山东省德州市第九中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷
展开德城区第九中学2023-2024学年九上第一次月考
数学试题
一、选择题（每小题4分，共48分）
1、下列方程中，是一元二次方程的是（ ).
A.3x2+1=0 B.3x+2y-1=0 C.(x+1)(x-2)=x2 D.-x-1=0
2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是（ ).
A.(80+x)(50+x)=5400
B.(80+2x)(50+2x)=5400
C.(80-2x)(50-2x)=5400
D.(80-x)(50-x)=5400
3.设x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，则的值为（ ).
A.5 B.-5 C.1 D.-1
4.若二次函数y=(x-m)2+2,当x＜2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ).
A.m=2 B.m＞2 C.m≥2 D.m≤2
5.下列说法错误的是（ ).
A.二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大
B.二次函数y=6x2中，当x=0时，y有最大值0
C.a越大图像开口越小，a越小图像开口越大
D.不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
6.己知某一元二次方程的两根为x=,则此方程可能是（ ).
A.3x2+5x+1=0 B.3x2-5x+1=0 C.3x2-5x-1=0 D.3x2+5x-1=0
7.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y
的最大值为-1，则h的值为（ ).
A.3或4 B.1或6 C.1或3 D.4或6
8.将抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（ ).
A.y=3(x+1)2-2 B.y=3(x+1)2+2 C.y=3(x-1)2-2 D.y=3(x-1)2+2
9.已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2与y=ax的图象可能是（ ).
10.已知二次函数y=a(x-m)2(a＜0)的图象经过点A(-l,p)，B(3，q),且p＜q,则m的值可能是（ ).
A.-1
B.-
C.0
D.
11.今年“国庆节“和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（ ).
A.9人 B.10人 C.11人 D.12人
12.如图，抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数：②a=：③当x=0时,
y2-y1=6:④AB+AC=10；其中正确结论是（ ).
A、①②
B、①②③
C、①③④
D、①②④
二、填空题(共6小题，共24分）
13.关于x的一元二次方程（a+2)x²-3x+1=0有实数根，则a的取值范围是 ；
14.m是方程2x2+3x-1=0的根，则式子4m2+6m+2021的值为 ；
15.假设三角点阵中的n行的点数和为300，求n.通过计第，n= ；
16.若点A(-2,y1)、B(-l,y2)、C(8,y3)都在二次函数y=ax2(a＜0)的图象上，则y1、y2、y3从小到大的关系是 ；（用“＜”表示).
17.在线段AC上找一个点B，B把AC分成AB和BC两段，其中AB是较小的一段，满足AB:BC=BC:
AC，则B为线段AC的黄金分割点。黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割.如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC),如图AC长度为15cm,则AB的
长度 cm；(结果用根号表示)
18.已知二次函数y=-(x+a)2+2a-l(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”。如图是当a取四个不同数值时此二次函数的图象，发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的解析式是 .
三、解答题：（共7道大题，共78分）
19、计算(8分)
(1)x2+4x+2=0 (2)(3x-1)2=(x-1)2
20、（10分)己知关于x的一元二次方程x2+(2-m)x+1-m=0.
(1)求证：方程总有两个实数根：
(2)若m＜0，且此方程的两个实数根的差为4，求m的值.
21.(10分)2020年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2022年，家庭年人均纯收入达到了4900元.
(1)求该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
(2)若年平均增长率保持不变，2023年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到6800元？
22.(12分)如图是二次函数y=(x+m)²+k的图象，其顶点为点M(1,4).
(1)求二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标；
(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
23.(12分)某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双。经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y(双)与降低价格x(元)之间存在如图所示的函数关系.
(1)求出y与x的函数关系式：
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
24、(12分)阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性.我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”.通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值
例如：求代数式y2+4y+8的最小值.
解：我们可以先将代数式配方：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4
再利用完全平方式的非负性：∵(y+2)2≥0，∴(y+2)2+4≥4，∴y2+4y+8的最小值是4.
(1)求代数式m2+m+4的最小值；
(2)求代数式-x2+4x+12的最大值；
(③)某居民小区要在一块两面靠墙（墙长无限）的空地上建一个长方形花园ABCD，另两边用总长为20m的栅栏围成.如图，设AB=x(m),请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
25.(14分)数形结合是解决数学问题的重要方法.小明同学学习二次函数后,对函数y=-(|x|-1）²进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象，请根据函数图象，回答下列问题：
(1)【观察探究】
方程 -(|x|-1）²=-1的解为： .
(2)【问题解决】
若方程-(|x|-1）²=a有四个实数根，分别为x1、x2、x3、x4·
①a的取值范围是 .
②计算为x1+x2+x3+x4= .
(3)【拓展延伸】
①将函数y=-(|x|-1）²的图象经过怎样的平移可得到函数为y=-(|x-2|-1）²+3的图象？写出平移过程：向(左右)平移个单位：向(上下)平移个单位并画出平移后的图象.
②观察平移后的图像，当2≤y1≤3时，直接写出自变量x的取值范围 .
德城区第九中学2023-2024学年九上第一次月考
数学试题（参考答案）
一、选择题（48分）
1-6： A B B C C D 7-12: B D C D B D
二、填空题（24分）
13、 a≤且a≠-2 14、 2023 15、 24 ；
16、 y3＜y1＜y2 17、 18、 y=-2x-1 .
三、解答题（78分）
19、计算(8分)
(1)x2+4x+2=0 (2)(3x-1)2=(x-1)2
解： x2+4x+4=2 解： (3x-1)2-(x-1)2=0
（x+2）²=2 [(3x-1)+(x-1)] [(3x-1)-(x-1)]=0
x+2=± (4x-2)·2x=0
x1=-2 x2=--2 x1=0 x2=
20、（10分)己知关于x的一元二次方程x2+(2-m)x+1-m=0.
(2)若m＜0，且此方程的两个实数根的差为4，求m的值.
解：（1）△= b²-4ac
= (2-m)²-4（1-m）
= 4-4m+m²-4+4m
= m²
∵ m²≥0，
∴△≥0，即方程总有两个实数根；
（2）设方程两根为x1，x2，则（x1-x2）²=16，
∴ x1²-2x1x2+x2² =（x1+x2）²-4x1x2=16，
∵x1+x2= m-2，x1x2=1-m，
∴（m-2）²-4（1-m）=16，解得m＝±4，又∵m＜0，∴m=-4.
21、解：
(1)设该贫困户2020 年到2022 家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
依题意得: 2500(l+x)2 = 4900，
解得:x1=0.4=40%，x2 = -2.4(不合题意，舍去)
答:该贫困户2020年到2022 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为40%；
(2) 4900×(1+40%)= 6860(元),
∵6860 > 6800，
∴2023 年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到6800 元。
22、(12分) 解：
(1)∵点M(1,-4)是二次函数y=(x+m)2+k图象的顶点坐标，
∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3.
令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3.
∴A,B两点的坐标分别为A(-1,0),B(3,0)；
(2)在二次函数的图象上存在点P,使S△PAB=S△MAB ，
设点P(x,y),由(1)知AB=4, S△PAB=AB×|y| =2|y|，
∵S△MAB =AB×|-4| =8，
∴2|y|=×8，解得y=±5.
∵二次函数的最小值为-4，∴y=5.
当y=5时，x=-2或x=4.
故存在点P,使S△PAB=S△MAB，点P的坐标为(-2,5)或(4,5).
23、(12分)解:
(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b (k≠0）
将(0，200)， (10，300) 代入y=kx+b得
，解得，
∴y与x的函数关系式为y=10x+200；
(2) 根据题意得: (100-60-x) (10x+200) =8910,
整理得:x2-20x+91=0解得:x1=7，x2=13，
又∵要求优惠力度最大，∴x=13
∴100-x=100-13=87（元）
答:每双运动鞋的售价应该定为87元时，公司平均每天获得的利润达到8910元。
24、(12分)解：
(1) m2+m+4 = m2+m++ = (m+）²+，
∵(m+）²≥0，∴(m+）²+≥ ，
∴m2+m+4 的最小值为；
(2) -x2+4x+12 = - (x2-4x) +12 = -(x2-4x+4-4) +12 = -(x-2)2+16
∵(x-2)2 ≥0，∴-(x-2)2 ≤0
∴-(x-2)2+16≤16
∴代数式-x²+4x+12 的最大值是 16；
(3) 花园的面积是:
x(20 -x)
= -x2 +20x
=- (x2-20x)
=- (x2-20x+100)+100
= -(x-10)²+100
∵(x-10）²≥0，∴-(x-10)2 ≤0，
∴-(x-10)2 +100≤100，
∵0＜x＜20
∴当x=10 时，花园面积最大，最大面积是 100m2.
25、(14分)解析:
(1) 【观察探究】
由图象可知，当函数值为-1时，直线y=-1与图象交点的横坐标就是方程 -(|x|-1）²=-1的解，故答案为: x=-2或x=0或x=2
(2）【问题解决】
①若方程-(|x|-1）²=a有四个实数根，由图象可知a的取值范围是-1＜a＜0，
故答案为:-1＜a＜0，
②由图象可知:四个根是两对互为相反数所以x1+x2+x3+x4=0，
故答案为:0
（3）【拓展延伸】
①将函数y=-(|x|-1）²的图象向 右 平移 2个单位，向 上
平移 3 个单位可得到函数y1=-(|x-2|-1) 2+3的图象；
②当2≤y1≤3时，自变量x的取值范围是0≤x≤4，
故答案为：0≤x≤4
