数学第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试免费随堂练习题

本章复习提升

易混易错练

易错点1　忽略集合中元素的意义

1.()已知集合M={(x,y)|(x+3)2+(y-1)2=0},N={-3,1},则M与N的关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.M=N B.M⊆N

C.M⊇N D.M,N无公共元素

易错点2　忽略集合中元素的互异性

2.()已知集合A={a+1,a-1,a2-3},若1∈A,则实数a的值为　　　　. 

易错点3　忽略对空集情况的讨论

3.(多选)()已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},则使A∪B=A的实数m的取值范围可以是(　　)

A.{m|-3≤m≤4} B.{m|m>2}

C.{m|2<m<4} D.{m|m≤4}

4.()已知集合A={x|x2-3x-4=0},B={x|mx+1=0},且B⫋A,则实数m的值为　　　　.易错 

5.(2020山东淄博第一中学高一上期中,)已知集合A={x|x2+x-2=0},集合B={x|x2+ax+a+3=0},若A∩B=B,求实数a的取值集合.

6.()已知集合A={x|a-1≤x≤2a+3},B={x|-2≤x≤4},全集U=R.

(1)当a=2时,求A∩B,(∁UB)∩(∁UA);

(2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

易错点4　忽略对端点值的取舍导致解题错误

7.(2019北京人大附中高一期中,)已知集合A={x|x>1},B={x|x>a},若A⊆B,则实数a的取值范围是　　　　.易错 

8.()已知集合A={x|x≥4或x<-5},B={x|a+1≤x≤a+3,a∈R},若B⊆A,求实数a的取值范围.

易错点5　忽略条件与结论的区分导致充分性或者必要性的判断错误

9.(2019陕西宝鸡中学高二上月考,)已知集合M={x|0<x<1},N={x|-2<x<1},那么“a∈N”是“a∈M”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

10.()设集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈(P∩M)”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 

易错点6　忽略隐含量词或对含量词命题否定不准确导致错误

11.()若命题p:∃x∈R,>1,则¬p:　　　　.易错 

思想方法练

一、补集思想在集合问题中的应用

1.()若集合A={x|ax2+3x+2=0}中至多有1个元素,则实数a的取值范围为(　　)

A. B.{0}

C. D.

2.()已知集合A={x|x2-2x+9-a=0},B={x|ax2-4x+1=0,a≠0},若集合A,B中至少有一个非空集合,求实数a的取值范围.易错

二、分类讨论思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用

3.()已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则实数a的取值是(　易错　)

A.1 B.0,1 C.-1,1 D.-1,0,1

4.()已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+(a-1)=0},C={x|x2-mx+2=0}.

(1)命题p:“∀x∈B,都有x∈A”,若命题p为真命题,求a的值;

(2)若“x∈A”是“x∈C”的必要条件,求实数m的取值范围.

三、数形结合思想在集合问题中的应用

5.()学校开运动会,某班有30名学生,其中20人报名参加赛跑项目,11人报名参加跳跃项目,两项都没有报名的有4人,则两项都参加的有几人?

6.()已知集合A={x|x<-1或x≥1},B={x|2a<x<a+1,a<1},B⊆A,求实数a的取值范围.

四、转化与化归思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用

7.()若∀x∈R,∃t∈R,使得x2≥|t|+-m,则实数m的取值范围是　　　　　　. 

8.()已知集合A={x|0<x-a≤5},B=x-<x≤6.

(1)若A∩B=A,求a的取值范围;

(2)若A∪B=A,求a的取值范围.

五、特殊化思想在集合问题中的应用

9.()定义差集A-B={x|x∈A,且x∉B},现有三个集合A,B,C分别用圆表示,则下列图中阴影部分表示集合C-(A-B)的为(　　)

10.(2020安徽六安第一中学高一上月考,)设I为全集,S1,S2,S3是I的三个非空子集,且S1∪S2∪S3=I,则下面结论正确的是(　　)

A.(∁IS1)∩(S2∪S3)=⌀

B.S1⊆[(∁IS1)∩(∁IS3)]

C.[(∁IS1)∩(∁IS2)]=∁I(S1∪S2)

D.S1⊆[(∁IS2)∪(∁IS3)]

答案全解全析

易混易错练

1.D　因为M={(x,y)|(x+3)2+(y-1)2=0}={(-3,1)}是点集,而N={-3,1}是数集,所以两个集合没有公共元素,故选D.

2.答案　0或-2

解析　若a+1=1,则a=0,此时A={1,-1,-3},符合题意;若a-1=1,则a=2,此时A={3,1,1},不满足集合中元素的互异性,舍去;若a2-3=1,则a=-2或a=2(舍去),当a=-2时,A={-1,-3,1},符合题意.综上,a=0或a=-2.

3.ACD　∵A∪B=A,∴B⊆A.

①若B不为空集,则m+1<2m-1,解得m>2.

∵A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},

∴m+1≥-2,且2m-1≤7,解得-3≤m≤4.

此时2<m≤4.

②若B为空集,则m+1≥2m-1,解得m≤2,符合题意.

综上,实数m满足m≤4即可,故选ACD.

4.答案　-或0或1

解析　A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.因为B⫋A,所以当B=⌀时,mx+1=0无解,得m=0;当B≠⌀时,若B={-1},则m=1,若B={4},则m=-.

综上所述,m的值为-或0或1.

易错警示　由于空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,因此涉及含参数的集合是一个确定集合的子集或真子集问题时,要检验含参数的集合是空集的特殊情况.

5.解析　集合A={x|x2+x-2=0}={-2,1}.

由A∩B=B,得B⊆A.

当B=⌀时,Δ=a2-4(a+3)<0,即-2<a<6,显然B⊆A.

当B≠⌀时,由B⊆A,得B={-2}或B={1}或B={-2,1}.

若B={-2},则

即无解,舍去;

若B={1},则

即所以a=-2;

若B={-2,1},则

即无解,舍去.

综上,实数a的取值集合为{a|-2≤a<6}.

6.解析　(1)当a=2时,A={x|1≤x≤7},则A∩B={x|1≤x≤4},

∁UA={x|x<1或x>7},

∁UB={x|x<-2或x>4},

∴(∁UA)∩(∁UB)={x|x<-2或x>7}.

(2)∵x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,∴A⫋B,

①若A=⌀,则a-1>2a+3,解得a<-4;

②若A≠⌀,由A⫋B,得且a-1≥-2与2a+3≤4不同时取等号,

解得-1≤a≤.

综上所述,a的取值范围是.

7.答案　{a|a≤1}

解析　如图,在数轴上表示出A,B,因为A⊆B,所以a≤1.

易错警示　解决此类问题时,借助数轴较为直观,并且要检验端点值能否取到.本题的易错之处是漏掉a=1.

8.解析　易知a+3>a+1,所以B≠⌀,利用数轴表示B⊆A,如图所示,

或

则a+3<-5或a+1≥4,解得a<-8或a≥3.所以a的取值范围是{a|a<-8或a≥3}.

9.B　因为M⫋N,所以a∈M⇒a∈N,反之不成立,故“a∈N”是“a∈M”的必要不充分条件.故选B.

10.答案　必要不充分

解析　条件是p:x∈M或x∈P,等价于x∈(P∪M);结论是q:x∈(P∩M).

依题意得P∩M是P∪M的真子集,所以“x∈(P∩M)”能推出“x∈(P∪M)”,反之不成立,

即结论q⇒条件p,必要性成立;条件p⇒ /结论q,充分性不成立.

综上,“x∈M或x∈P”是“x∈(P∩M)”的必要不充分条件.

11.答案　∀x∈R,≤1或x<0

解析　存在量词命题的否定是全称量词命题,又>1中x的取值范围是{x|x>1},其补集为{x|x≤1},所以¬p为∀x∈R,≤1或x<0.

易错警示　确定命题的否定时,必须注意隐含条件.本题中隐含条件为x≥0,命题p:∃x∈R,>1,先解出x的取值范围为{x|x>1},再取补集,为{x|x≤1},所以命题的否定为∀x∈R,≤1或x<0,而不是∀x∈R,≤1.因为∀x∈R,≤1等价于{x|0≤x≤1},与题意不符.

思想方法练

1.C　假设集合A中含有2个元素,即ax2+3x+2=0有两个不相等的实数根,则解得则此时实数a的取值范围是.

在全集U=R中,集合aa<且a≠0的补集是aa≥或a=0.

所以满足题意的实数a的取值范围是.

2.解析　对于集合A,由Δ=4-4(9-a)<0,解得a<8;

对于集合B,由Δ=16-4a<0,解得a>4.

因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集,

所以a的取值范围是{a|a≥8或a≤4,且a≠0}.

易错点拨　关于“至少”“至多”“不存在”等问题可考虑反面,本题中集合A,B中至少有一个非空集合的反面是A,B都是空集,由此能求出a的取值范围.对于难以从正面入手的数学问题,在解题时可从问题的反面入手,探求已知和未知的关系,这样能起到化难为易、化隐为显的作用,从而将问题解决.

3.D　集合A有且仅有2个子集,说明集合A中只含有一个元素.集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},当a=0时,A={0},满足题意.当a≠0时,Δ=4-4a2=0,即a=±1.若a=1,则A={-1},满足题意;若a=-1,则A={1},满足题意.所以a=0或a=±1,故选D.

易错警示　注意方程的最高次项系数,若最高次项系数含参数,则要讨论该系数是不是零.若本题改为集合A含有4个子集,则需要满足二次项系数不为零.

4.解析　(1)由题意得A={1,2}.

∵命题p为真命题,∴B⊆A.

又∵B={x|[x-(a-1)](x-1)=0},

∴B有两种情况:

①若B={1},则a-1=1,解得a=2;

②若B={1,2},则a-1=2,解得a=3.

因此,a的值为2或3.

(2)∵“x∈A”是“x∈C”的必要条件,

∴由“x∈C”能推出“x∈A”,从而C⊆A,

因此,集合C有四种情况:

①C=A,此时解得m=3;

②C={1},此时此时方程组无实数解,m的值不存在;

③C={2},此时方程组无实数解,m的值不存在;

④C=⌀,此时Δ=m2-8<0,解得-2<m<2.

综上可知,m的取值范围为{m|m=3或-2<m<2}.

5.解析　设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a,b,x,画出Venn图如图所示.

根据题意有

解得x=5,即两项都参加的有5人.

6.解析　∵a<1,∴2a<a+1,∴B≠⌀.

利用数轴表示B⊆A,如图所示.

或

由图知要使B⊆A,需a+1≤-1或2a≥1,即a≤-2或a≥.

又∵a<1,∴实数a的取值范围是.

7.答案　

解析　∀x∈R,x2≥|t|+-m恒成立,等价于x2的最小值大于或等于|t|+-m,即|t|+-m≤0.

又∃t∈R,使得|t|+-m≤0,即|t|≤m-,等价于|t|的最小值小于或等于m-,因此0≤m-,所以m≥.

8.解析　(1)∵A∩B=A,∴A⊆B.又A={x|a<x≤a+5},B=,

∴解得0≤a≤1,

即实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}.

(2)∵A∪B=A,∴B⊆A.

①当B=⌀时,-≥6,即a≤-12,符合题意;

②当B≠⌀时,无解.

∴实数a的取值范围是{a|a≤-12}.

9.A　如图所示,取A={1,2,4,5},B={2,3,5,6},C={4,5,6,7}.

依题意得A-B={1,4},

从而C-(A-B)={5,6,7},结合图形知,选项A正确.

10.C　令S1⫋I,S2=S3=I,则[(∁IS1)∩(S2∪S3)]=[(∁IS1)∩I]≠⌀,因此A错误;令S1=I,则∁IS1=⌀,即[(∁IS1)∩(∁IS3)]=⌀,因此B错误;令S2=S3=I,则[(∁IS2)∪(∁IS3)]=⌀,若S1⊆[(∁IS2)∪(∁IS3)],则S1=⌀,不符合题意,因此D错误;由集合的运算性质易知C正确.故选C.