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广东省深圳市罗湖区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷
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这是一份广东省深圳市罗湖区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，四象限，则k的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题．每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）一元二次方程x2+2x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣2
2．（3分）下面立体图形中，从正面、侧面、上面看，都不能看到长方形的是（ ）
A．长方体 B．圆柱
C．圆锥 D．正四棱锥
3．（3分）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”，将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“梅花”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞﹣2 D．k＞2
5．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路，某地区2017年底有贫困人口10万人，通过社会各界的努力．2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x．根据题意列方程得（ ）
A．10（1﹣2x）＝1 B．10（1﹣x）2＝1 C．10（1+2x）＝1 D．10（1+x）2＝1
6．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．平行四边形的对角线平分且相等
D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
7．（3分）如图，已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为1：2，点B的坐标为（﹣2，4），则点B1的坐标为（ ）
A．（4，﹣8） B．（2，﹣4） C．（﹣1，8） D．（﹣8，4）
8．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤ B．k＞ C．k＜且k≠1 D．k≤且k≠1
9．（3分）如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．8 B．9 C． D．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的有
①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a＞b；④（a+c）2＜b2；⑤a﹣2b+4c＞0．（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是 m．
12．（3分）将抛物线y＝﹣2x2+5向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为 ．
13．（3分）已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：a※b＝3b﹣5a，例如：1※2＝3×2﹣5×1＝6﹣5＝1，计算：（2※3）※5＝ ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，OA＝5，tan∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于 ．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（）﹣1﹣2tan45°+4sin60°﹣2．
17．（6分）化简分式（+）÷，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．
18．（8分）在刚刚结束的“东门68小时不打烊”活动中，某商场为了扩大销售额，举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
（1）如果小明只有一次摸球机会，那么小明获得奖品的概率为 ；
（2）如果小明有两次摸球机会（摸出后不放回），求小明获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
19．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的值．
20．（8分）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高2米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走6米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）计算古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高．（结果保留根号）
21．（10分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝8，OC＝6，点D是对角线AC的中点，过点D的直线分别交OA、BC边于点E、F．
（1）求证：四边形EAFC是平行四边形；
（2）当CE＝CF时，求EF的长；
（3）在条件（2）的情况下，P为x轴上一点，当以E，F，P为顶点的三角形为等腰三角形时，请求出点P的坐标．
22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若点D为第四象限内抛物线上一动点，当△BCD面积最大时，求△BCD面积的最大面积；
（3）在x轴上是否存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题．每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）一元二次方程x2+2x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣2
【分析】先将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
x+2＝0或x＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝0，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
2．（3分）下面立体图形中，从正面、侧面、上面看，都不能看到长方形的是（ ）
A．长方体 B．圆柱
C．圆锥 D．正四棱锥
【分析】根据各个几何体从正面、侧面、上面看到的形状进行判断即可．
【解答】解：圆锥从正面看所得到的图形是等腰三角形，从侧面看所得到的图形是等腰三角形、从上面看所得到的图形是圆，
因此圆锥符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体三视图的形状是正确判断的前提．
3．（3分）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”，将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“梅花”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【解答】解：从中任意抽取1张，是“梅花”的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
4．（3分）若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞﹣2 D．k＞2
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由2﹣k＜0即可解得答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，
∴2﹣k＜0，
解得k＞2，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
5．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路，某地区2017年底有贫困人口10万人，通过社会各界的努力．2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x．根据题意列方程得（ ）
A．10（1﹣2x）＝1 B．10（1﹣x）2＝1 C．10（1+2x）＝1 D．10（1+x）2＝1
【分析】等量关系为：2017年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2019年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
10（1﹣x）2＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识点，解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×（1+平均增长率）增长的次数＝增长后的量．
6．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．平行四边形的对角线平分且相等
D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
【分析】根据矩形、菱形的判定和平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
C、平行四边形的对角线平分，原命题是假命题，不符合题意；
D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（3分）如图，已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为1：2，点B的坐标为（﹣2，4），则点B1的坐标为（ ）
A．（4，﹣8） B．（2，﹣4） C．（﹣1，8） D．（﹣8，4）
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．
【解答】解：∵△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为1：2，点B的坐标为（﹣2，4），
∴点B1的坐标为：（﹣2×（﹣2），4×（﹣2））即（4，﹣8）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
8．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤ B．k＞ C．k＜且k≠1 D．k≤且k≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，
∴，
解得：k≤且k≠1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
9．（3分）如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【分析】连接AC，首先证明△ABC是等边三角形，再证明△BGH∽△CAG，推出＝，由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：连接AC．
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3，
∴∠ACB＝60°，
∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，
∵∠AGH＝∠ACG＝60°，
∴∠BGH＝∠CAG，
∵∠B＝∠ACG，
∴△BGH∽△CAG，
∴＝，
∴＝，
∴a2﹣10a+9＝0，
∴a＝9或1（舍弃），
∴AB＝9，
故选：B．
【点评】本题考查相似多边形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的有
①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a＞b；④（a+c）2＜b2；⑤a﹣2b+4c＞0．（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点；即可得出b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；再由图象可知当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；当x＝﹣时，y＞0，即a﹣b+c＞0，即可求解．
【解答】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，
∴a＜0，﹣＜0，c＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵函数与x轴有两个不同的交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，故②错误；
∵﹣＞﹣1，
∴2a＜b，故③错误；
当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；
当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；故④正确；
∵x＝﹣时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故⑤正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出a，b，c，△，对称轴的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是 5 m．
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
∵BE＝1.5m，AB＝3m，AC＝10m，
∴＝，
解得，DC＝5，
即建筑物CD的高是5m，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
12．（3分）将抛物线y＝﹣2x2+5向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为 y＝﹣2（x+1）2+3 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2+5向左平移1个单位长度得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+5，
再向下平移2个单位得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+5﹣2，即y＝﹣2（x+1）2+3．
故答案为：y＝﹣2（x+1）2+3．
【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13．（3分）已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：a※b＝3b﹣5a，例如：1※2＝3×2﹣5×1＝6﹣5＝1，计算：（2※3）※5＝ 20 ．
【分析】原式利用新定义计算即可得到结果．
【解答】解：（2※3）※5
＝（3×3﹣5×2）※5
＝（9﹣10）※5
＝（﹣1）※5
＝3×5﹣5×（﹣1）
＝15+5
＝20．
故答案为：20．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，OA＝5，tan∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于 12 ．
【分析】作CD⊥OA于D，如图，利用菱形的性质得OC＝OA＝5，在Rt△OCD中利用正弦的定义以及勾股定理计算出CD＝3，OD＝4，从而得到C（4，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定k的值．
【解答】解：如图，作CD⊥OA于D，
∵OA＝5，
∵四边形OABC为菱形，
∴OC＝OA＝5，
在Rt△OCD中，∵tan∠COA＝＝．
∴设CD＝3x，OD＝4x，
∵OC2＝OD2+CD2，
∴52＝（4x）2+（3x）2，解得x＝1，
∴CD＝3，OD＝4，
∴C（4，3），
把C（4，3）代入y＝得k＝3×4＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了菱形的性质．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为 6 ．
【分析】延长BF交AD的延长线于点H，证明△BCF≌△HDF（AAS），由全等三角形的性质得出BC＝DH，由折叠的性质得出∠A＝∠BGE＝90°，AE＝EG，设AE＝EG＝x，则AD＝BC＝DH＝3x，得出EH＝5x，由锐角三角函数的定义及勾股定理可得出答案．
【解答】解：延长BF交AD的延长线于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠BCF＝90°，
∴∠H＝∠CBF，
在△BCF和△HDF中，
，
∴△BCF≌△HDF（AAS），
∴BC＝DH，
∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴∠A＝∠BGE＝90°，AE＝EG，
∴∠EGH＝90°，
∵AE＝AD，
∴设AE＝EG＝x，则AD＝BC＝DH＝3x，
∴ED＝2x，
∴EH＝ED+DH＝5x，
在Rt△EGH中，sin∠H＝，
∴sin∠CBF＝＝，
∴，
∴BF＝15，
∴BC＝＝＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（）﹣1﹣2tan45°+4sin60°﹣2．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣2×1+4×﹣2×2
＝2﹣2+2﹣4
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．
17．（6分）化简分式（+）÷，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝（﹣）•
＝•
＝a+3，
∵a≠﹣3、2、3，
∴a＝4或a＝5，
则a＝4时，原式＝7．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
18．（8分）在刚刚结束的“东门68小时不打烊”活动中，某商场为了扩大销售额，举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
（1）如果小明只有一次摸球机会，那么小明获得奖品的概率为 ；
（2）如果小明有两次摸球机会（摸出后不放回），求小明获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，再找出小明获得2份奖品的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵袋子中有2个黑球和2个红球，
∴小明获得奖品的概率为＝；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
共有12种等情况数，其中小明获得2份奖品的有2种，
则小明获得2份奖品的概率是＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的值．
【分析】（1）将点A坐标代入两个解析式可求a的值，k的值，即可求解；
（2）先求得B、C的坐标，然后求得S△AOC＝＝3，S△BOC＝＝，S△AOB＝，根据同高三角形面积的比等于底边的比即可求得结论．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）由一次函数y＝﹣x+3可知C的坐标为（3，0），
解得或，
∴B（2，1），
∴S△AOC＝＝3，S△BOC＝＝，
∴S△AOB＝，
∴＝1，
∴＝1．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，以及三角形的面积公式，正确表示出△AOB和△BOC的面积是关键．
20．（8分）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高2米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走6米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）计算古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高．（结果保留根号）
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）作HJ⊥CG于G．则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ＝GJ＝BC＝x．构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意：四边形ABED是矩形，可得DE＝AB＝6（米），AD＝BE＝2（米），
在Rt△DEH中，∵∠EDH＝45°，
∴HE＝DE＝6（米）．
∴BH＝EH+BE＝6+2＝8（米）．
答：古树BH的高为8米；
（2）作HJ⊥CG于J．则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，
设HJ＝GJ＝BC＝x．
在Rt△EFG中，tan60°＝，
∴＝，
∴x＝3（+1），
∴GF＝GJ+JF＝x+6＝（3+9）米，
∴CG＝CF+FG＝2+3+9＝（11+3）米．
答：教学楼CG的高为（11+3）米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝8，OC＝6，点D是对角线AC的中点，过点D的直线分别交OA、BC边于点E、F．
（1）求证：四边形EAFC是平行四边形；
（2）当CE＝CF时，求EF的长；
（3）在条件（2）的情况下，P为x轴上一点，当以E，F，P为顶点的三角形为等腰三角形时，请求出点P的坐标．
【分析】（1）证明△CDF≌△ADE（AAS），由全等三角形的性质得出DF＝DE，由平行四边形的判定可得出答案；
（2）设CE＝AE＝x，由勾股定理得出62+（8﹣x）2＝x2，求出x＝，由勾股定理可得出答案；
（3）分三种情况：①若PE＝PF，②若EF＝EP，③若EF＝FP，由等腰三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠FCD＝∠DAE，∠CFD＝∠AED，
∵D是AC的中点，
∴CD＝AD，
∴△CDF≌△ADE（AAS），
∴DF＝DE，
∴四边形EAFC是平行四边形；
（2）解：∵四边形EAFC是平行四边形，CE＝CF，
∴四边形EAFC是菱形，
∴CE＝EA，
设CE＝AE＝x，
∵OC2+OE2＝CE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴CE＝，
∵OA＝8，OC＝6，
∴AC＝＝＝10，
∴CD＝AC＝5，
∴ED＝＝＝，
∴EF＝2ED＝；
（3）分三种情况：
①若PE＝PF，点P与点A重合，
∴P（8，0），
②若EF＝EP＝，
当点P在x轴的正半轴上，OP＝OE+PE＝＝，
∴P（，0），
当点P在x轴的负半轴上，OP＝PE﹣OE＝＝，
∴P（﹣，0），
③若EF＝FP，过点F作FG⊥AE于点G，则EG＝CF﹣OE＝﹣＝，
∴EP＝9，
∴OP＝OE+EP＝+9＝，
∴P（，0）．
综上可得，点P的坐标为（8，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若点D为第四象限内抛物线上一动点，当△BCD面积最大时，求△BCD面积的最大面积；
（3）在x轴上是否存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）如图1，过点D作DF⊥AB于F，交BC于E，先求出直线BC解析式，设点D坐标为（x，x2﹣5x﹣6），则点E（x，x﹣6），可求DE的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，通过证明△AOC∽△MNC，可得，即可求解．，
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x﹣6；
（2）如图1，过点D作DF⊥AB于F，交BC于E，
、
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直线BC解析式为y＝x﹣6，
设点D坐标为（x，x2﹣5x﹣6），则点E（x，x﹣6），
∴DE＝x﹣6﹣（x2﹣5x﹣6）＝﹣x2+6x，
∵△BCD面积＝×DE×OB＝（﹣x2+6x）×6＝﹣3（x﹣3）2+27，
∴当x＝3时，△BCD面积的最大值为27；
（3）当点M在原点右侧时，
∵B（6，0），C（0，﹣6），A（﹣1，0），
∴OB＝OC＝6，OA＝1，
∴∠OCB＝45°＝∠OBC，BC＝6，
∵∠ACO+∠OCM＝45°，
∴∠ACO＝∠BCM，
∵MN⊥BC，
∴∠MNC＝90°＝∠AOC，
∴△AOC∽△MNC，
∴，
∵MN⊥BC，∠OBC＝45°，
∴∠NMB＝∠MBN＝45°，
∴MN＝BN＝BM＝（6﹣OM）＝3﹣OM，
∴CN＝6﹣BN＝3+OM，
∴＝，
∴OM＝，
∴点M（，0）；
当点M'在原点左侧时，点M与点M'关于原点对称，
∴点M'（﹣，0）；
综上所述：点M坐标为（，0）或（﹣，0）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
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日期：2021/4/7 10:23:24；用户：何瑞云；邮箱：sddd94@xyh.com；学号：25309645
2020-2021学年广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题．每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）一元二次方程x2+2x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣2
2．（3分）下面立体图形中，从正面、侧面、上面看，都不能看到长方形的是（ ）
A．长方体 B．圆柱
C．圆锥 D．正四棱锥
3．（3分）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”，将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“梅花”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞﹣2 D．k＞2
5．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路，某地区2017年底有贫困人口10万人，通过社会各界的努力．2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x．根据题意列方程得（ ）
A．10（1﹣2x）＝1 B．10（1﹣x）2＝1 C．10（1+2x）＝1 D．10（1+x）2＝1
6．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．平行四边形的对角线平分且相等
D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
7．（3分）如图，已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为1：2，点B的坐标为（﹣2，4），则点B1的坐标为（ ）
A．（4，﹣8） B．（2，﹣4） C．（﹣1，8） D．（﹣8，4）
8．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤ B．k＞ C．k＜且k≠1 D．k≤且k≠1
9．（3分）如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．8 B．9 C． D．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的有
①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a＞b；④（a+c）2＜b2；⑤a﹣2b+4c＞0．（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是 m．
12．（3分）将抛物线y＝﹣2x2+5向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为 ．
13．（3分）已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：a※b＝3b﹣5a，例如：1※2＝3×2﹣5×1＝6﹣5＝1，计算：（2※3）※5＝ ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，OA＝5，tan∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于 ．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（）﹣1﹣2tan45°+4sin60°﹣2．
17．（6分）化简分式（+）÷，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．
18．（8分）在刚刚结束的“东门68小时不打烊”活动中，某商场为了扩大销售额，举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
（1）如果小明只有一次摸球机会，那么小明获得奖品的概率为 ；
（2）如果小明有两次摸球机会（摸出后不放回），求小明获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
19．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的值．
20．（8分）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高2米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走6米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）计算古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高．（结果保留根号）
21．（10分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝8，OC＝6，点D是对角线AC的中点，过点D的直线分别交OA、BC边于点E、F．
（1）求证：四边形EAFC是平行四边形；
（2）当CE＝CF时，求EF的长；
（3）在条件（2）的情况下，P为x轴上一点，当以E，F，P为顶点的三角形为等腰三角形时，请求出点P的坐标．
22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若点D为第四象限内抛物线上一动点，当△BCD面积最大时，求△BCD面积的最大面积；
（3）在x轴上是否存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题．每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）一元二次方程x2+2x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣2
【分析】先将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
x+2＝0或x＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝0，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
2．（3分）下面立体图形中，从正面、侧面、上面看，都不能看到长方形的是（ ）
A．长方体 B．圆柱
C．圆锥 D．正四棱锥
【分析】根据各个几何体从正面、侧面、上面看到的形状进行判断即可．
【解答】解：圆锥从正面看所得到的图形是等腰三角形，从侧面看所得到的图形是等腰三角形、从上面看所得到的图形是圆，
因此圆锥符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体三视图的形状是正确判断的前提．
3．（3分）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”，将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“梅花”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【解答】解：从中任意抽取1张，是“梅花”的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
4．（3分）若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞﹣2 D．k＞2
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由2﹣k＜0即可解得答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，
∴2﹣k＜0，
解得k＞2，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
5．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路，某地区2017年底有贫困人口10万人，通过社会各界的努力．2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x．根据题意列方程得（ ）
A．10（1﹣2x）＝1 B．10（1﹣x）2＝1 C．10（1+2x）＝1 D．10（1+x）2＝1
【分析】等量关系为：2017年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2019年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
10（1﹣x）2＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识点，解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×（1+平均增长率）增长的次数＝增长后的量．
6．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．平行四边形的对角线平分且相等
D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
【分析】根据矩形、菱形的判定和平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
C、平行四边形的对角线平分，原命题是假命题，不符合题意；
D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（3分）如图，已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为1：2，点B的坐标为（﹣2，4），则点B1的坐标为（ ）
A．（4，﹣8） B．（2，﹣4） C．（﹣1，8） D．（﹣8，4）
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．
【解答】解：∵△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为1：2，点B的坐标为（﹣2，4），
∴点B1的坐标为：（﹣2×（﹣2），4×（﹣2））即（4，﹣8）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
8．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤ B．k＞ C．k＜且k≠1 D．k≤且k≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，
∴，
解得：k≤且k≠1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
9．（3分）如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【分析】连接AC，首先证明△ABC是等边三角形，再证明△BGH∽△CAG，推出＝，由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：连接AC．
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3，
∴∠ACB＝60°，
∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，
∵∠AGH＝∠ACG＝60°，
∴∠BGH＝∠CAG，
∵∠B＝∠ACG，
∴△BGH∽△CAG，
∴＝，
∴＝，
∴a2﹣10a+9＝0，
∴a＝9或1（舍弃），
∴AB＝9，
故选：B．
【点评】本题考查相似多边形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的有
①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a＞b；④（a+c）2＜b2；⑤a﹣2b+4c＞0．（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点；即可得出b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；再由图象可知当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；当x＝﹣时，y＞0，即a﹣b+c＞0，即可求解．
【解答】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，
∴a＜0，﹣＜0，c＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵函数与x轴有两个不同的交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，故②错误；
∵﹣＞﹣1，
∴2a＜b，故③错误；
当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；
当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；故④正确；
∵x＝﹣时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故⑤正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出a，b，c，△，对称轴的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是 5 m．
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
∵BE＝1.5m，AB＝3m，AC＝10m，
∴＝，
解得，DC＝5，
即建筑物CD的高是5m，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
12．（3分）将抛物线y＝﹣2x2+5向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为 y＝﹣2（x+1）2+3 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2+5向左平移1个单位长度得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+5，
再向下平移2个单位得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+5﹣2，即y＝﹣2（x+1）2+3．
故答案为：y＝﹣2（x+1）2+3．
【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13．（3分）已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：a※b＝3b﹣5a，例如：1※2＝3×2﹣5×1＝6﹣5＝1，计算：（2※3）※5＝ 20 ．
【分析】原式利用新定义计算即可得到结果．
【解答】解：（2※3）※5
＝（3×3﹣5×2）※5
＝（9﹣10）※5
＝（﹣1）※5
＝3×5﹣5×（﹣1）
＝15+5
＝20．
故答案为：20．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，OA＝5，tan∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于 12 ．
【分析】作CD⊥OA于D，如图，利用菱形的性质得OC＝OA＝5，在Rt△OCD中利用正弦的定义以及勾股定理计算出CD＝3，OD＝4，从而得到C（4，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定k的值．
【解答】解：如图，作CD⊥OA于D，
∵OA＝5，
∵四边形OABC为菱形，
∴OC＝OA＝5，
在Rt△OCD中，∵tan∠COA＝＝．
∴设CD＝3x，OD＝4x，
∵OC2＝OD2+CD2，
∴52＝（4x）2+（3x）2，解得x＝1，
∴CD＝3，OD＝4，
∴C（4，3），
把C（4，3）代入y＝得k＝3×4＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了菱形的性质．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为 6 ．
【分析】延长BF交AD的延长线于点H，证明△BCF≌△HDF（AAS），由全等三角形的性质得出BC＝DH，由折叠的性质得出∠A＝∠BGE＝90°，AE＝EG，设AE＝EG＝x，则AD＝BC＝DH＝3x，得出EH＝5x，由锐角三角函数的定义及勾股定理可得出答案．
【解答】解：延长BF交AD的延长线于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠BCF＝90°，
∴∠H＝∠CBF，
在△BCF和△HDF中，
，
∴△BCF≌△HDF（AAS），
∴BC＝DH，
∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴∠A＝∠BGE＝90°，AE＝EG，
∴∠EGH＝90°，
∵AE＝AD，
∴设AE＝EG＝x，则AD＝BC＝DH＝3x，
∴ED＝2x，
∴EH＝ED+DH＝5x，
在Rt△EGH中，sin∠H＝，
∴sin∠CBF＝＝，
∴，
∴BF＝15，
∴BC＝＝＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（）﹣1﹣2tan45°+4sin60°﹣2．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣2×1+4×﹣2×2
＝2﹣2+2﹣4
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．
17．（6分）化简分式（+）÷，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝（﹣）•
＝•
＝a+3，
∵a≠﹣3、2、3，
∴a＝4或a＝5，
则a＝4时，原式＝7．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
18．（8分）在刚刚结束的“东门68小时不打烊”活动中，某商场为了扩大销售额，举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
（1）如果小明只有一次摸球机会，那么小明获得奖品的概率为 ；
（2）如果小明有两次摸球机会（摸出后不放回），求小明获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，再找出小明获得2份奖品的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵袋子中有2个黑球和2个红球，
∴小明获得奖品的概率为＝；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
共有12种等情况数，其中小明获得2份奖品的有2种，
则小明获得2份奖品的概率是＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的值．
【分析】（1）将点A坐标代入两个解析式可求a的值，k的值，即可求解；
（2）先求得B、C的坐标，然后求得S△AOC＝＝3，S△BOC＝＝，S△AOB＝，根据同高三角形面积的比等于底边的比即可求得结论．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）由一次函数y＝﹣x+3可知C的坐标为（3，0），
解得或，
∴B（2，1），
∴S△AOC＝＝3，S△BOC＝＝，
∴S△AOB＝，
∴＝1，
∴＝1．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，以及三角形的面积公式，正确表示出△AOB和△BOC的面积是关键．
20．（8分）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高2米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走6米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）计算古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高．（结果保留根号）
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）作HJ⊥CG于G．则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ＝GJ＝BC＝x．构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意：四边形ABED是矩形，可得DE＝AB＝6（米），AD＝BE＝2（米），
在Rt△DEH中，∵∠EDH＝45°，
∴HE＝DE＝6（米）．
∴BH＝EH+BE＝6+2＝8（米）．
答：古树BH的高为8米；
（2）作HJ⊥CG于J．则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，
设HJ＝GJ＝BC＝x．
在Rt△EFG中，tan60°＝，
∴＝，
∴x＝3（+1），
∴GF＝GJ+JF＝x+6＝（3+9）米，
∴CG＝CF+FG＝2+3+9＝（11+3）米．
答：教学楼CG的高为（11+3）米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝8，OC＝6，点D是对角线AC的中点，过点D的直线分别交OA、BC边于点E、F．
（1）求证：四边形EAFC是平行四边形；
（2）当CE＝CF时，求EF的长；
（3）在条件（2）的情况下，P为x轴上一点，当以E，F，P为顶点的三角形为等腰三角形时，请求出点P的坐标．
【分析】（1）证明△CDF≌△ADE（AAS），由全等三角形的性质得出DF＝DE，由平行四边形的判定可得出答案；
（2）设CE＝AE＝x，由勾股定理得出62+（8﹣x）2＝x2，求出x＝，由勾股定理可得出答案；
（3）分三种情况：①若PE＝PF，②若EF＝EP，③若EF＝FP，由等腰三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠FCD＝∠DAE，∠CFD＝∠AED，
∵D是AC的中点，
∴CD＝AD，
∴△CDF≌△ADE（AAS），
∴DF＝DE，
∴四边形EAFC是平行四边形；
（2）解：∵四边形EAFC是平行四边形，CE＝CF，
∴四边形EAFC是菱形，
∴CE＝EA，
设CE＝AE＝x，
∵OC2+OE2＝CE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴CE＝，
∵OA＝8，OC＝6，
∴AC＝＝＝10，
∴CD＝AC＝5，
∴ED＝＝＝，
∴EF＝2ED＝；
（3）分三种情况：
①若PE＝PF，点P与点A重合，
∴P（8，0），
②若EF＝EP＝，
当点P在x轴的正半轴上，OP＝OE+PE＝＝，
∴P（，0），
当点P在x轴的负半轴上，OP＝PE﹣OE＝＝，
∴P（﹣，0），
③若EF＝FP，过点F作FG⊥AE于点G，则EG＝CF﹣OE＝﹣＝，
∴EP＝9，
∴OP＝OE+EP＝+9＝，
∴P（，0）．
综上可得，点P的坐标为（8，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若点D为第四象限内抛物线上一动点，当△BCD面积最大时，求△BCD面积的最大面积；
（3）在x轴上是否存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）如图1，过点D作DF⊥AB于F，交BC于E，先求出直线BC解析式，设点D坐标为（x，x2﹣5x﹣6），则点E（x，x﹣6），可求DE的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，通过证明△AOC∽△MNC，可得，即可求解．，
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x﹣6；
（2）如图1，过点D作DF⊥AB于F，交BC于E，
、
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直线BC解析式为y＝x﹣6，
设点D坐标为（x，x2﹣5x﹣6），则点E（x，x﹣6），
∴DE＝x﹣6﹣（x2﹣5x﹣6）＝﹣x2+6x，
∵△BCD面积＝×DE×OB＝（﹣x2+6x）×6＝﹣3（x﹣3）2+27，
∴当x＝3时，△BCD面积的最大值为27；
（3）当点M在原点右侧时，
∵B（6，0），C（0，﹣6），A（﹣1，0），
∴OB＝OC＝6，OA＝1，
∴∠OCB＝45°＝∠OBC，BC＝6，
∵∠ACO+∠OCM＝45°，
∴∠ACO＝∠BCM，
∵MN⊥BC，
∴∠MNC＝90°＝∠AOC，
∴△AOC∽△MNC，
∴，
∵MN⊥BC，∠OBC＝45°，
∴∠NMB＝∠MBN＝45°，
∴MN＝BN＝BM＝（6﹣OM）＝3﹣OM，
∴CN＝6﹣BN＝3+OM，
∴＝，
∴OM＝，
∴点M（，0）；
当点M'在原点左侧时，点M与点M'关于原点对称，
∴点M'（﹣，0）；
综上所述：点M坐标为（，0）或（﹣，0）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
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日期：2021/4/7 10:23:24；用户：何瑞云；邮箱：sddd94@xyh.com；学号：25309645
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