第一章 集合、常用逻辑用语、不等式-备战2024年高考数学重难点专题测试模拟卷(新高考专用)
展开一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(2023·湖南永州·统考二模)已知集合,则集合( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】由已知条件确定集合中的元素.
【详解】已知集合,
∴,,,
则集合.
故选:A
2.(2023·浙江杭州·统考二模)设集合,,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】求出两个集合,再根据集合的交集、补集运算即可.
【详解】由题意可得:,所以,故.
故选:C
3、(2023北京朝阳区高三一模)若,则
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】根据不等式的性质判断A,取特殊值判断BCD.
【详解】,,即,故A正确;
取,则不成立,故B错误;
取,则不成立,故C错误;
取,则,故D错误.
故选:A
4.(2023·山东枣庄·统考二模)已知集合,,则( )
A.,B.,
C.,D.,
【答案】C
【详解】,
则集合是集合的真子集,
所以,,,,
故ABD错误,A正确.
故选:C.
5.2023北京东城区高三一模)已知,则的最小值为
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】因为,所以,当且仅当即时等号成立,故选B。
6.(2023·福建厦门·统考二模)不等式()恒成立的一个充分不必要条件是( )
A.a≥1B.a>1C.D.a>2
【答案】D
【分析】先求得不等式()恒成立的充要条件,再找其充分不必要条件.
【详解】不等式()恒成立,显然不成立,
故应满足 ,解得,所以不等式()恒成立的充要条件是,A、C选项不能推出,B选项是它的充要条件,可以推出,但反之不成立,故是的充分不必要条件.
故选:D
7.(2023·湖南邵阳·统考二模)已知集合,.若“”是“”的充分不必要条件,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】若“”是“”的充分不必要条件,则,列出不等式组求解即可.
【详解】若“”是“”的充分不必要条件,则,
所以,解得,即的取值范围是.
故选:B.
8.(2023贵州同仁高三适应性考试) 若,,,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】运用基本不等式,以及放缩技巧,得,
,
故选:D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.(2023·山东日照·统考二模)下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则的最小值为4
C.命题使得,则
D.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率为
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质判断A选项,根据基本不等式取等条件判断B选项,根据命题的否定判断C选项,根据古典概型概念判断D选项.
【详解】若,左右两边乘以,可得,A选项正确;
,当且仅当取等号,显然等号取不到,即的最小值不是4,B选项错误;
命题使得,则,C选项错误;
从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种情况:,
则以这3个数为边长能构成直角三角形有1种情况,
则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率为,D选项正确;
故选:AD.
10.(2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习)已知:,恒成立;:,恒成立.则( )
A.“”是的充分不必要条件B.“”是的必要不充分条件
C.“”是的充分不必要条件D.“”是的必要不充分条件
【答案】BC
【解析】已知:,恒成立,则方程无实根,
所以恒成立,即,故“”是的必要不充分条件,故A错误,B正确;
又:,恒成立,所以在时恒成立,
又函数的最大值为,
所以,故“”是的充分不必要条件,故C正确,D错误.
故选:BC.
11.(2023·山东济宁·统考二模)已知,且,则下列结论中正确的是( )
A.B.C.D.
【答案】AC
【分析】利用基本不等式可得,可判断A,C选项,特殊值法判断B,D选项错误.
【详解】因为,,,
,所以,当且仅当等号成立,故A正确,
当,,则,故B错误;
因为,所以,故C正确;
当时,则,故D错误;
故选:AC.
12.(2023·广东·统考二模)已知定义在上的函数,对于给定集合,若,当时都有,则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是( )
A.是“封闭”函数
B.定义在上的函数都是“封闭”函数
C.若是“封闭”函数,则一定是“封闭”函数
D.若是“封闭”函数,则不一定是“封闭”函数
【答案】BC
【解析】对A:当时,,而,A错误;
对B:对于集合,使,即,必有,
所以定义在上的函数都是“封闭”函数,B正确;
对C:对于集合,使,则,
而是“封闭”函数,则,即都有,
对于集合,使,则,,
而,,...,,
所以,
即,故,一定是“封闭”函数,C正确;
对D,其逆否命题为,若是“封闭”函数,则不是“封闭”函数,只需判断出其逆否命题的正误即可,
使,则,
若,则,
由解得,因为,所以,
即使,则,
满足是“封闭”函数,
故逆否命题为假命题,故原命题也时假命题,D错误.
故选:BC
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(2023山西吕梁友兰中学开学考)如图,全集,集合,,则__________,阴影部分表示的集合__________.
【答案】或,
【解析】据图分析知,图中阴影部分表示集合,
又,,,
所以或,
故答案为:或;.
14.(2023·吉林·统考二模)命题“,”为假命题,则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】分析可知命题“,”为真命题,对实数的取值进行分类讨论,在时,直接验证即可;当时,根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组,综合可得出实数的取值范围.
【详解】由题意可知,命题“,”为真命题.
当时,由可得,不合乎题意;
当时,由题意可得,解得.
因此,实数的取值范围是.
故答案为:.
15.(2023·山东潍坊·统考二模)若“”是“”的一个充分条件,则的一个可能值是__________.
【答案】(只需满足即可)
【分析】解不等式,可得出满足条件的一个的值.
【详解】由可得,则,
所以,,解得,
因为“”是“”的一个充分条件,故的一个可能取值为.
故答案为:(只需满足即可).
16.(2023重庆八中高三月考)已知正实数,满足,则的最小值为__________.
【答案】
【解析】由,得,
令,则在上单调递增,所以,即,
又因为,是正实数,
所以,
当且仅当,即时等号成立,
故答案为:.
四、解答题:本大题共6小题,共70分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(2023陕西咸阳武功高三月考)已知全集,,,或,
(1)求;(2)求;(3)求.
【解析】因为全集,,,或,所以(1);
(2)或,则或;
(3),则.
18.(2013乌鲁木齐二十中学高三月考)设函数,若不等式的解集为.
(1)求的值;
(2)若函数在上的最小值为,求实数的值.
【解析】(1)不等式的解集为
即方程的两根为
由韦达定理得:,
解得:.
(2),对称轴方程为,
在上单调递增,
时,,
解得∵
.
19.(2023福建泉州剑影实验高中期中考试)已知集合或,,.
(1)求,;
(2)若,求实数的取值范围.
【解析】(1)或,
,∴.
(2)∵,∴,
当时,,∴;
当时,,解得,
综上,的取值范围是.
20.(2023吉林四平高三月考) 已知命题“实数满足”,
命题“,都有意义”.
(1)已知,为假命题,为真命题,求实数的取值范围;
(2)若是充分不必要条件,求实数的取值范围.
【解析】(1)当时,由,
得,即:若为真命题,则;
若为真命题,即恒成立,
则当时,满足题意;
当时,,解得,
故.
故若为假命题,为真命题,
则,解得,
即实数的取值范围为.
(2)对于,且.
对于,,则:或.
因为是的充分不必要条件,
所以,解得.
故的取值范围是.
21.(2023江西瑞金二中开学考)某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去,为了研究市场的反应,该企业计划用一年时间进行试产、试销.通过市场分析发现,生产此款手机全年需投入固定成本万元,每生产千部手机,需另投入成本万元,且假设每部手机售价定为万元,且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出全年的利润(万元)关于年产量(千部)的函数关系式(利润=销售额-成本);
(2)当全年产量为多少千部时,该企业所获利润最大?最大利润是多少万元?
【解析】(1)当时,
,
当时,
,
所以
(2)若,则,
当时,;
若,则,
当且仅当,即时,等号成立,此时.
因为,所以当全年产量为千部时,该企业所获利润最大,最大利润是万元.
22.(2023北京延庆一模试题)已知为正整数,集合具有性质:“对于集合中的任意元素,,且,其中,,…,”.集合中的元素个数记为.
(1)当时,求;
(2)当时,求的所有可能的取值;
(3)给定正整数,求.
【解析】(1)时,集合中的元素为,,
所以.
(2)时,首先证明,且.
在中,令,得,从而有.
在中,令,得.
又,故,从而有.
考虑,即,,
此时为最大值.
现交换与,使得,,此时.
现将逐项前移,直至.在前移过程中,显然不变,这一过程称为次“移位”.
依此类推,每次“移位”的值依次递减.经过有限次移位,一定可以调整为交替出现.注意到为奇数,所以为最小值.
所以的所有可能取值为.
(3)由题设,在中,有个,个,显然,从中选个,其余为的种数共有种.
下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足,记该数为.如果不满足,则一定存在最小的正整数,使得,且.将统统改变符号,这一对应为:,
从而将变为个,个组成的有序数组.
因此,就是个,个组成的有序数组的个数,即.
所以.
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