新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练小题满分练2（含解析）

小题满分练2

一、单项选择题

1．(2022·济宁模拟)若集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|3x≥9}，则A∪B等于(　　)

A．(－1,2]   B．[2,3)

C．(－1，＋∞)   D．(－∞，3)

答案　C

解析　A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，

B＝{x|3x≥9}＝{x|x≥2}，

故A∪B＝(－1，＋∞)．

2．(2022·新高考全国Ⅰ)若i(1－z)＝1，则z＋等于(　　)

A．－2  B．－1  C．1  D．2

答案　D

解析　因为i(1－z)＝1，所以z＝1－＝1＋i，

所以＝1－i，所以z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.

3．(2022·唐山模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A(－1,3)在角α的终边上，则sin 2α等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　D

解析　根据三角函数的定义可知sin α＝

＝＝，

cos α＝＝＝－，

由二倍角公式得sin 2α＝2sin αcos α

＝2××＝－.

4.(2022·广州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝4CD，点E为AD的中点，设＝x＋y，则x＋y等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　连接BD(图略)，因为E为AD的中点，

所以＝＋，

因为＝＋＝＋，

所以＝＋

＝＋，

因为＝x＋y，

所以x＝，y＝，

所以x＋y＝＋＝.

5．(2022·广东六校联考)一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为f(x)＝(K>0，a>0，b>0)，x∈[0，＋∞)，该函数也可以简化为f(x)＝(K>0，a>1，k<0)的形式．已知f(x)＝(x∈N)描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1 m，经过一年，该果树的高为2.5 m，则该果树的高度超过8 m，至少需要(　　)

A．4年   B．3年

C．5年   D．2年

答案　A

解析　由题意知

则解得b＝2，k＝－1，

∴f(x)＝.

由函数解析式知，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

而f(3)＝＝＝7.5<8，

f(4)＝＝9>8，

∴该果树的高度超过8 m，至少需要4年．

6.(2022·太原模拟)七巧板又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为12 cm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．现他从5个三角形中随意取出两个，则这两个三角形的面积之和不小于另外三个三角形面积之和的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　如图所示，设△ADO，△ABO，△GHO，△BEF，△MCF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，

所以有S1＝S2＝×12×12＝36，S3＝S4＝××12×12＝9，S5＝××12×12＝18，所以5个等腰直角三角形的面积之和为108，依题意得所取的两个等腰直角三角形的面积之和大于或等于54，故只能在面积为18或36中取两个，所以所求概率为P＝＝.

7．(2022·德州质检)已知奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足f(2a)＋f(b－4)＝0，则＋的最小值是(　　)

A.  B.  C．2  D．4

答案　B

解析　因为f(2a)＋f(b－4)＝0，

所以f(2a)＝－f(b－4)，

因为奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，

所以f(2a)＝－f(b－4)＝f(4－b)，

所以2a＝4－b，即2a＋b＝4，

所以2a＋2＋b＝6，即2(a＋1)＋b＝6，

所以＋＝[2(a＋1)＋b]

＝

＝

≥

＝×(4＋4)＝，

当且仅当＝，

即当a＝，b＝3时取等号，

所以＋的最小值是.

8．(2022·景德镇模拟)已知椭圆C：x2＋＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两点，B为椭圆的上顶点，若|BM|＝|BN|，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　设直线l：y＝x＋m与椭圆x2＋＝1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，

联立

得(b2＋1)x2＋2mx＋m2－b2＝0，

所以x1＋x2＝－，x1x2＝，

Δ＝(2m)2－4(b2＋1)(m2－b2)

＝4b2(b2＋1－m2)>0.

设线段MN的中点为G，

知G点坐标为，

因为|BM|＝|BN|，所以直线BG垂直平分线段MN，

所以直线BG的方程为y＝－x＋b，且经过点G，

可得＝＋b，解得m＝.

因为b2＋1－m2>0，所以b2＋1－2>0，

解得0<b<，

因为e2＝1－＝1－b2，所以<e<1.

二、多项选择题

9．已知等比数列{an}的各项均为实数，公比为q，则下列结论正确的是(　　)

A．若a1a2>0，则a2a3>0

B．若a1＋a2<0，且a1＋a3<0，则q>－1

C．若an＋1>an>0，则an＋an＋2>2an＋1

D．若anan＋1<0，则(an＋1－an)(an＋1－an＋2)<0

答案　ABC

解析　显然q≠0.

因为a1a2>0，

所以(a1q)·(a2q)＝(a1a2)·q2>0，因此A正确；

由a1＋a3<0⇒a1(1＋q2)<0⇒a1<0，

而a1＋a2<0⇒a1(1＋q)<0，

显然1＋q>0⇒q>－1，因此B正确；

由an＋1>an>0⇒>1⇒q>1，

an＋an＋2－2an＋1＝an＋anq2－2anq＝an(1－q)2>0⇒an＋an＋2>2an＋1，因此C正确；

由anan＋1<0⇒an·an·q<0⇒q<0，

(an＋1－an)(anq－an＋1q)＝－q(an＋1－an)2>0，

因此D不正确．

10．(2022·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有(　　)

A．a＝2，b＝3，c＝4

B.·＝－2a

C.＝

D．b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C

答案　AC

解析　因为a＝2，b＝3，c＝4，所以角C最大，

由cos C＝＝－<0⇒<C<π，

所以△ABC是钝角三角形，因此A正确；

由·＝－2a⇒－cacos B＝－2a⇒ccos B＝2⇒B∈，不能判断△ABC是钝角三角形，因此B不正确；

由正弦定理，知＝⇒＝⇒a2＝b2＋c2＋bc，

由余弦定理可知cos A＝＝＝－⇒A＝，所以△ABC是钝角三角形，因此C正确；

由正弦定理，知

b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C

⇒sin2Bsin2C＋sin2Csin2B

＝2sin Bsin Ccos Bcos C

⇒sin Bsin C＝cos Bcos C

⇒cos(B＋C)＝0

⇒cos(π－A)＝0

⇒cos A＝0⇒A＝，

所以△ABC是直角三角形，因此D不正确．

11.(2022·泰安模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，AA1＝2，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD，点E在BB1上，且BB1＝4BE，则下列结论正确的是(　　)

A．直线DC1与BC所成角为90°

B．三棱锥D－BCC1的体积为

C．CE⊥平面BC1D

D．直三棱柱ABC－A1B1C1外接球的表面积为6π

答案　ABD

解析　对于A，在矩形ACC1A1中，

因为AA1＝2，AC＝1，D是棱AA1的中点，

所以CD＝C1D＝，

所以CD2＋C1D2＝CC，

所以CD⊥C1D，

又因为DC1⊥BD，BD∩CD＝D，

所以DC1⊥平面BCD，

因为BC⊂平面BCD，

所以DC1⊥BC，

即直线DC1与BC所成角为90°，故A正确；

对于B，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥BC，

又DC1⊥BC，DC1∩CC1＝C1，

所以BC⊥平面DCC1，

又DC⊂平面DCC1，所以DC⊥BC，

则＝×××1×＝，

故B正确；

对于C，由选项AB可知，AC，BC，CC1两两垂直，

如图，以C为原点，建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，E，

则＝，＝(1，－1,1)，

所以·＝－1＋＝－≠0，

所以CE，BD不垂直，

所以CE不垂直于平面BC1D，故C错误；

对于D，连接A1B，则线段A1B即为直三棱柱ABC－A1B1C1外接球的直径，A1B＝＝，

所以外接球的半径R＝，

所以直三棱柱ABC－A1B1C1外接球的表面积为4πR2＝6π，故D正确．

12．对于偶函数f(x)＝，下列结论中正确的是(　　)

A．函数f(x)在x＝处的切线斜率为

B．函数f(x)<1恒成立

C．若0<x1<x2<π，则f(x1)<f(x2)

D．若m<f(x)对于∀x∈恒成立，则m的最大值为

答案　ABD

解析　因为f(x)＝为偶函数，

所以f(－x)＝f(x)，所以a＝0.

对于选项A，因为f(x)＝，

所以f′(x)＝，

所以f′＝，

所以函数f(x)在x＝处的切线斜率为，故选项A正确；

对于选项B，令g(x)＝sin x－x，

则g′(x)＝cos x－1，

当x>0时，g′(x)≤0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)＝0，即sin x<x，

所以f(x)＝<1在(0，＋∞)上恒成立，

因为f(x)为偶函数，所以函数f(x)<1在定义域上恒成立，故选项B正确；

对于选项C，f′(x)＝，

令h(x)＝xcos x－sin x，

则h′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，

当x∈(0，π)时，g′(x)<0，

所以h(x)在(0，π)上单调递减，

所以h(x)<h(0)＝0，

即f′(x)＝<0在(0，π)上恒成立，

因此函数f(x)＝在(0，π)上单调递减．

又0<x1<x2<π，

所以f(x1)>f(x2)，故选项C错误；

对于选项D，因为函数f(x)＝在(0，π)上单调递减，

所以函数f(x)＝在上也单调递减，

所以f(x)＝>f ＝在上恒成立，

即<在上恒成立，即m的最大值为，故选项D正确．

三、填空题

13．(2022·石家庄模拟)在(3＋y)(x－y)4的展开式中x2y3的系数为________．

答案　6

解析　∵(3＋y)(x－y)4＝(3＋y)·(C·x4－C·x3y＋C·x2y2－C·xy3＋Cy4)，

∴展开式中含x2y3的项为y·C·x2y2＝Cx2y3＝6x2y3，故它的展开式中x2y3的系数为6.

14．(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________.

答案　

解析　双曲线的渐近线方程为x±my＝0，

圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为

x2＋(y－2)2＝1，

则圆心坐标为(0,2)，半径r＝1.

∵双曲线的渐近线与圆相切，

∴圆心到渐近线的距离d＝＝1，

得m＝或m＝－(舍去)．

15．(2022·福州质检)写出一个使等式＋＝2成立的α的值为________．

答案　(答案不唯一，只要满足α＝π－(k∈Z)即可)

解析　∵＋

＝

＝＝2，

∴sin＝sin，

∴2α＋＋2α＋＝(2k＋1)π(k∈Z)，

解得α＝－(k∈Z)，

当k＝0时，α＝，

∴使得等式成立的一个α的值为(答案不唯一)．

16.(2022·承德模拟)某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上、下底面与毛坯的圆柱底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为________．

答案　

解析　如图，设中空圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2＋h(0<h<2)，

则r2＋2＝1，r2＝1－，

∴中空圆柱的体积V＝πr2(2＋h)＝π(2＋h)．

V′＝－π，可得当h∈时，V′>0，当h∈时，V′<0，

则当h＝时，V取得最大值为，

又毛坯的体积为π×12×2＋×13＝，

∴该模具体积的最小值为－＝.