函数f(x)＝为奇函数，

所以f(x)＋f(－x)＝0，

即＋＝0，

解得a＝±1.

15．(2022·威海模拟)已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，其外接圆的圆心为O，则·的值为______．

答案　8

解析　如图，过O作OD⊥AB交AB于D，

OE⊥AC交AC于E，

可得D，E分别为AB，

AC的中点，

则·＝·(－)

＝·－·

＝(＋)·－(＋)·

＝·＋·－·－·

＝2＋0－2－0

＝×(25－9)

＝8.

16．(2022·如皋模拟)在平面直角坐标系中，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点T在x轴上，满足＝3，且BF2经过△BF1T的内切圆圆心，则双曲线C的离心率为________．

答案　

解析　如图所示，

设|AF1|＝m，因为|F1F2|＝2c，＝3，

则AF2∥BT，所以△F1AF2∽△F1BT，

所以＝＝＝，

所以|BF1|＝3m，|F2T|＝4c，

由双曲线的定义可得，

|AF2|＝|AF1|＋2a＝m＋2a，

|BF2|＝|BF1|－2a＝3m－2a，

因为BF2经过△BF1T的内切圆圆心，即BF2平分∠F1BT，

所以＝＝＝，

则|BT|＝2|BF1|＝6m，

所以|AF2|＝|BT|＝2m，

所以2m＝m＋2a，则m＝2a，

则|AB|＝2m＝4a＝|AF2|，|BF2|＝3m－2a＝4a，

故△ABF2为等边三角形，

则∠BAF2＝，

故∠F1AF2＝，

在△F1AF2中，

|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，

由余弦定理可得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos ，

即4c2＝4a2＋16a2－16a2×，

可得c＝a，

因此，该双曲线的离心率为e＝＝.