山东省德州市第九中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

德城区第九中学2023-2024学年九上第一次月考数学试题一、选择题（每小题4分，共48分）1、下列方程中，是一元二次方程的是（     ).   A.3x2+1=0     B.3x+2y-1=0     C.(x+1)(x-2)=x2        D.-x-1=02.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是（     ).                                                                            A.(80+x)(50+x)=5400                                         B.(80+2x)(50+2x)=5400                                         C.(80-2x)(50-2x)=5400                                         D.(80-x)(50-x)=54003.设x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，则的值为（     ).   A.5          B.-5          C.1          D.-14.若二次函数y=(x-m)2+2,当x＜2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（     ).   A.m=2       B.m＞2      C.m≥2       D.m≤25.下列说法错误的是（     ).   A.二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大   B.二次函数y=6x2中，当x=0时，y有最大值0   C.a越大图像开口越小，a越小图像开口越大   D.不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点6.己知某一元二次方程的两根为x=,则此方程可能是（     ).   A.3x2+5x+1=0    B.3x2-5x+1=0      C.3x2-5x-1=0     D.3x2+5x-1=07.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为（     ).   A.3或4       B.1或6       C.1或3        D.4或68.将抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（     ).   A.y=3(x+1)2-2    B.y=3(x+1)2+2     C.y=3(x-1)2-2     D.y=3(x-1)2+29.已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2与y=ax的图象可能是（     ).      10.已知二次函数y=a(x-m)2(a＜0)的图象经过点A(-l,p)，B(3，q),且p＜q,则m的值可能是（     ).   A.-1          B.-         C.0          D. 11.今年“国庆节“和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（     ).   A.9人      B.10人       C.11人        D.12人12.如图，抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数：②a=：③当x=0时,y2-y1=6:④AB+AC=10；其中正确结论是（     ).   A、①②   B、①②③   C、①③④   D、①②④  二、填空题(共6小题，共24分）13.关于x的一元二次方程（a+2)x²-3x+1=0有实数根，则a的取值范围是              ；14.m是方程2x2+3x-1=0的根，则式子4m2+6m+2021的值为              ；15.假设三角点阵中的n行的点数和为300，求n.通过计第，n=              ；    16.若点A(-2,y1)、B(-l,y2)、C(8,y3)都在二次函数y=ax2(a＜0)的图象上，则y1、y2、y3从小到大的关系是              ；（用“＜”表示).17.在线段AC上找一个点B，B把AC分成AB和BC两段，其中AB是较小的一段，满足AB:BC=BC:AC，则B为线段AC的黄金分割点。黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割.如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC),如图AC长度为15cm,则AB的长度              cm；(结果用根号表示)      18.已知二次函数y=-(x+a)2+2a-l(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”。如图是当a取四个不同数值时此二次函数的图象，发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的解析式是              .        三、解答题：（共7道大题，共78分）19、计算(8分)    (1)x2+4x+2=0                     (2)(3x-1)2=(x-1)2      20、（10分)己知关于x的一元二次方程x2+(2-m)x+1-m=0.(1)求证：方程总有两个实数根：(2)若m＜0，且此方程的两个实数根的差为4，求m的值.     21.(10分)2020年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2022年，家庭年人均纯收入达到了4900元.(1)求该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率；(2)若年平均增长率保持不变，2023年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到6800元？           22.(12分)如图是二次函数y=(x+m)²+k的图象，其顶点为点M(1,4).(1)求二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。              23.(12分)某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双。经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y(双)与降低价格x(元)之间存在如图所示的函数关系. (1)求出y与x的函数关系式： (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？        24、(12分)阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性.我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”.通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值  例如：求代数式y2+4y+8的最小值.  解：我们可以先将代数式配方：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4     再利用完全平方式的非负性：∵(y+2)2≥0，∴(y+2)2+4≥4，∴y2+4y+8的最小值是4.(1)求代数式m2+m+4的最小值；(2)求代数式-x2+4x+12的最大值；(③)某居民小区要在一块两面靠墙（墙长无限）的空地上建一个长方形花园ABCD，另两边用总长为20m的栅栏围成.如图，设AB=x(m),请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？                     25.(14分)数形结合是解决数学问题的重要方法.小明同学学习二次函数后,对函数y=-(|x|-1）²进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象，请根据函数图象，回答下列问题：(1)【观察探究】   方程 -(|x|-1）²=-1的解为：         .(2)【问题解决】   若方程-(|x|-1）²=a有四个实数根，分别为x1、x2、x3、x4·   ①a的取值范围是          .   ②计算为x1+x2+x3+x4=          .(3)【拓展延伸】  ①将函数y=-(|x|-1）²的图象经过怎样的平移可得到函数为y=-(|x-2|-1）²+3的图象？写出平移过程：向(左右)平移个单位：向(上下)平移个单位并画出平移后的图象.  ②观察平移后的图像，当2≤y1≤3时，直接写出自变量x的取值范围           .                    德城区第九中学2023-2024学年九上第一次月考数学试题（参考答案）一、选择题（48分）1-6： A  B  B  C  C  D               7-12: B  D  C  D  B  D   二、填空题（24分）13、  a≤且a≠-2        14、      2023             15、    24    ；  16、    y3＜y1＜y2          17、             18、    y=-2x-1    .   三、解答题（78分）19、计算(8分)    (1)x2+4x+2=0                     (2)(3x-1)2=(x-1)2解：   x2+4x+4=2                     解： (3x-1)2-(x-1)2=0                 （x+2）²=2                  [(3x-1)+(x-1)] [(3x-1)-(x-1)]=0        x+2=±                         (4x-2)·2x=0   x1=-2    x2=--2                   x1=0    x2=20、（10分)己知关于x的一元二次方程x2+(2-m)x+1-m=0.(2)若m＜0，且此方程的两个实数根的差为4，求m的值.解：（1）△= b²-4ac           = (2-m)²-4（1-m）           = 4-4m+m²-4+4m           = m²        ∵ m²≥0，        ∴△≥0，即方程总有两个实数根；（2）设方程两根为x1，x2，则（x1-x2）²=16，     ∴ x1²-2x1x2+x2² =（x1+x2）²-4x1x2=16，     ∵x1+x2= m-2，x1x2=1-m，   ∴（m-2）²-4（1-m）=16，解得m＝±4，又∵m＜0，∴m=-4.21、解：(1)设该贫困户2020 年到2022 家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，   依题意得: 2500(l+x)2 = 4900，   解得:x1=0.4=40%，x2 = -2.4(不合题意，舍去)   答:该贫困户2020年到2022 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为40%；(2) 4900×(1+40%)= 6860(元),    ∵6860 > 6800，    ∴2023 年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到6800 元。 22、(12分)　解：  (1)∵点M(1,-4)是二次函数y=(x+m)2+k图象的顶点坐标，　　 ∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3.　　令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3.　　∴A,B两点的坐标分别为A(-1,0),B(3,0)；　(2)在二次函数的图象上存在点P,使S△PAB=S△MAB ，　　设点P(x,y),由(1)知AB=4, S△PAB=AB×|y| =2|y|，　　∵S△MAB =AB×|-4| =8，    ∴2|y|=×8，解得y=±5.　　∵二次函数的最小值为-4，∴y=5.　　当y=5时，x=-2或x=4.　　故存在点P,使S△PAB=S△MAB，点P的坐标为(-2,5)或(4,5). 23、(12分)解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b (k≠0）  将(0，200)， (10，300) 代入y=kx+b得    ，解得， ∴y与x的函数关系式为y=10x+200；  (2) 根据题意得: (100-60-x) (10x+200) =8910,整理得:x2-20x+91=0解得:x1=7，x2=13，又∵要求优惠力度最大，∴x=13∴100-x=100-13=87（元）答:每双运动鞋的售价应该定为87元时，公司平均每天获得的利润达到8910元。 24、(12分)解：(1) m2+m+4 = m2+m++ = (m+）²+，   ∵(m+）²≥0，∴(m+）²+≥ ，∴m2+m+4 的最小值为；(2) -x2+4x+12 = - (x2-4x) +12 = -(x2-4x+4-4) +12 = -(x-2)2+16    ∵(x-2)2 ≥0，∴-(x-2)2 ≤0    ∴-(x-2)2+16≤16    ∴代数式-x²+4x+12 的最大值是 16；(3) 花园的面积是:      x(20 -x)    = -x2 +20x    =- (x2-20x)    =- (x2-20x+100)+100    = -(x-10)²+100   ∵(x-10）²≥0，∴-(x-10)2 ≤0，    ∴-(x-10)2 +100≤100，    ∵0＜x＜20    ∴当x=10 时，花园面积最大，最大面积是 100m2.  25、(14分)解析:(1) 【观察探究】     由图象可知，当函数值为-1时，直线y=-1与图象交点的横坐标就是方程 -(|x|-1）²=-1的解，故答案为: x=-2或x=0或x=2(2）【问题解决】    ①若方程-(|x|-1）²=a有四个实数根，由图象可知a的取值范围是-1＜a＜0，       故答案为:-1＜a＜0，    ②由图象可知:四个根是两对互为相反数所以x1+x2+x3+x4=0，       故答案为:0（3）【拓展延伸】    ①将函数y=-(|x|-1）²的图象向 右 平移 2个单位，向 上 平移 3 个单位可得到函数y1=-(|x-2|-1) 2+3的图象；   ②当2≤y1≤3时，自变量x的取值范围是0≤x≤4，   故答案为：0≤x≤4