福建省长乐第一中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

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长乐一中2023-2024学年第一学期第一次月考九年级数学试卷  答案和解析【答案】1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.  
8.   9.   10.   11.  12. ， 13.  14.  15.  16.  17. 解：，
，
，即，
，
，； 18. 解：如图，即为所求．

；
如图，即为所求．

． 19. 解：设的半径为，
为的中点，
，
连接，
过，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
直径的长为． 20.    21. 解：令，则，
，
无论取任何实数，方程总有实数根，
无论取任何实数，该函数的图象与轴总有交点；
该函数的图象与轴只有一个交点，
．
解：，
．
该二次函数开口向上，对称轴为，
当，函数取得最小值；当时，函数取得最大值，
的取值范围为． 22.   二 23. 解：设，
当时，；时，，
，
解得：，
则与的函数关系式为；
每件型产品的销售单价不低于元且不高于元，
，
与的函数关系式为，自变量的取值范围是；
每件产品的利润为元，
万件的利润为，
，，
，
，
每件型产品的销售单价是元；
，
由于，
抛物线开口向下，对称轴为，
，
随的增大而增大，
当时，，
该产品的销售单价定为元时，才能使销售该产品所获得的利润最大，最大利润是万元． 24. 解：，，或，
所以，，
则方程是“倍根方程”；
，或，
解得，，
是“倍根方程”，
或，
当时，；
当时，，
综上所述，代数式的值为或；
根据题意，设方程的根的两根分别为、，
根据根与系数的关系得，，
解得，或，，
的值为或． 25. 解：由题意可得，
当时，，
当时，，解得，
，，
代入得，；
连接，，
令，则，
解得，，
，在第二象限，
，

，
当时，的面积最大值为，
过作轴于，交轴于，

线段绕点顺时针旋转，得到线段

在和中，

≌，
，
，
令，则解得：
，
当时最大为，点的坐标． 【解析】1. 解：、是一次函数，故此选项错误；
B、当时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：．
根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数进行分析．
此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为这个关键条件．2. 解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
一个图形绕着某固定点旋转度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．3. 解：将抛物线的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是：，即，
故选：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．4. 解：设黑球个数为：个，
摸到白色球的频率稳定在左右，
口袋中得到白色球的概率为，
，
解得：，
故黑球的个数为个．
故选：．
由摸到白球的频率稳定在附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑球个数即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．5. 解：、圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，该说法正确；
B、圆是中心对称图形，它的中心对称点为圆心，该说法正确；
C、在同圆或等圆中优弧大于劣弧，该说法不正确；
D、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，是垂径定理的内容，该说法正确；
故选：．
根据圆的基本概念、圆的基本性质分析即可．
本题考查了圆的基本概念、圆的基本性质，解题的关键是熟记这些性质和概念．6. 解：二次函数，
该函数的图象开口向下，故选项A的说法正确，不符合题意；
对称轴是直线，故选项B中的说法正确，不符合题意；
当时，随的增大而增小，故选项C中的说法错误，符合题意；
函数图象的顶点坐标为，则函数的最大值为，故选项D中的说法正确，不符合题意；
故选：．
根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
本题考查抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7. 解：关于的一元二次方程有两个实根，
，，
解得：且；
故选：．
根据方程有两个实根，，和一元二次方程的二次项系数不为，进行求解即可．
本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握判别式的符号与根的个数的关系是解题的关键．注意：一元二次方程的二次项系数不为．8. 【分析】先利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．【解答】，，，．故选：．9. 解：由表格数据可得，当时，，当时，，
于是可得，当时，相应的自变量的取值范围为，
故选：．
根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当时，相应的自变量的取值范围即可．
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由负变为正时，自变量的取值即可．10. 解：由抛物线的对称性可求得抛物线与轴令一个交点的坐标为，当时，，故正确；
抛物线开口向下，故，
，
．
，故正确；
设抛物线的解析式为，则，
令得：．
抛物线与轴的交点在和之间，
．
解得：，故正确；
抛物线与轴的交点在和之间，
，
，
，故错误．
故选：．
根据题意和图象可以分别计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．11. 解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转次所组成，故最小旋转角为．
故答案为：．
观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12. 解：关于直线对称的点是，
、是抛物线与轴的交点，
，是一元二次方程的根，
故答案为：，．
求出关于直线对称的点是，两个点的横坐标即为所求．
本题考查了二次函数与轴的交点横坐标和一元二次方程的根的关系，关键是利用对称性确定点的坐标．13. 解：二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
而到直线的距离最远，到直线的距离最近，
．
故答案为：．
先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14. 解：和是抛物线上两点，
根据抛物线的对称性可知，对称轴，
故答案为：．
由两点坐标可知关于对称轴对称，那么两点中点就在对称轴上，从而可求得对称轴．
本题考查图象上点的坐标特征，熟记二次函数的性质是解题的关键．15. 【分析】
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，利用同弧所对的圆周角相等可得，利用直角三角形的两个锐角互余即可解答．
【解答】
解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
故答案为：．16. 解：线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
是等边三角形，，
，，，
，
，
≌，
，
的周长为，
当最小时，的周长最小，
当时，最小，
过作于，

，
，
的最小值为，
的周长最小值是．
故答案为：．
根据旋转可得，，进而得出为等边三角形，则，根据可证≌，可得，而的周长为，当时，最小，的周长最小，然后求出的最小值即可解答．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，将求的周长最小值转化求的最小值是解题的关键．17. 利用配方法求解即可；
利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18. 根据中心对称的性质找到，，的对称点，，，顺次连接得到，根据坐标系写出点的坐标即可求解；
根据中心对称的性质找到，，的旋转后的点，，，顺次连接得到，根据坐标系写出点的坐标即可求解．
本题考查了旋转作图，画中心对称图形，写出点的坐标，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质是解题的关键．19. 设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，即可求出答案．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能得出关于的方程是解此题的关键．20. 解：设，
将代入得，解得，
抛物线解析式为，
即；
把代入得，，
；
图象经过点，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的顶点坐标为，
如图，
；

二次函数的图象经过点和两点，抛物线的对称轴为直线，
，
，
把代入得，，
，
故答案为：，．
设交点式，然后把代入求出得到抛物线解析式；
把代入解析式即可求得；
利用描点发法画函数图象；
根据二次函数的对称性求得，把代入解析式即可求得．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟知待定系数法是解题的关键．21. 令，则，说明此方程的即可；
利用该函数的图象与轴只有一个交点，得到，解关于的方程求得值，再利用二次函数的性质解答即可．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，确定二次函数解析式是解题的关键．22. 解根据题意得：小明答对第一道题的概率是：；
故答案为：；
设第一题的四个选项是，，，，不妨设正确答案是C第二题三个选项是，，，正确答案是“求助”用在第二道题．去掉一个错误答案．
列表如图． 小明通关概率为；
若“求助”用在第一道题．不妨设去掉一个错误答案A，
列表如图， 小明通关概率为；
，
建议小明“求助”用在第二道题．
故答案为：二．
直接利用概率公式求解；
列表法展示所有种等可能的结果数，再找出两个都正确的结果数，然后根据概率公式求解；
根据概率公式分别求出第一次和第二次使用求助的概率，然后进行比较，即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．23. 利用待定系数法可以求解析式，利用题目要求可以直接写出的范围；
令总利润为万元建立方程求解即可；
建立关于的函数解析式，利用二次函数的图象与性质即可求出当时的最大值以及的值．
本题考查了一次函数、一元二次方程以及二次函数的应用产品销售问题，解题关键是读懂题意，能正确建立方程求解，能正确列出表达式，利用二次函数的图象与性质求解．24. 利用因式分解法解方程得到，，然后根据新定义进行判断；
利用因式分解法解方程得到，，再根据新定义或，然后把或代入所求的代数式中进行分式的运算即可；
设方程的根的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，然后求出，再计算对应的的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了阅读理解能力．25. 根据题意用一次函数解析式求出与轴轴交点坐标，代入即可得到答案；
连接，利用对角线将四边形分成不同的两个三角形，利用底边在轴线上的三角形面积和差即可得到所求三角形面积表达式，配方成顶点式即可得到最值；
过作轴于，交轴于，易证≌，从而可以根据线段关系得到、点坐标，得到的表达式再根据二次函数最值即可求解．
本题考查了一次函数与二次函数共存问题及二次函数实际应用题，通过数形结合最终将最值问题转换成二次函数最值问题是解题的关键．