新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练大题保分练3（含解析）

大题保分练3

1．(2022·邯郸模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.

(1)求B；

(2)若a＝2，c＝1，________，求BD.

在①D为AC的中点；②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解　(1)在△ABC中，由正弦定理得，

sin Bsin A＝sin A－sin Acos B.

因为sin A≠0，

所以sin B＝1－cos B，

所以sin B＋cos B＝2sin＝1，

即sin＝.

又B∈(0，π)，则B＋＝，所以B＝.

(2)选择条件①：因为＝，

所以||2＝(||2＋2·＋||2)

＝×＝，

所以||＝，即BD＝.

选择条件②：

因为BD为∠ABC的角平分线，

所以S△ABD＋S△CBD＝S△ABC，

则c×Bdsin ＋a×Bdsin 

＝a×csin ，

即×1×Bdsin ＋×2×Bdsin 

＝×2×1×sin ，

解得BD＝.

2．(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：

并计算得x＝0.038，y＝1.615 8，xiyi＝0.247 4.

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

附：样本相关系数r＝，≈1.377.

解　(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值＝＝0.06(m2)，

样本中10棵这种树木的材积量的平均值

＝＝0.39(m3)，据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2，平均一棵的材积量为0.39 m3.

(2)r＝

＝

＝

＝≈≈0.97.

(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得＝，解得Y＝1 209.

则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3.

3.(2022·衡水中学模拟)如图所示的多面体是由三棱锥A－BDE与四棱锥D－BCFE组合而成的，其中EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是边BC的中点．

(1)求证：BD⊥EG；

(2)求平面DEG与平面AEFD夹角的余弦值．

(1)证明　依题意，EF⊥平面AEB，

AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，

则有EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，即EB，EF，EA两两垂直，

以点E为坐标原点，射线EB，EF，EA分别为x，y，z轴非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为AD∥EF∥BC，

则E(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，

F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，

则＝(2,2,0)，＝(－2,2,2)，

因此·＝－2×2＋2×2＝0，即⊥，

所以BD⊥EG.

(2)解　由(1)知，＝(2,0,0)是平面AEFD的一个法向量，

设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，

而＝(0,2,2)，＝(2,2,0)，

则

令x＝1，得n＝(1，－1,1)，

设平面DEG与平面AEFD的夹角为θ，

则cos θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，

所以平面DEG与平面AEFD夹角的余弦值是.

4．(2022·汕头模拟)已知各项均为正数的数列{an}中，a1＝1且满足a－a＝2an＋2an＋1，数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn＋1＝3bn.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)若在bk与bk＋1之间依次插入数列{an}中的k项构成新数列{cn}：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，…，求数列{cn}中前50项的和T50.

解　(1)由a－a＝2an＋2an＋1，

得(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)，

∵an＋1＋an>0，∴an＋1－an＝2，

∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列，

∴an＝2n－1.

∵2Sn＋1＝3bn，①

∴当n≥2时，2Sn－1＋1＝3bn－1，②

由①－②整理得bn＝3bn－1，

当n＝1时，2S1＋1＝3b1，则b1＝1，

∵b1＝1≠0，∴bn－1≠0，∴＝3，

∴数列{bn}是首项为1，公比为3的等比数列，故bn＝3n－1.

(2)依题意知，新数列{cn}中，bk＋1前面(含bk＋1)共有(1＋2＋3＋…＋k)＋(k＋1)＝项．

由≤50(k∈N*)得k≤8，

∴新数列{cn}中含有数列{bn}的前9项：b1，b2，…，b9，

含有数列{an}的前41项：a1，a2，a3，…，a41，

∴T50＝＋＝11 522.