【期中复习提升】沪教版 2023-2024学年高一上学期 必修1 第一章 集合与逻辑（3大易错与3大拓展）测试卷

第一章    集合与逻辑单元复习提升

（易错与拓展）

易错点1：忽视集合元素的互异性致错

【例1】已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.

【错解】由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7，

解得a＝1或a＝－5.

当a＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；

当a＝－5时，集合B＝{0,7,3}．

综上知集合B＝{0,7,3,1}或B＝{0,7,3}．

【错因】由题设条件知集合B中有四个元素，集合中出现了相同的元素，与集合中元素的互异性矛盾，导致错解．

【正解】应将当a＝－5时的集合B＝{0,7,3}舍去，故集合B＝{0,7,3,1}．

【答案】{0,7,3,1}

集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

针对训练1.1 若，则a的值为      .

【答案】

【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答.

【详解】因为，则当，即，此时，矛盾，

若，解得，此时，，符合题意，即，

而，即，

所以a的值为.

故答案为：

针对训练1.2 设a，，若集合，则       .

【答案】2

【解析】由集合相等的定义，分类讨论求出，，代入求解即可.

【详解】由易知，

由两个集合相等定义可知

若，得，经验证，符合题意；

若，由于，则方程组无解

综上可知，，，故.

故答案为：2

【点睛】本题主要考查了根据集合相等求参数，属于基础题.

易错点2：忽视空集致错

【例2】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．

【错解】由B⊆A，得解得2≤m≤3.

【错因】上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．

原因是考虑不全面，由集合B的含义及B⊆A，忽略了集合为∅的可能而漏掉解．

【正解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.

①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，

此时有B⊆A；

②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，

由B⊆A，得解得2≤m≤3.

由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.

【答案】{m|m≤3}.

【指点迷津】空集不含任何元素的集合，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.

（1）对于任意集合,有，所以如果,就要考虑集合或可能是;

如果，就要考虑集合可能是.

（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

针对训练2.1 已知，若，求实数a的值.

【答案】1或4

【分析】根据一元二次方程，解得集合，根据根的判别式以及根与系数关系，可得答案.

【详解】由已知可得，

因为，则或或或，

当时，，无解，

当时，则，解得，

当时，则，无解，

当时，则，解得，

综上，实数a的值为1或4.

针对训练2.2 已知集合，若，则 m 的取值范围为          ．

【答案】

【分析】分和讨论结合条件即得．

【详解】∵，

∴当时，，所以，

当时，，解得，

综上所述，的取值范围是．

故答案为：.

针对训练2.3 已知，，且，则a的取值范围为         ．

【答案】

【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解.

【详解】由题意，集合，

当时，即，解得，此时满足，

当时，要使得，则或，

当时，可得，即，此时，满足；

当时，可得，即，此时，不满足，

综上可知，实数的取值范围为.

故答案为：.

针对训练2.4 设，若，求所有满足条件的的集合.

【答案】

【分析】先求出，再就分类求出，根据即可求的取值集合.

【详解】因为，，

若，则，此时满足；

若，则，因为，故或，解得或，

所以的取值集合为.

针对训练2.5 已知：，且，则实数的取值范围是       .

【答案】

【分析】根据给定的条件，借助集合的包含关系列出不等式，求解作答.

【详解】因集合，，由得：，

当，即时，，则，

当时，则，解得，

综上，即实数的取值范围是.

故答案为：.

针对训练2.6 已知集合，且，则实数m的取值范围是        .

【答案】.

【分析】根据集合间的包含关系，分和，两种情况讨论，即可求解.

【详解】由集合，

若时，可得，此时满足；

若时，要是得到，则满足，解得，

综上可得，实数的取值范围是.

故答案为：.

易错点3：判断充要条件时出错

【指点迷津】只要抓住一个重点：推出关系.

在若则类型中，，p是q的充分条件指，而此时说“p是q的充分条件，或说q的充分条件是p”，也就是p是充分的，q是必要的.

记忆：推出关系中，前面的条件是充分的，后面的被推出的是必要的.

【例3】已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】D

【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可.

【详解】由题意得，

所以，且等号不能同时成立，解得.

故选：D.

针对训练3 若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可．

【详解】若不等式的一个充分条件为，

则，所以，解得.

则实数的取值范围是.

故选：D.

拓展1 全称量词与存在量词

例如，命题“所有的正方形都是矩形”就是全称量词命题；

例如，命题“有一个素数不是奇数”就是存在量词命题.

在有些资料中，全称量词用符号“”表示，特称量词用符号“”表示.

如果将含有变量的语句用表示，变量的取值范围用表示，那么：

全称命题“对任意属于，有成立”可表示为： ；

特称命题“存在一个属于，使成立”可表示为：；

【例1】若命题，是真命题，则实数的取值范围是　　       ．

【答案】

【考点】全称量词；命题的真假；二次不等式恒成立；

【详解】

因为命题，是真命题，

所以对恒成立，

即二次函数的图像恒在轴上方或与轴仅有一个交点，

则有，解得，

故实数的取值范围是闭区间．

故答案为：．

针对训练1.1 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是　　

A．，   B．所有菱形的4条边都相等 

C．若为偶数，则   D．是无理数

【答案】

【考点】全称量词与存在量词；命题的真假

【详解】

对于，，故错误；

对于：所有菱形的4条边都相等，满足两个条件，故正确；

对于：若为偶数，则或，故错误；

对于是无理数不是全称命题，故错误．

故选：．

针对训练1.2 已知对，都有，则的取值范围为　　

A．   B．  C． D．

【答案】

【考点】全称量词；不等式恒成立；

【详解】

对，都有，

，

故选：．

针对训练1.3 若“，”是真命题，则实数的取值范围为　　

A．，，   B．    C．，   D．，

【答案】

【考点】全称量词；命题的真假；二次不等式恒成立

【详解】

当时，不等式为恒成立，符合题意；

当时，则有，解得；

综上可得，．

故选：．

拓展2 命题的否定

常见结论形式的否定：

【例2.1】写出下列命题的否定：

（1）且；

（2）的解是或；

（3）梯形的对角线相等；

（4）存在一个四边形没有外接圆；

【答案】（1）且；或

    （2）的解既不是，也不是；

    （3）存在一个梯形的对角线不相等；

    （4）所有的四边形都有外接圆；

【例2.2】若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是　　

A．，    B．，    C．    D．，

【答案】

【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用

【详解】

命题“，使得成立”为假命题，

则它的否定命题：“，”为真命题；

所以，

解得，

所以实数的取值范围是，．

故选：．

针对训练2.1（1）陈述句“或”的否定形式为________________.

（2） “对于任意正奇数，所有不大于的正奇数的和都是”的否定为_____________________.

【答案】（1）且；

（2）存在正奇数，使得所有不大于的正奇数的和不是.

针对训练2.2 已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为　　

A．       B．  

C．      D．

【答案】

【考点】存在量词和特称命题

【详解】

“，”为假命题等价于“方程无实根”，

即△，．

故选：．

拓展3 容斥定理

容斥问题涉及到包含与排除原理，也叫容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分.

如果用表示集合A中的元素的个数，那么

【例3.1】 某学校举办运动会，比赛项目包括田径､游泳､球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有（    ）

A．98人 B．106人 C．104人 D．110

【答案】B

【分析】根据韦恩图可求高一年级参加比赛的同学的人数.

【详解】

由上述韦恩图可得高一年级参加比赛的同学的人数为：

，

故选：B.

【例3.2】 某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（    ）

A．120 B．144 C．177 D．192

【答案】A

【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解

【详解】

如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，

则

不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为

即

由容斥原理：

解得：

故选：A

针对训练2.1 为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？（    ）

A．30 B．31 C．32 D．33

【答案】C

【分析】先画出韦恩图，根据荣斥原理求解.

【详解】画出维恩图如下：

设：只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人，只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人，

则：，；

故答案为：32人.

针对训练2.2 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】D

【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生.

【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，

因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，

参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，

只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，

所以单独参加数学的有人，

单独参加物理的有人，单独参加化学的有，

故参赛人数共有人，

没有参加任何竞赛的学生共有人.

故选：D.