江苏省南京市民办求真中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（月考）

2023—2024学年第一学期阶段性测试

九年级  数 学 试 卷

         命题人：徐峰    审核人：杨德文    时间：70分钟      2023.10.

一、选择题（每小题3分，共18分）

1．下列方程中，是一元二次方程的是

A．ax2＋bx＋c＝0      B．x2＋y＋3＝0     C．(x－1)(x＋1)＝1     D．(x＋2)(x－1)＝x2

2．下列说法正确的个数为

（1）相等的圆周角所对的弧一定是等弧；（2）边长相等的圆内接多边形一定是正多边形；

（3）平分一条弦的直径必然垂直这条弦；（4）在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角一定相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则弧EC的度数为

A．45° B．60° C．75° D．90°

4．某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为

A．200（1＋x）2＝1000                  B．200＋400x＝1000 

C．200＋600x＝1000                  D．200[1＋（1＋x）＋（1＋x）2]＝1000

5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是

A．点B在⊙A内 B．直线BC与⊙A相离 

C．点C在⊙A上 D．直线BC与⊙A相切

6．一个定点与圆上各点之间距离的最小值称为这个点与这个圆之间的距离，如图，矩形ABCD中，AB＝28cm，BC＝24cm，⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，则点A与⊙K的距离为

A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm

二、填空题（每小题2分，共16分）

7．设x1，x2是关于x的方程x2－kx＋k＋2022＝0的两个根，x1＋x2＝1，则x1x2＝　   　．

8．如图，扇形OAB的圆心角为130°，C是上一点，则∠ACB＝         ．

9．若关于x的方程（m－1）x2＋2x－1＝0有两个不相同的实数根，则m的取值范围是　   　．

10．如图，用长6 m的铝合金条制成“日“字形窗框，请问宽和高各是多少时，窗户的透光面积为1.5 m2（铝合金条的宽度不计）？若设窗框宽为x m，依题意列方程得　   　　   　．

11．如图，正五边形FGHIJ的顶点在正五边形ABCDE的边上，若∠1＝20°，则∠2＝　   　°．

12．如图，⊙O与∠ABC的两边分别相切于点D、E，点F为⊙O上一点（不与点D、E重合），若∠ABC＝50，则∠DFE＝　     　．

13．在扇形CAB中，CD⊥AB，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，BC.若垂足D为AB中点，则∠ABE＝________°．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF⊥AB，垂足为F．若AC＝6，BC＝8，则NF＝　   　．

15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，D为边BC的中点，以AD上一点O 为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为________．

16．如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 　     　．

三、解答题（本大题共7小题，共计62分．）

17. 解下列方程（每小题4分，共16分）

（1）x2＝－4x                                （2） x＋3－x(x＋3)＝0；

      （3）x2－6x＋5＝0                                       （4） x2－6x＋9＝(5－2x) 2；          

18．（8分）用两种方法证明命题“在圆的内接四边形中，如果一组对边相等，那么另一组对边平行”．

已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝CD．

求证：AD∥BC．

证法1：∵　        　，

∴．

∴　                  　．

即，

∴∠DCB＝∠ABC，（ 　             　）（填推理的依据）．

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠BAD+∠DCB＝180°，（ 　             　）（填推理的依据）．

∴∠BAD+∠ABC＝180°，

∴AD∥BC．

请把证1补充完整，并用不同的方法完成证法2．

19．（8分）在▱ABCD中，AB＝AC，经过A、B、C三点的⊙O与AD相切于点A，在AD的延长线上取点P，使得PC＝PA．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求PC的长．

20．（6分）如图，在边长为1的正方形网格中画有一个圆心为O的半圆．

（1）若用该半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为_____；

（2）请按要求准确作图:

①请在图1中仅用无刻度的直尺连线将半圆的面积三等分；
②请在图2网格中以O为圆心，用直尺与圆规画一个与已知半圆半径不等但面积相等的扇形．

21．（6分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50 m，宽40 m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．过A，D，E三点作⊙O，连接AO并延长，交BC于点F．

（1）求证：AF⊥BC；

（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半径长．

23．（10分）【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2＋bx＋c＝0的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（－b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0）、N（n，0），则m、n为方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根．

【探究】

（1）由勾股定理得，AM2＝12＋m2，BM2＝c2＋（－b－m）2，AB2＝（1－c）2＋b2．在Rt△ABM中，AM2＋BM2＝AB2所以12＋m2＋c2＋（－b－m）2＝（1－c）2＋b2．

化简得：m2＋bm＋c＝0．同理可得：　            　．

所以m、n为方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根．

【运用】

（2）在图2中的x轴上画出以方程x2－3x－2＝0两根为横坐标的点M、N．

（3）已知点A（0，1）、B（6，9），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．

【拓展】

（4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（－b，c），若以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是 　             　．