2023-2024学年江苏省南京市秦淮区重点学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市秦淮区重点学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 2x−2=0B. 2x2−x=0C. x2+y=2D. 1x2=2
2.数据2，5，4，−3，−1的极差是
( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
3.用配方法解方程x2−2x−4=0，配方正确的是( )
A. x−12=3B. x−12=4C. x−12=5D. x+12=3
4.已知x1、x2是关于x的方程x2−ax−2=0的两根，下列结论一定正确的是( )
A. x1≠x2B. x1+x2>0C. x1⋅x2>0D. x1<0，x2<0
5.如图，在正八边形ABCDEFGH中，AE与BG交于点P，则∠APG的度数为
( )
A. 108∘B. 112.5∘C. 120∘D. 135∘
6.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，BC=3，将BC⌢沿着BC折叠后恰好经过点O，则AB的长为
( )
A. 2 2B. 2 3C. 4D. 5
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7.方程x2=2的解是_____．
8.若x=2是关于x的一元二次方程x2−mx+8=0的一个解，则m的值是______．
9.若一正方形的外接圆的半径是3，则这个正方形的边长是________．
10.如图，在Rt▵ABC中，∠C=90∘，其内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，若AE=4，BE=6，则CD的长为______．
11.小王前三次打靶的成绩如图所示，他第四次打靶的成绩是a环，且这四次成绩的中位数恰好也是众数，则a=______．
12.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=5cm，该圆锥的母线长l=12cm，则扇形的圆心角θ度数为_______．
13.在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，则∠D=____度．
14.在平面直角坐标系中，一个圆经过O0,0，A3,9，B6,0三点，则该圆的圆心的坐标是______．
15.如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线，与OA的延长线交于点D.若⊙O的半径为2，则BD的长为__．
16.如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB=10，BE=2.过点E作弦CD⊥AB，P是ACB⌢上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为______．
三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
解方程：x2−2x−2=0．
18.(本小题8.0分)
解方程：x+12=5x+5．
19.(本小题8.0分)
(1)若关于x的方程x−3x−2=p(p为常数)有两个不相等的实数根，求p的取值范围；
(2)关于x的方程x−3x+2=p2(p为常数)的根的情况，下列结论中正确的是( )
A.两个正根 B.两个负根
C.一个正根，一个负根 D.无实数根
20.(本小题8.0分)
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
21.(本小题8.0分)
A，B两家餐饮店规模相当，国庆假期1∼8日的日盈利情况如图所示．
(1)分别求这两家餐饮店国庆假期的日平均盈利；
(2)若A，B两家餐饮店国庆假期的日盈利的方差分别是sA2和sB2，则sA2______sB2(填“>”、“=”、“<”)．
22.(本小题8.0分)
某市有A、B两个公园，甲、乙、丙三位同学随机选择其中一个公园游玩．
(1)甲去A公园游玩的概率是__________；
(2)求三位同学恰好在同一个公园游玩的概率．
23.(本小题8.0分)
如图，在▵ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆外，请用无刻度的直尺画出半圆的圆心O(保留画图痕迹，不写画法)．
24.(本小题8.0分)
阅读下面解方程的途径．
(1)按照图1途径，填写图2的空格．

(2)已知关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=2(a、b、c均为常数)，求关于x的方程akx+m2+bkx+m+c=0(k、m为常数，k≠0)的解(用含k、m的代数式表示)．
25.(本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P．

(1)求证∠C=2∠A；
(2)若PC=2OP，AP= 5，则⊙O的半径长为______．
26.(本小题8.0分)
某企业今年1月份生产甲、乙、丙三种不同类型的口罩共70万个，其中甲种口罩的产量是乙种口罩的2倍，乙种口罩比丙种口罩多10万个．为了应对“新冠”疫情，该企业决定迅速扩大产能，在接下来的两个月中，乙种口罩产量的月平均增长率比甲种口罩产量的月平均增长率小1，丙种口罩产量的月平均增长率是甲种口罩产量的月平均增长率的2倍．3月份该企业口罩总产量是690万个．
(1)1月份该企业分别生产甲、乙、丙三种口罩______万个、______万个、______万个；
(2)求甲种口罩产量的月平均增长率．
27.(本小题8.0分)
半圆O的直径AB=8，C为半圆上一点．

(1)若AC=6，则BC的长是______；
(2)①如图①，若D是AC⌢的中点，且AD=2，求BC的长；
②如图②，若D、E是AC⌢的三等分点，且AD=2，直接写出BC的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、2x−2=0是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、2x2−x=0是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、x2+y=2是二元二次方程，故本选项不符合题意；
D、1x2=2是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的判断，解题的关键是掌握定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2.【答案】C
【解析】【分析】一组数据中最大值与最小值的差即为极差，据此解答．
【详解】解：数据2，5，4，−3，−1的极差是5−−3=8；
故选：C．
【点睛】本题考查了极差的概念，熟知一组数据中最大值与最小值的差叫做极差是关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】把常数项−4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方．
【详解】解：把方程x2−2x−4=0的常数项移到等号的右边，得到x2−2x=4，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−2x+1=4+1，
配方得(x−1)2=5．
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4.【答案】A
【解析】【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△>0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1⋅x2=−2，结论C错误；D、由x1⋅x2=−2，可得出x1<0，x2>0，结论D错误．综上即可得出结论．
【详解】A∵△=(−a)2−4×1×(−2)=a2+8>0，
∴x1≠x2，结论A符合题意；
B、∵x1、x2是关于x的方程x2−ax−2=0的两根，
∴x1+x2=a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确，不符合题意；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2−ax−2=0的两根，
∴x1⋅x2=−2，结论C错误，不符合题意；
D、∵x1⋅x2=−2，
∴x1<0，x2>0，结论D错误，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】作出正八边形ABCDEFGH的外接圆O，根据正多边形的性质可得AE平分∠BAH，BG⊥GF，然后利用多边形的内角和公式求出∠BAH=∠AHG=∠HGF=135∘，再求出∠PAH,∠HGB即可解决问题．
【详解】解：∵正八边形ABCDEFGH，
∴AE平分∠BAH，
作出正八边形ABCDEFGH的外接圆O，连接OB,OC,OD,GD，
则∠AOC=∠DOC=360∘8=45∘，
∴∠AGD=12∠AOD=45∘，同理可得：∠DGF=45∘，
∴∠BGF=90∘，

∵∠BAH=∠AHG=∠HGF=8−2×180∘8=135∘，
∴∠PAH=12∠BAH=67.5∘，
∴∠HGP=∠HGF−∠BGF=45∘，
∴∠APG=360∘−135∘−45∘−67.5∘=112.5∘，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和和正多边形的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】如图所示，过点O作OE⊥BC于E，交⊙O于D，连接OC，由垂径定理得到CE=32，再根据折叠的性质得到OE=DE=12OD=12OC，由此在Rt▵COE中，由勾股定理求出OC的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点O作OE⊥BC于E，交⊙O于D，连接OC，
∴CE=BE=12BC=32，
∵OD⊥BC，将BC⌢沿着BC折叠后恰好经过点O，
∴OE=DE=12OD=12OC，
在Rt▵COE中，由勾股定理得：OC2=OE2+CE2，
∴OC2=14OC2+342，
∴OC= 3，
∵AB是直径，
∴AB=2OC=2 3，
故选B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7.【答案】± 2
【解析】【详解】解：直接开平方得：x=± 2．
故答案为：± 2．
8.【答案】6
【解析】【分析】把x=2代入一元二次方程x2−mx+8=0中即可解得m的值．
【详解】解：把x=2代入一元二次方程x2−mx+8=0中得：
4−2m+8=0，
解得m=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
9.【答案】3 2
【解析】【分析】由正四边形的中心角为90∘，根据勾股定理可求得正方形的边长．
【详解】解：如图，

∵正方形ABCD的半径是3，
∴OB=OC=3，∠BOC=360∘4=90∘，
∴BC= OB2+OC2= 32+32=3 2，
故答案为：3 2．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，熟记正多边形的边数和中心角的关系是解决问题的关键．
10.【答案】2
【解析】【分析】根据切线长定理得：AD=AE=4,BF=BE=6,CD=CF，再利用勾股定理列方程可得CD的长．
【详解】解：∵Rt▵ABC的内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，AE=4，BE=6，
∴AD=AE=4,BF=BE=6,CD=CF，
∵∠C=90∘，
∴AC2+BC2=AB2，
∴4+CD2+CD+62=4+62，
解得：CD=−12(舍)或2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
11.【答案】8
【解析】【分析】根据统计图中的数据和题意，由中位数和众数的定义可以得到a的值，本题得以解决．
【详解】解：由统计图可知，前三次的中位数是8，
∵第四次打靶的成绩是a环，这四次成绩的中位数恰好也是众数，
∴a=8，
故答案为 ：8．
【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12.【答案】150°
【解析】【分析】根据扇形的弧长公式解题．
【详解】∵圆锥的底面周长即是侧面展开图扇形的弧长，
∴2πr=nπl180∘
∴2π×5=nπ×12180∘，解得n=6×25=150∘
故答案为：150°．
【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的圆心角，涉及扇形的弧长公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13.【答案】100．
【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠D=∠A+∠C=180°，再根据∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6分别计算出∠A、∠B、∠C的度数，进而可得∠D的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D=∠A+∠C=180°，
∵∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，
∴∠A=180°×39=60°，∠C=180°×69=120°，
∠B=180°×49=80°，
∴∠D=180°−80°=100°，
故答案为100．
14.【答案】3,4
【解析】【分析】根据圆的定义，可知圆心在线段OB的垂直平分线上，继而设圆心O′3,m，由OO′=O′A建立方程求解即可．
【详解】解：根据题意得，圆心在线段OB的垂直平分线上，设圆心O′3,m，
∴OO′=O′A，
∴32+m2=(9−m)2
∴9+m2=81−18m+m2
解得m=4
∴O′3,4
故答案为：3,4．
【点睛】本题考查圆的定义、垂径定理、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
15.【答案】2 3
【解析】【分析】连接OB，根据菱形的性质得到OA=AB，求得∠AOB=60°，根据切线的性质得到∠DBO=90°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB，
∵OA=OB，
∴OA=AB=OB，
∴∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBO=90°，
∵OB=2，
∴BD= 3OB=2 3．
故答案为：2 3．
【点睛】本题考查圆的基本性质、菱形的性质、切线的性质以及含30∘角的直角三角形的性质．连接常用的辅助线是解答本题的关键．
16.【答案】 5
【解析】【分析】如图所示，连接AD，取AD中点M，连接OM,OD，先证明点Q在以AD为直径的圆上，则当M、O、Q三点共线时，OQ有最小值，利用勾股定理求出DE的长，进而求出AD的长，再求出OM的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接AD，取AD中点M，连接OM,OD，
∵AQ⊥PD，
∴点Q在以AD为直径的圆上，
∴当M、O、Q三点共线时，OQ有最小值，
∵AB=10，BE=2，CD⊥AB，
∴OB=OD=5,OE=OD−BE=3，AE=AB−BE=8，
∴由勾股定理得：DE= OD2−OE2=4，
∴AD= AE2+DE2=4 5，
∴AM=12AD=2 5，
∴OM= OA2−AM2= 5，
∴OQ=2 5− 5= 5，
∴OQ的最小值为 5，
故答案为： 5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，90度的圆周角所对的弦是直径，正确确定点Q在以AD为直径的圆上是解题的关键．
17.【答案】x1=1− 3，x2=1+ 3．
【解析】【分析】根据配方法可以解答此方程．
【详解】∵x2−2x−2=0
∴x2−2x=2，
∴x2−2x+1=2+1
∴x−12=3
∴x−1=± 3，
∴x1=1− 3，x2=1+ 3．
【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是掌握解一元二次方程的方法．
18.【答案】x1=4，x2=−1
【解析】【分析】先移项，再提公因式，利用因式分解法求解即可．
【详解】解：移项，得 (x+1) ²−(5x+5)=0
提取公因式，得 (x+1)(x+1−5)=0
所以有，x+1=0或者 x+1−5=0
所以x1=4，x2=−1．
【点睛】本题考查了分解因式法解一元二次方程，有多种解法，可用自己熟悉的来解．
19.【答案】(1)p>−14；(2)C
【解析】【分析】(1)先把方程x−3x−2=p化为x2−5x+6−p=0，结合题意可得Δ=b2−4ac=−52−46−p>0，再解不等式即可．
(2)先把方程x−3x+2=p2化为x2−x−6−p2=0，再根据Δ=b2−4ac=−12−4×1×−6−p2=25+4p2>0可得方程有两个不相等的实数根，由x1x2=−6−p2<0即可得出结论．
【详解】解(1)∵x−3x−2=p(p 为 常数)，
∴x2−5x+6−p=0，
∵关于x的方程x−3x−2=p(p为常数)有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=−52−46−p>0，
解得：p>−14，
(2)∵x−3x+2=p2(p为常数)，
∴x2−x−6−p2=0，
∴Δ=b2−4ac=−12−4×1×−6−p2=25+4p2>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵x1x2=−6−p2<0，
∴原方程有一个正根，一个负根．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数关系，注意利用偶次方的非负性判断代数式的符号是解决问题的关键．
20.【答案】衬衫的单价降了15元．
【解析】【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．
【详解】设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
(20+2x)(40−x)=1250，
解得：x1=x2=15，
答：衬衫的单价降了15元．
21.【答案】(1)：A餐饮店的平均盈利是：6.5万元，B餐饮店的平均盈利是：6.4万元；
(2)<

【解析】【分析】(1)根据平均数的计算公式进行计算即可得出答案；
(2)根据方差的意义即可得出答案．
【小问1详解】
解：A餐饮店的平均盈利是：182.4+8.8+8.6+7.8+8.2+7.6+5.6+3=6.5(万元)，
B餐饮店的平均盈利是：181.5+7+9.2+9+7.8+8+6.5+2.2=6.4(万元)；
【小问2详解】
sA2=182.4−6.52+8.8−6.52+8.6−6.52+7.8−6.52+8.2−6.52+7.6−6.52+5.6−6.52+3−6.52
=1816.81+5.29+4.41+1.69+2.89+1.21+0.81+12.25
=18×45.36
=5.67；
sB2=181.5−6.42+7−6.42+9.2−6.42+9−6.42+7.8−6.42+8−6.42+6.5−6.42+2.2−6.42
=1824.01+0.36+7.84+6.76+1.96+2.56+0.01+17.64
=18×61.14
=7.6425；
∴sA2【点睛】本题考查平均数的计算，方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x，则方差s2=1nx1−x2+x2−x2+⋅⋅⋅+xn−x2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
22.【答案】(1)12.(2)14．
【解析】【分析】(1)直接利用概率公式计算可得；
(2)画树状图列出所有等可能解果，从中找到甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】(1)共两个公园，所以甲去A公园游玩的概率是12.
(2)画树状图如下：
由树状图知共有8种等可能结果，其中甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的有2种结果，
∴甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的概率为14
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】画图见解析
【解析】【分析】设AB交⊙O于E，AC交⊙O于F，连接CE，BF，CE交BF于点J，作直线AJ交BC于点O，点O即为所求．
【详解】解：如图，点O即为所求．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24.【答案】(1)①x1=0,x2=−1；②xx−1=0；③x1=0,x2=1
(2)x1=1−mk,x2=2−mk

【解析】【分析】(1)按照分解因式法解答；
(2)根据方程的解的概念可得kx1+m=1,kx2+m=2，再求解即可．
【小问1详解】
解：由xx+1=0可得x=0或x+1=0，
解得：x1=0,x2=−1，
故①答案为：x1=0,x2=−1；
方程x−12+x−1=0可变形为x−1x−1+1=0，
即为xx−1=0，
∴x=0或x−1=0，
∴方程的解为x1=0,x2=1；
故②答案为 ：xx−1=0，③答案为：x1=0,x2=1；
【小问2详解】
解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=2，
∴关于x的方程akx+m2+bkx+m+c=0(k≠0)的解为kx1+m=1,kx2+m=2，
解得：x1=1−mk,x2=2−mk．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟知一元二次方程的解的概念、掌握解一元二次方程的方法是关键．
25.【答案】(1)见解析 (2)5 66
【解析】【分析】(1)延长AO交圆于点M，如图，则∠BOM=2∠A，再证明∠C=∠BOM即可；
(2)设圆的半径为x，OP=a，则CP=2a，证明CP=CB=2a，然后利用勾股定理列出关于a、x的方程组，求解即可．
【 小问1详解】
证明：延长AO交圆于点M，如图，
则∠BOM=2∠A，
∵OC⊥OA，
∴∠BOC+∠BOM=90∘，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，即∠BOC+∠C=90∘，
∴∠C=∠BOM，
∴∠C=2∠A；
【小问2详解】
解：设圆的半径为x，OP=a，则CP=2a，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵∠A+∠APO=90∘,∠OBA+∠CBP=90∘,∠APO=∠CPB，
∴∠CBP=∠CPB，
∴CP=CB=2a，
在直角三角形APO中，根据勾股定理可得：x2+a2= 52①，
在直角三角形OCB中，根据勾股定理可得：x2+2a2=3a2②，
联立①②可解得：x=5 66，即⊙O的半径长为5 66；
故答案为：5 66．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键．
26.【答案】(1)10，20，40
(2)200%

【解析】【分析】(1)设1月份生产丙种口罩x万个，则乙为x+10万个，甲为2x+10万个，根据题意列出一元一次方程求解即可；
(2)设甲种口罩产量的月平均增长率为y，则乙为y−1，丙为2y，根据：3月份该企业口罩总产量是690万个列出一元二次方程求解即可．
【小问1详解】
设1月份生产丙种口罩x万个，则乙为x+10万个，甲为2x+10万个，
根据题意可得x+x+10+2x+10=70，
解得：x=10，
则x+10=20,2×20=40，
即1月份该企业分别生产甲、乙、丙三种口罩10万个、20万个、40万个；
故答案为：10，20，40；
【小问2详解】
设甲种口罩产量的月平均增长率为y，则乙为y−1，丙为2y，
则401+y2+201+y−12+101+2y2=690，
整理，得5y2+6y−32=0，
解得：y1=2，y2=−3.2(舍去)；
答：甲种口罩产量的月平均增长率为200%．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，正确理解题意、找准等量关系列出方程是关键．
27.【答案】(1)2 7；
(2)①7；②3 152

【解析】【分析】(1)如图1中，连接AC，利用勾股定理计算即可．
(2)①如图1中，连接OD交AC于H，连接OC，则OA=OC=OD=4.设DH=x，则OH=4−x，利用勾股定理构建方程求出x，即可解决问题．②连接AE，AC，过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H，过的C作CI⊥DE交DE的延长线于I.想办法求出DH，EI，AC即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图1中，连接AC．

∵AB是直径，
∴∠ACB=90∘，
∴BC= AB2−AC2= 82−62=2 7．
【小问2详解】
①如图1中，连接OD交AC于H，连接OC，

则OA=OC=OD=4．
∵D是AC⌢的中点，
∴CD⌢=AD⌢，
∴CD=AD=2，OD垂直平分线段AC，
设DH=x，则OH=4−x，
∵AC⊥OD，
∴∠CHD=∠CHO=90∘，
∴CD2−DH2=CO2−OH2，
∴22−x2=42−4−x2，解得x=12，
∴CH= CD2−DH2= 22−122= 152，
∵OD垂直平分AC，
∴AC=2CH= 15，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90∘，
∴BC= AB2−AC2= 82− 152=7．
②连接AE，AC，过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H，过的C作CI⊥DE交DE的延长线于I．

∵D，E，C是AC⌢的三等分点，
∴AD⌢=DE⌢=CE⌢，
∴EC=DE=AD=2，∠DEA=∠EAC，
∴DE//AC，
∵∠H=∠I=90∘，
∴∠HAC=180∘−90∘=90∘，
∴四边形AHIC 是 矩形，
∴AH=CI，AC=HI，
∵AD=CE，∠H=∠I=90∘，
∴Rt▵AHD≌Rt▵CIEHL，
∴EI=DH，设DH=x，则HE=x+2，
∵∠H=90∘，
∴AE2−EH2=AH2=AD2−DH2，
∵AE= 15，
∴ 152−x+22=22−x2，解得x=74，
∵EI=DH=74，
∴HI=DH+DE+EI=74+74+2=112，
∴AC=HI=112，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90∘，
∴BC= AB2−AC2= 82−1122=3 152．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．