【期中模拟卷】沪教版2023-2024学年高一上学期 数学必修1 第一章 集合与逻辑 单元重点综合测试

第1章    集合与逻辑（单元重点综合测试）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1. 已知集合，若，则实数a的值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据集合中元素的特征，用集合元素互异性分析即可.

【详解】由集合中元素的互异性得，故，则，又，所以，解得．

故答案为：

2. 已知集合，若，则实数___________.

【答案】或3##3或-2

【解析】

【分析】利用子集关系可知，或，求出再验证即得结果.

【详解】，

∴或，

解得或或，

将的值代入集合、验证，知不符合集合的互异性，

故或3.

故答案为：或3.

3. “且”的否定形式是__．

【答案】或

【解析】

【分析】“且”的否定是“或”

【详解】“且”的否定是“或”

故答案为：或

4. 设全集，集合，若，则实数______;

【答案】

【解析】

【分析】根据可得，进而求得，解得并判断是否满足集合即可.

【详解】因为，故，即，故，解得或；

当时，，满足条件；

当时，，不满足条件；

故.

故答案为：

5. 若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】由充分条件的定义可得实数的取值范围

【详解】由“”是“”的充分条件，知，故实数的取值范围为．

故答案为：

6. 已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．

【答案】{0}∪[，+∞）．

【解析】

【分析】分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围．

【详解】当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，

解得x，故成立；

当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，

解得；

综上所述，a取值范围是{0}∪[，+∞）．

故答案为：{0}∪[，+∞）．

7. 某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有________人.

【答案】

【解析】

【分析】先求出参加数学与化学竞赛的人数和，再加上两种竞赛都不参加的人数，这样就比全班总人数多算了一次数学与化学都参加的人数，因此减去总人数，就得出结果.

【详解】因为参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人

，

全班有人，

因此两种竞赛都参加的有（人）

故答案为 .

8. 设集合，，集合，则实数的值为_____．

【答案】1或3或4.

【解析】

【分析】解一元二次方程求出集合，根据并集结果求实数的值.

【详解】由解得或，所以，

由解得或，

（i）若，则，满足；

（ii）若，则，因为，

所以或，

综上实数的值为1或3或4.

故答案为：1或3或4.

9. 若a、b、c为实数，则下列命题正确的是__________．(填序号)

①若a＞b，c＞d，则ac＞bd       ②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2

③若a＜b＜0，则          ④若a＜b＜0，则

【答案】②

【解析】

【分析】对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时才成立；对于②③由不等式性质可判断正误；对于④作差，通分可得到结果.

【详解】对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，不等式才成立；

对于②，∵a＜b＜0，

由不等式的传递性得到：a2＞ab＞b2，故②正确；

③中在上为减函数，因为a＜b＜0得，

故得到：，故③不正确，

又,又a＜b＜0，

∴，∴，故④不正确；

故答案为：②.

10. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数为____________

【答案】

【解析】

【分析】化简后根据根与系数的关系求出m，再由判别式检验即可.

【详解】因为是一元二次方程的两个不相等的实数根，

所以，，所以，

解得或，

又因为，得，所以.

故答案为：3

11. 已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】先利用假命题否定为真命题得到集合和集合的关系，再分和两种情况列出相应的不等式组即可得到答案.

【详解】因为为假命题，所以为真命题，即，

又因为集合，集合，

所以当时，，即，此时满足；

当时，或，解得，

综上所述，的取值范围为.

故答案为：.

12. 已知全集且，，，且，则的值为_____________．

【答案】66

【解析】

【分析】结合韦达定理，根据集合运算结果求解即可.

【详解】解：因为全集，，

所以3，9，12，15中有两个属于，

因为中的方程中，两根之积，所以，

所以，又，所以，

因为中的方程中，两根之和，所以，

则，所以．

故答案为：.

二、选择题（本大题共有4题，每题5分，共20分）

13. “且”是“”的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：由且，则且，所以，即充分性成立；

由推不出且，如，，满足，但是不成立，故必要性不成立；

故“且”是“”的充分不必要条件；

故选：B

14. 已知下列四组陈述句：

①：集合；：集合；

②：集合；：集合；

③；；

④：；：．

其中是的必要非充分条件的有（    ）

A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合间关系以及不等式的性质判断求解即可.

【详解】①若，则不一定相等，不是充分条件，

若，则一定成立，是必要条件，

所以是的必要非充分条件，故①符合题意；

②若集合，则集合，反之也成立，

所以是的充要条件，故②不符合题意；

③由得不到，

由能得到，

所以是的必要非充分条件，故③符合题意；

④根据不等式的性质由可得，

但由得或，

即由得不到，

所以是的充分不必要条件，故④不符合题意；

故选:D.

15. 在关于的方程和中，已知至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可．

【详解】若方程和都没有实数根.

则 ，解得：.

则方程和中，已知至少有一个方程有实数根.

所以或

故选：C

【点睛】本题考查了命题与命题的否定，考查补集的方法解题，属于基础题．

16. 设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，用表示整数集，则在下列集合：①，②，③，④整数集.其中，以0为聚点的集合有（    ）

A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ①②④

【答案】A

【解析】

【分析】先理解为集合X的聚点的含义，以0为聚点的集合, 即对任意，都存在，使得，对四个集合逐一分析，

对① ,当时，不存在满足的，不是以0为聚点的集合；

对②，都存在，使得，是以0为聚点的集合；

对③，都存在，使，是以0为聚点的集合；

对④，当时，对任意的，都有或者，

不存在满足的，不是以0为聚点的集合；

【详解】①集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，

其余的都至少比0大，∴在的时候，不存在满足的，

∴ 0不是集合的聚点；

②集合，对任意，都存在（实际上任意比小的数都可以），使得，∴ 0是集合的聚点；

③集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的，

存在，使，∴ 0是集合聚点；

④对于某个，比如，此时对任意的，都有或者，也就是说不可能，从而0不是整数集的聚点．

综上可知②③正确.

故选A

三、解答题（本大题共有5题，共12+14+14+18+18=76分）

17. 已知，若，求实数的值.

【答案】.

【解析】

【分析】由韦达定理可知的两根之积为，从而，再利用两根之和等于即可求，又，所以，利用方程解得含义即可求得

【详解】因为中，且两根之积为，又，

故，所以，则，

由上知：，所以，代入得，显然满足

所以.

18. 已知集合，集合，且，试求的取值范围．

【答案】．

【解析】

【分析】由题意得，，结合数轴，分和两类进行讨论即可求出答案．

【详解】解：∵，∴，

①当时，，∴；

②当，则根据题意如图所示：

根据数轴可得，解得，

综合①②可得的取值范围为．

【点睛】本题主要考查集合间的基本运算，属于基础题．

19. 已知：关于的不等式的解集为，且；：关于的方程有两个不相等的正实数根.

（1）若为真命题，为真命题，求

（2）若和中有且只有一个是假命题，求实数的取值范围.

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据2满足不等式求得集合，根据一元二次方程根的分布情况，结合韦达定理与判别式即可求得集合；

（2）讨论真假，以及假真时对应的取值范围，即可求得结果.

【小问1详解】

若为真命题，由题可知，，解得，即；

若为真命题，由题可知，，且，解得，即.

【小问2详解】

根据（1）中所求，若真假，则，且，则；

若假真，则，且，则；

综上所述，.

20. 已知非空集合，若对任意（可以相同），与中至少有一个属于集合，则称为“好集合”．

（1）写出所有的元素均小于3的“好集合”；（写出结论即可）

（2）求出所有元素个数为4的“好集合”，并说明理由．

【答案】（1）   

（2）,其中为相异正整数，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据好集合的定义列举求解即可；

（2）设,其中，进而结合题意得或，再分类讨论求解即可.

【小问1详解】

解：根据“好集合”的定义可知，所有的元素均小于3的“好集合”为：

【小问2详解】

解：设,其中,

由题意:,故，

所以，或,

下面讨论和时的情况，

当，即时，由于，故有，即，

所以，但此时，不满足“好集合”定义，故舍去；

当，即时，此时， 满足“好集合”的定义.

所以，,其中为相异正整数.

21. 对于实数构成的集合.若对任意都有（其中“”表示普通的乘法运算），则称集合对“”是封闭的.

（1）已知集合，判断是否属于集合；

（2）在（1）的条件下，若，证明的充要条件是；

（3）若集合对“”都是封闭的，试判断是否对“”封闭，请说明理由.

【答案】（1）    （2）证明见解析    （3）不对“”封闭，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据定义逐一验证即可；（2）先讨论 中元素的情况，在证明充分性、必要性成立即可，（3）举反例说明即可

【小问1详解】

因为，，

所以

令

则，

且

因

所以或

均无整数解，所以

【小问2详解】

由集合

所以

①当同为奇数或偶数时，均为偶数，

此时为4的倍数；

②当为一奇一偶时，均为奇数，

此时为奇数；

充分性：由，

则

即集合中的元素为4的倍数，

所以，充分性成立.

必要性：

因为集合中的元素为4的倍数或奇数，

又集合为2的倍数，

若，则必有集合中的元素为4的倍数，

所以，必要性成立

所以在（1）的条件下，若，

则的充要条件是

【小问3详解】

不对“”封闭，理由如下：

设

此时对“”封闭，但是在中

所以不对“”封闭.