2020-2021学年广东省深圳市南山区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省深圳市南山区九上期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，这是由 5 个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图
A. B.
C. D.

2. 下列命题是假命题的是
A. 四个角相等的四边形是矩形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

3. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和 3 个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是 0.2，则估计盒子中红球的个数大约是
A. 20 个B. 16 个C. 15 个D. 12 个

4. 一元二次方程 x2+2x−1=0 的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根

5. △ABC 与 △AʹBʹCʹ 是位似图形，且 △ABC 与 △AʹBʹCʹ 的位似比是 1:2，已知 △ABC 的面积是 10，则 △AʹBʹCʹ 的面积是
A. 10B. 20C. 40D. 80

6. 【例 9 】（1）关于反比例函数 y=−12x，下列说法不正确的是
A. 函数图象分别位于第二、四象限
B. 函数图象关于原点成中心对称
C. 函数图象经过点 −6,−2
D. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大

7. 如图，AB∥CD∥EF，AF，BE 交于点 G，下列比例式错误的是
A. ADDF=BCCEB. AGGD=BGCGC. GCGE=CDEFD. ABEF=AGGE

8. 如图，已知点 A 是反比例函数 y=6xx>0 的图象上一点，AB∥x 轴交另一个反比例函数 y=kxx>0 的图象于点 B，C 为 x 轴上一点，若 S△ABC=2，则 k 的值为
A. 4B. 2C. 3D. 1

9. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，且 AC=6，BD=8，过 A 点作 AE 垂直 BC，交 BC 于点 E，则 BECE 的值为
A. 512B. 725C. 718D. 524

10. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BE⊥AC，垂足为点 F，连接 DF，下面四个结论：① CF=2AF；② AD=2CD；③ DF=DC；④ △AEF∽△CAB；⑤ S四边形CDEF=52S△ABF，其中正确的结论有
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知 a6=b5=c4，且 a+b−2c=6，则 a 的值为 ．

12. 小王同学想利用树影测量校园内的树高，他在某一时刻测得小树高为 1.5 米时，其影长为 1.2 米，当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为 6.4 米，墙上影长为 1.4 米，那么这棵大树高约为 米．

13. 设 m，n 是方程 x2+x−1001=0 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 ．

14. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，若 AB=4，AD=3，则 CF 的长为 ．

15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，D 分别在 x 轴，y 轴上，对角线 BD∥x轴，反比例函数 y=kxk>0,x>0 的图象经过矩形对角线的交点 E．若点 A2,0，D0,4，则反比例函数的解析式为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
16. 解下列方程：
（1）2x−22=x2−4．
（2）2x2−4x−1=0．

17. 甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会 4×100 米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责跑最后一棒．其他三位同学的跑步顺序随机安排．
（1）请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序．
（2）请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率．．

18. 如图，在菱形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，且 AE=DE，连接 CE．
（1）求证：CE=DE．
（2）当 BE=2，CE=1 时，求菱形的边长．

19. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个 30 元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为 40 元时，月均销量为 280 个，售价每增长 2 元，月均销量就相应减少 20 个．
（1）若使这种背包的月均销量不低于 130 个，每个背包售价应不高于多少元?
（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是 3120 元?
（3）这种书包的销售利润有可能达到 3700 元吗?若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．

20. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=3x+b 经过点 A−1,0．与 y 轴正半轴交于 B 点，与反比例函数 y=kxx>0 交于点 C，且 BC=2AB，BD∥x 轴交反比例函数 y=kxx>0 于点 D．连接 AD．
（1）b= ，k= ．
（2）求 △ABD 的面积．
（3）若 E 为射线 BC 上一点，设 E 的横坐标为 m，过点 E 作 EF∥BD．交反比例函数 y=kxx>0 的图象于点 F．且 EF=13BD，求 m 的值．

21. 问题背景：如图 1，在四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180∘，AB=AD，∠BAD=a，以点 A 为顶点作一个角．角的两边分别交 BC，CD 于点 E，F．且 ∠EAF=12a，连接 EF．试探究：线段 BE，DF，EF 之间的数量关系．
（1）特殊情景
在上述条件下，小明增加条件“当 ∠BAD=∠B=∠D=90∘ 时”如图（2），小明很快就判断出线段 BE，DF，EF 之间的数量关系为： ．
（2）类比猜想
类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段 BE，DF，EF 之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立请说明理由．
（3）拓展应用
如图（3）在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC=4，点 D，E 均在边 BC 上，且 ∠DAE=45∘．若 BD=2，请求出线段 DE 的长．

22. 按要求回答问题．
（1）证明推断：如图（1）．在正方形 ABCD 中，点 E，Q 分别在边 BC，AB 上，DQ⊥AE 于点 O，点 G，F 分别在边 CD，AB 上，GF⊥AE．
①填空：DQ AB（填“>”“<”或“=”）．
②推断：GFAE 的值为 ．
（2）类比探究：如图（2），在矩形 ABCD 中，BCAB=k（k 为常数）．将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 FEPG，EP 交 CD 于点 H，连接 AE 交 GF 于点 O．试探究 GF 与 AE 之间的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP，当 k=23 时，若 BEBF=34，GF=210，求 CP 的长．
答案
第一部分
1. A【解析】左视图有 2 列，每列小正方形数目分别为 2，1．
故选：A．
2. C【解析】A选项：四个角相等的四边形是矩形，故A正确；
B选项：对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D正确．
3. D【解析】设红球有 x 个，
根据题意得，3:3+x=1:5，
解得 x=12，
经检验：x=12 是原分式方程的解，
所以估计盒子中红球的个数大约有 12 个，
故选：D．
4. A【解析】方程 x2+2x−1 中，
Δ=b2−4ac=22−4×1×−1=8>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
5. C
【解析】面积比是相似比的平方，位似比是 1:2，那面积比 1:4，C选项正确．
6. C【解析】反比例函数 y=−12x，k=−12<0，
A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；
B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；
C、函数图象经过点 −6,2，故本选项说法不正确；
D、当 k<0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，故本选项说法正确；
故选：C．
7. D【解析】A选项：由 AB∥CD∥EF，则 ADDF=BCCE，所以A选项的结论正确；
B选项：由 AB∥CD∥EF，则 AGGD=BGCG，所以B选项的结论正确；
C选项：由 AB∥CD∥EF，则 GCGE=CDEF，所以C选项的结论正确；
D选项：由 AB∥CD∥EF，则 ABEF=AGGF，所以D选项的结论错误．
8. B【解析】设 AB 与 y 轴交于点 M，接连 OA，OB，
S△ABC=S△ABO=S△OAM−S△OBM=12×6−12×k=3−12k=2,
即 3−12k=2，
12k=1，
k=2．
9. C【解析】∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴BA=BC，AC⊥BD，OB=OD=12BD，OA=OC=12AC，
∵AC=6，BD=8，
∴OC=3，OB=4，
∴BC=5，
∵AE⊥BC，AC⊥BD，
∴S△ABC=12⋅BC⋅AE=12⋅AC⋅OB，
即 12×5×AE=12×6×4，
∴AE=245，
在 Rt△AEC 中，
∵AE=245，AC=6，
∴CE=185，
∵BC=5，
∴BE=75，
∴BECE=75185=718．
故选：C．
10. D
【解析】∵ 四边形 ABCD 为矩形，BE⊥AC，E 是 AD 边的中点，
∴∠EAF=∠ECF，∠FEA=∠FBC，AEBC=12，
∴△AFE∽△CFB，且相似比为 1:2，
∴AFCF=AECB=12，
即 CF=2AF．
故①正确；
∵△AFE∽△CFB，AC⊥BE，
∴△AFE∽△BFA，
∴AFBF=EFAF，
即 AF2=BF⋅EF，
∵EFBF=AFCF=12，
∴ 设 EF=1，则 BF=2，
即 AF2=2×1，
∴AF=2，
∴tan∠BAF=BFAF=22=2，
∵CF∥AB，
∴∠DCA=∠BAF，
∴tan∠DCA=tan∠BAF=DADC=2，
∴AD=2CD，故②正确；
过点 D 作 DH∥BE，交 BC 于点 H，交 AC 于点 M，
∵E 是 AD 中点，
∴H 也是 BC 的中点，
∵BE⊥AC，
∴DH⊥AC，
∵H 为 BC 中点，
∴M 为 CF 中点，即 MC=MF，
∵DH⊥AC，
∴DF=DC，故③正确；
在 △AEF 与 △CAB 中，
∵AE∥BC，
∴∠EAF=∠ACB，
∵∠AEF=∠CBA，
∴△AEF∽△CAB，故④正确；
由①可得，当 EF=1 时，AF=2，BF=2，
此时 AE=AE2+EF2=3，
AB=AF2+BF2=6，
∵S△ABF=12⋅AF⋅BF=12×2×2=2，AD=2AE=23，
S四边形CDEF=S△ADC−S△AEF=12×AD⋅AB−12⋅AF⋅EF=12×23×6−12×2×1=32−22=522,
∴S四边形CDEFS△ABF=5222=52，
∴S四边形CDEF=52S△ABF，
故⑤正确．
第二部分
11. 12
【解析】∵a6=b5=c4，
∴ 设 a=6x，b=5x，c=4x，
∵a+b−2c=6，
∴6x+5x−8x=6，解得：x=2，故 a=12．
12. 9.4
【解析】根据题意作图，如下：
AB 为大树，
BC，CE 为影长，
DC 为教学楼，
MN 为小树，
NP 为小树影长．
过点 E 作 EF∥BC，交 AB 于点 F，
由题可知，
在 Rt△MNP 中，
MN=1.5 m，NP=1.2 m，
∴tan∠P=MNNP=，
∴tan∠AEF=54，
由题可知：EF=BC=6.4 m，EC=BF=1.4 m，
∴ 在 Rt△AFE 中，
EF=6.4 m，
tan∠AEF=54，
∴AF=EF⋅tan∠AEF=8 m，
∴AB=AF+BF=9.4 m．
13. 1000
【解析】∵m，n 是方程 x2+x−1001=0 的两个实数根，
∴ 由根系关系韦达定理得：m+n=−1，
且 m2+m−1001=0，即 m2+m=1001，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=1001+−1=1000．
14. 103
【解析】方法一：
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴CFAF=DCAE，
∵E 是边 AB 的中点，
∴DCAE=2，
∴CF=2AF，
∴CF=23AC，
∵AB=4，AD=3，
∴ 对角线 AC=5，
∴CF=103．
方法二：
∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠FAE=∠FCD，
又 ∵∠AFE=∠CFD，
∴△AFE∽△CFD，
∴CFAF=CDAE=2，
∴CF=2AF，
∵AC=AB2+BC2=5，
∴CF=23AC=23×5=103．
15. y=20x
【解析】∵BD∥x轴，D0,4，
∴B，D 两点纵坐标相同，都为 4，
∴ 可设 Bx,4，
∵ 矩形 ABCD 的对角线的交点为 E，
∴E 为 BD 中点，∠DAB=90∘，
∴E12x,4，
∵∠DAB=90∘，
∴AD2+AB2=BD2，
∵A2,0，D0,4，Bx,4，
∴22+42+x−22+42=x2，
解得 x=10，
∴E5,4，
∵ 反比例函数 y=kxk>0,x>0 的图象经过点 E，
∴k=5×4=20，
∴ 反比例函数的解析式为 y=20x．
第三部分
16. （1）
2x−22=x+2x−2x−22x−2−x+2=0x−22x−4−x−2=0x−2x−6=0x1=2,x2=6.
（2）
∵Δ=−42−4×2×−1=16+8=24>0.∴x=−−4±242×2=4±264=1±62.∴x1=1+62,x2=1−62.
17. （1）
一共有 6 种等可能的情况，分别为：
①甲、乙、丙，
②甲、丙、乙，
③乙、甲、丙，
④乙、丙、甲，
⑤丙、甲、乙，
⑥丙、乙、甲．
（2） 丙将接力棒交给丁，
即丙为第三棒，
则 P=26=13．
18. （1） ∵ 四边形 ABCD 为菱形，BD 为对角线，E 为 BD 上一点，
∴EA=EC．
∵AE=DE．
∴CE=DE．
（2） 过点 C 作 CF⊥BD 于点 F．
∵CE=1，BE=2，
∴BD=BE+DE=BE+CE=3．
∵CF⊥BD，
∴DF=BF=BD2=32．
∴EF=DF−DE=12．
在 Rt△CFE 中，
∵CF⊥BD，CE=1，EF=12，
∴CF=32．
在 Rt△CFD 中，
∵CF⊥BD，CF=32，DF=32，
∴CD=3，
即菱形的边长为 3．
19. （1） 设每个背包的售价为 x 元，则月均销量为 280−x−402×20 个，
依题意，得：
280−x−402×20≥130,
解得：
x≤55,
答：每个背包售价应不高于 55 元．
（2） 依题意，得：
x−30280−x−402×20=3120,
整理，得：
x2−98x+2352=0,
解得：
x1=42,x2=56不合题意,舍去.
答：当该这种书包销售单价为 42 元时，销售利润是 3120 元．
（3） 依题意，得：
x−30280−x−402×20=3700,
整理，得：
x2−98x+2410=0.∵Δ=−982−4×1×2410=−36<0
，
∴ 该方程无解，
∴ 这种书包的销售利润不能达到 3700 元．
20. （1） 3；18
【解析】∵ 一次函数 y=3x+b 过点 A−1,0，
∴ 代入得：
0=3×−1+b0=−3+bb=3,
∴y=3x+3．
∵y=3x+3 与 y 轴交于点 B，
∴y=3×0+3=3，
即 B0,3．
∵A，B，C 三点共线，
BC=2AB，
∴xC=xB+2xB−xA=0+2×0−−1=0+2×1=2,
yC=yB+2yB−yA=3+2×3−0=3+2×3=9,
∴C2,9．
∵ 点 C 在 y=kx 上，
∴9=k2，
k=18，
∴y=18x．
（2） ∵BD∥x轴，
yB=3，
∴yD=3，
∵D 在 y=18x 上，
∴3=18xD，
xD=6，
∴D6,3，
∴S△ABD=12⋅xD−xB⋅yB−yA=12×6−0×3−0=12×6×3=9.
（3） 由题可得：Em,3m+3，
∵EF∥BD，
∴yF=3m+3，
∵F 在 y=18x 上，
∴xF=183m+3=6m+1，
即 F6m+1,3m+3，
∵BD=6−0=6，
EF=13BD，
EF=6m+1−m，
∴6m+1−m=2，
6−mm+1=2m+1，
m2+m+2m+2−6=0，
即 m2+3m−4=0，
m+4m−1=0，
解得 m1=−4，m2=1，
∵ 反比例函数 y=18xx>0，
∴m1=−4（舍去），
∴m=1．
21. （1） EF=DF+BE
【解析】延长 FD 到点 G，使得 DG=BE，连接 AG，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=AD，
∠B=∠ADF=∠ADG=90∘，
在 △ABE 与 △ADG 中，
∵AB=AD,∠ABE=∠ADG,BE=DG,
∴△ABE≌△ADGSAS，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90∘，
∴∠EAG=90∘，
∵∠EAF=12∠BAD=45∘，
∴∠FAG=45∘，
∴∠EAF=∠GAF，
在 △EAF 与 △GAF 中，
∵AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF,
∴△EAF≌△GAFSAS，
∴EF=GF，
即 EF=FD+DG，
∵DG=BE，
∴EF=DF+BE．
（2） 成立．
延长 FD 至点 G，使得 DG=BE，连接 AG，
∵∠B+∠D=180∘，
∴∠B=∠ADG，
在 △ABE 与 △ADG 中，
∵AB=AD,∠B=∠ADG,BE=DG,
∴△ABE≌△ADGSAS，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=a，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD=a，
即 ∠EAG=a，
∵∠EAF=12a，
∴∠GAF=12a，
∴∠EAF=∠GAF，
在 △EAF 与 △GAF 中，
∵AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF,
∴△EAF≌△GAFSAS，
∴EF=GF，
即 EF=FD+DG，
∵DG=BE，
∴EF=DF+BE．
（3） 把 △ABD 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 得 △ACDʹ，
∴△ABD≌△ACDʹ，
∴BD=CDʹ=3，∠BAD=∠CADʹ，∠B=∠ACDʹ=45∘，AD=ADʹ，
∵∠BAC=90∘，
∴∠DADʹ=90∘，
∵∠DAE=45∘，
∴∠DʹAE=45∘，
∴∠DAE=∠DʹAE，
在 △DAE 与 △DʹAE 中，
∵DA=DʹA,∠DAE=∠DʹAE,AE=AE,
∴△DAE≌△DʹAESAS，
∴DE=DʹE，
∵∠BCA+∠ACDʹ=90∘，
∴△DʹCE 为直角三角形，
在 Rt△ABC 中，
∵AB=AC=4，
∴BC=42，
∵BD=2，
∴CD=32，
∵DE=DʹE，
∴CE+DʹE=32，
∴DʹE=32−CE，
在 Rt△DʹCE 中，
∵DʹC2+CE2=DʹE2，
∴22+CE2=32−CE2，
2+CE2=18−62CE+CE2，
62CE=16，
CE=1662，
即 CE=423，
∴DE=32−423=523．
22. （1） ① =；② 1
【解析】① ∵DQ⊥AE，GF⊥AE，
∴DQ∥GF，
∵DG∥QF，
∴ 四边形 QFGD 为平行四边形，
∴DQ=GF，
∵DQ⊥AE，
∴∠EAD+∠ADQ=90∘，
∴AD∥BG，
∴∠EAD=∠BEA，
∵∠BAE+∠EAD=90∘，
∴∠ADQ=∠BAE，
在 △ABE 与 △DAQ 中，
∵∠BAE=∠ADQ,AB=DA,∠ABE=∠DAQ,
∴△ABE≌△DAQASA．
∴AE=DQ．
② ∵DQ=GF，
∴GF=AE，
∴GFAE=1．
（2） GF=kAE，由题目可知：AE⊥GF．
过点 G 作 GM⊥AB 于点 M，
由（1）可得 GM=BC，∠BAE=∠MGF，∠ABE=∠GMF=90∘，
∴△ABE∽△GMF，
∴GMAB=GFAE，
∵GMAB=BCAB=k，
∴GFAE=k，即 GF=kAE．
（3） 设 BE=3aa≠0，
∵BEBF=34，
∴BF=4a，
∴EF=5a，
∴FA=5a，
即 AB=9a，
∵k=23，
∴BCAB=BC9a=23，
∴BC=6a，
∴EC=3a，
∵tan∠AEB=ABBE=9a3a=3，
△ABE∽△GMF，
∴tan∠GFM=GMMF=BCMF=6aMF=3，
∴MF=2a，
∴GF=210a，
∴EN=245，NP=185，
∵CE=3，
∴NC=95，
∴PC=955，
∵GF=210，
∴a=1，
∴BE=EC=3，BF=4，EF=5，PE=AD=6，
过点 P 作 PN⊥BN 于点 N，
∵∠FBE=∠FEP=∠ENP=90∘，
∴∠BFE=∠NEP，
∴△FBE∽△ENP，
∴FBEN=BENP=FEEP，
即 4EN=3NP=56．