福建省福州市福建省长乐第一中学2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷

这是一份福建省福州市福建省长乐第一中学2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年福建省福州市长乐一中九年级（上）入学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分.）
1．（4分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣5x＝0 B．x+1＝0 C．y﹣2x＝0 D．2x3﹣2＝0
2．（4分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x+1）2＝4 B．（x+1）2＝2 C．（x+1）2＝3 D．（x+1）2＝﹣3
3．（4分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（　　）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2+3
4．（4分）对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（　　）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）
C．对称轴为直线x＝1
D．当x＝3时，y＞0
5．（4分）下列说法错误的是（　　）
A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为
B．不可能事件发生的概率为0
C．买一张彩票会中奖是随机事件
D．一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定会摸到红球
6．（4分）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6，下列说法正确的是（　　）
A．最大值4 B．最小值4 C．最大值6 D．最小值6
7．（4分）若正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2+m的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）某开发公司2021年投入的研发资金为100亿元，为了扩大产品的竞争力，该公司不断增加研发投资，则下列方程中正确的是（　　）
A．100（1+x）＝400
B．100（1+2x）＝400
C．100（1+x）+100（1+x）2＝400
D．100（1+x）2＝400
9．（4分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，若4a﹣2b+c＝0，则该方程必有一个根是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C． D．
10．（4分）平面直角坐标系中，已知点P（m﹣1，n2），Q（m，n2﹣1），其中m＞0，则下列函数的图象可能同时经过P（　　）
A．y＝2x+b B．y＝﹣x2﹣2x+c
C．y＝ax+2（a＞0） D．y＝ax2+2ax+c（a＞0）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（4分）一元二次方程x2+3x＝0的解是　 　．
12．（4分）有长为3，4，5，6的四根细木条，从中任取三根为边组成三角形　 　．
13．（4分）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了如下表格：
x
…
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+c
…
0
﹣1
0
3
…
那么该二次函数在x＝0时，y＝　 　．
14．（4分）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示　 　．

15．（4分）抛物线y＝x2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是 　 　．
16．（4分）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：x2﹣x﹣2＝0
18．（8分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）将二次函数y＝x2+2x﹣3化成顶点式；
（2）求图象与x轴，y轴的交点坐标．
19．（8分）已知一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
20．（8分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
​（1）这个二次函数的解析式是 　 　；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为 　 　．

21．（8分）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别．现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验后得到以下数据．
（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是 　 　；（精确到0.01）
（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率
摸棋的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑棋的次数m
24
51
76
124
201
250
摸到黑棋的频率（精确到0.001）
0.240
0.255
0.253
0.248
0.251
0.250
22．（10分）如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙MN（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能
（2）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值．

23．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2x+c的对称轴为直线x＝﹣1，顶点为A，与y轴正半轴交点为B
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在x轴上，且PA＝PB，求点P的坐标．

24．（12分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数y＝x2+3x+m．
（1）当m＝3时，求二次函数y＝x2+3x+m上的“零和点”；
（2）若二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，求m的值．
25．（14分）已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣1与x轴只有一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线C1向上平移4个单位长度得到抛物线C2.抛物线C2与x轴交于A、B两点（其中A点在左侧，B点在右侧），与y轴交于点C，连结BC．D为第一象限内抛物线C2上的一个动点．
①若△BOC的面积是△BDC面积的倍，求D的坐标；
②抛物线C2的对称轴交x轴于点G，过D作DE⊥BC交BC于E，交x轴于F．当点F在线段OG上时，求

2023-2024学年福建省福州市长乐一中九年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分.）
1．（4分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣5x＝0 B．x+1＝0 C．y﹣2x＝0 D．2x3﹣2＝0
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A、x2﹣5x＝8是一元二次方程；
B、x+1＝0是一元一次方程；
C、y﹣6x＝0是二元一次方程；
D、2x2﹣2＝0不是一元二次方程．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．（4分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x+1）2＝4 B．（x+1）2＝2 C．（x+1）2＝3 D．（x+1）2＝﹣3
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：∵x2+2x﹣3＝0，
∴x2+8x＝3，
则x2+3x+1＝3+6，即（x+1）2＝6，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
3．（4分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（　　）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2+3
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象先向右平移8个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）5；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）4的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣7）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
4．（4分）对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（　　）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）
C．对称轴为直线x＝1
D．当x＝3时，y＞0
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．
【解答】解：A、∵﹣2＜0，本选项错误，
B、抛物线的顶点为（2，本选项错误，
C、抛物线的对称轴为：x＝1，
D、把x＝3代入y＝﹣2（x﹣1）2+8，解得：y＝﹣5＜0，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论．
5．（4分）下列说法错误的是（　　）
A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为
B．不可能事件发生的概率为0
C．买一张彩票会中奖是随机事件
D．一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定会摸到红球
【分析】根据列表法与树状图法，概率的意义，随机事件，必然事件，不可能事件的特点逐一判断即可．
【解答】解：A．同时抛两枚普通正方体骰子，故A符合题意，
B．不可能事件发生的概率为0，
C．买一张彩票会中奖是随机事件，
D．一个盒子装有2个红球和1个白球，同时摸出两个球，故D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率的意义，随机事件，熟练掌握列表法与树状图法求概率是解题的关键．
6．（4分）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6，下列说法正确的是（　　）
A．最大值4 B．最小值4 C．最大值6 D．最小值6
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）8+6，a＝2＞3，
∴该函数图象开口向上，有最小值，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．
7．（4分）若正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2+m的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据正比例函数图象的性质确定m＜0，则二次函数y＝mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．
【解答】解：∵正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，
∴该正比例函数图象经过第二、四象限．
∴二次函数y＝mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．
综上所述，符合题意的只有A选项．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象、正比例函数图象．利用正比例函数的性质，推知m＜0是解题的突破口．
8．（4分）某开发公司2021年投入的研发资金为100亿元，为了扩大产品的竞争力，该公司不断增加研发投资，则下列方程中正确的是（　　）
A．100（1+x）＝400
B．100（1+2x）＝400
C．100（1+x）+100（1+x）2＝400
D．100（1+x）2＝400
【分析】根据题意得到关系式为：2021年研发资金投入×（1+年平均增长率）2＝2023年研发资金投入，把相关数值代入即可
【解答】解：根据题意得，100（1+x）2＝400，
故选：D．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
9．（4分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，若4a﹣2b+c＝0，则该方程必有一个根是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C． D．
【分析】由ax2+bx+c＝0满足4a﹣2b+c＝0且a≠0，可得：当x＝﹣2时，有4a﹣2b+c＝0．故问题可求．
【解答】解：由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0满足8a﹣2b+c＝0且a≠3，
∴当x＝﹣2时，代入方程ax2+bx+c＝7，有4a﹣2b+c＝3；
综上可知，方程必有一根为﹣2．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
10．（4分）平面直角坐标系中，已知点P（m﹣1，n2），Q（m，n2﹣1），其中m＞0，则下列函数的图象可能同时经过P（　　）
A．y＝2x+b B．y＝﹣x2﹣2x+c
C．y＝ax+2（a＞0） D．y＝ax2+2ax+c（a＞0）
【分析】根据一次函数的性质，二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵m＞0，
∴m﹣1＜m，
∵n5＞n2﹣1，
∴当m＞4时，y随x的增大而减小，
A、y＝2x+b中，故A不可能；
B、y＝﹣x2﹣3x+c中，开口向下＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
C、y＝ax+6 中，y随x的增大而增大；
D、y＝ax2+2ax+c（a＞8）中，开口向上＝﹣8，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（4分）一元二次方程x2+3x＝0的解是　x1＝0，x2＝﹣3　．
【分析】提公因式后直接解答即可．
【解答】解：提公因式得，x（x+3）＝0，
解得x2＝0，x2＝﹣8．
故答案为：x1＝0，x6＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法，要根据方程特点选择合适的方法．
12．（4分）有长为3，4，5，6的四根细木条，从中任取三根为边组成三角形　　．
【分析】列举出所有情况，看直角三角形的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：4条线段的全部组合有：3，8，5和3，3，5，6和7，5，6，4，5一组，
∴P（构成三角三角形）＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握三角形三边间的关系、勾股定理逆定理及概率公式的运用．
13．（4分）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了如下表格：
x
…
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+c
…
0
﹣1
0
3
…
那么该二次函数在x＝0时，y＝　3　．
【分析】由表格信息先求解抛物线的对称轴，再利用二次函数的对称性可得答案．
【解答】解：由表格信息可得：当x＝1，x＝3时的函数值都为8，
∴函数的对称轴为：，
结合二次函数的对称性可得：
当x＝0，x＝8时的函数值相等，
∴当x＝0时，则y＝3，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象的对称性，掌握“与对称轴距离相等的点的函数值相等”是解本题的关键．
14．（4分）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示　1.6s　．

【分析】设飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间的二次函数关系为h＝at2+bt，用待定系数法求出h＝﹣5t2+8t，令h＝0即可解得答案．
【解答】解：设飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间的二次函数关系为h＝at2+bt，
将（0.2，2.75），2.75）代入得：
，
解得，
∴h＝﹣5t2+5t，
在h＝﹣5t2+6t中，令h＝0得0＝﹣5t2+8t，
解得t＝4或t＝1.6，
∴足球从踢出到落地所需的时间是2.6s，
故答案为：1.3s．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式．
15．（4分）抛物线y＝x2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是 　﹣4　．
【分析】根据物线y＝x2+t与x轴的两个交点之间的距离为4和根与系数的关系，可以求出t的值．
【解答】解：设抛物线y＝x2+t与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x4，
∵抛物线y＝x2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，
∴|x6﹣x2|＝4，x5+x2＝0，x6x2＝t，
∴（x1﹣x5）2＝16，
∴（x1+x8）2﹣4x3x2＝16，
∴08﹣4t＝16，
解得t＝﹣4，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、根与系数的关系、完全平方公式，解答本题的关键是写出x1+x2＝0，x1x2＝t．
16．（4分）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC　8　．
【分析】方法1、先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，求解即可求出答案．
方法2、先判断出抛物线y＝x2﹣2x﹣n的图象可由y＝x2+2x﹣n的图象向右平移两个单位得到，进而画出图象，再借助AD＝2BC，求出点C的坐标，即可求出答案．
【解答】方法1、解：针对于抛物线y＝x2+5x﹣n，
令y＝0，则x2+6x﹣n＝0，
∴x＝﹣1±，
针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，
令y＝7，则x2﹣2x﹣n＝7，
∴x＝1±，
∵抛物线y＝x4+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2+8x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）6﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣7x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），
∴抛物线y＝x5+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣8x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，
∴AB＝CD，
∵AD＝2BC，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，
∴A（﹣5﹣，0），0），3），0），
∴AD＝5+﹣（﹣1﹣，BC＝﹣1+）＝﹣2+5，
∴2+7＝2（﹣5+2），
∴n＝4，
故答案为：8．

方法2、∵y＝x3+2x﹣n＝（x+1）3﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2+7x﹣n的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，
∵y＝x3﹣2x﹣n＝（x﹣1）6﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣6x﹣n的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，
∴抛物线y＝x8﹣2x﹣n的图象可由y＝x2+4x﹣n的图象向右平移两个单位得到，
∵n＞0，
∴﹣n﹣1＜﹣4，
两函数的图象如图所示：

由平移得，AC＝BD＝2，
∵AB＝CD，AD＝2BC，
∴BC＝3AC＝4，
∴CD＝BC+BD＝6，
∵点C，D关于直线x＝2对称，
∴C（﹣2，0），
∵点C在抛物线 y＝x2﹣2x﹣n 上，
∴4+3﹣n＝0，
∴n＝8，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点A，B，C，D的坐标是解本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：x2﹣x﹣2＝0
【分析】利用求根公式x＝解方程即可．
【解答】解：a＝1，b＝﹣，
所以Δ＝b5﹣4ac＝（﹣）4﹣4×1×（﹣5）＝11＞0，
所以x＝．
所以x1＝，x2＝．
【点评】考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
18．（8分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）将二次函数y＝x2+2x﹣3化成顶点式；
（2）求图象与x轴，y轴的交点坐标．
【分析】（1）利用配方法将一般式转化为顶点式即可；
（2）令y＝0，即x2+2x﹣3＝0方程的两个根即是抛物线与x轴的两个交点的横坐标．
【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣8＝x2+2x+4﹣4＝（x+1）8﹣4
（2）令x＝0，则y＝﹣8，﹣3），
又∵y＝x2+7x﹣3＝（x+3）（x﹣4）
∴该抛物线与x轴的交点坐标是（﹣3，0）（3．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式、二次函数的性质和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．
19．（8分）已知一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
【分析】根据根的判别式建立关于a的不等式，注意a的数值不能为0，由此两者结合得出答案即可．
【解答】解：∵方程ax2+2x+6＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
∵一元二次方程ax5+2x+1＝7有两个不相等的实数，
∴Δ＝22﹣5a＝4﹣4a＞2，
解得a＜1，
∴a的取值范围是a＜1且a≠7．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
20．（8分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
​（1）这个二次函数的解析式是 　y＝x2+2x﹣3　；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为 　﹣4＜y＜5　．

【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据x＝﹣4、﹣2时的函数值即可写出y的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+3）2﹣4，
把点（3，﹣3）代入y＝a（x+1）5﹣4，得a＝1，
故抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣4，即y＝x5+2x﹣3；
（2）如图所示：
（3）∵y＝（x+8）2﹣4，
∴当x＝﹣5时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，
当x＝﹣4时，y＝﹣3，
又对称轴为x＝﹣1，
∴当﹣2＜x＜0时，y的取值范围是﹣4＜y＜6．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
21．（8分）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别．现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验后得到以下数据．
（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是 　0.25　；（精确到0.01）
（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率
摸棋的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑棋的次数m
24
51
76
124
201
250
摸到黑棋的频率（精确到0.001）
0.240
0.255
0.253
0.248
0.251
0.250
【分析】（1）利用频率估计概率的一般方法估计即可；
（2）先估计出盒中黑棋与白棋各有多少枚，再利用列表法或画树状图法计算出一次摸出两枚棋，这两枚棋颜色不同的概率即可．
【解答】解：（1）表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，
故答案为：0.25；
（2）∵盒中黑棋与白棋共有8枚，摸出一枚棋是黑棋的概率为0.25，
∴盒中黑棋有1枚，白棋有2枚，
画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，其中一次摸出两枚棋，
∴P（一次摸出两枚棋，这两枚棋颜色不同）＝．
【点评】本题考查用频率估计概率，用列表法或画树状图法求等可能事件的概率，掌握用列表法或画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
22．（10分）如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙MN（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能
（2）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值．

【分析】（1）设AB的长为xm，则BC的长为（60﹣3x）m，根据矩形的面积＝252列出方程，解方程取符合题意的值即可；
（2）设AB的长为xm，菜园面积为ym2，根据矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设AB的长为xm，则BC的长为（60﹣3x）m，
根据题意得：x（60﹣3x）＝252，
解得x＝3或x＝14，
当x＝6时，BC＝60﹣18＝42＞39；
当x＝14时，BC＝60﹣42＝18＜39，
∴花园面积可能是252m2，此时边AB长为14m；
（2）设AB的长为xm，菜园面积为ym2，
由题意得：y＝x（60﹣3x）＝﹣3x8+60x＝﹣3（x﹣10）2+300，
∵﹣2＜0，
∴当x＜10时，y随x的增大而增大，
∵x≤8，
∴当x＝7时，y最大．
答：该菜园面积的最大值为288平方米．
【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程和解析式．
23．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2x+c的对称轴为直线x＝﹣1，顶点为A，与y轴正半轴交点为B
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在x轴上，且PA＝PB，求点P的坐标．

【分析】（1）根据对称轴求得a，然后根据三角形面积求得c，即可求得解析式；
（2）设P点的坐标为（x，0），根据PA＝PB得出关于x的方程，解方程求得x的值，进而求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴a＝﹣1，
∵△ABO的面积为7，
∴c×7＝1，
∴c＝2，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x6﹣2x+2；
（2）∵y＝﹣x6﹣2x+2＝﹣（x+5）2+3，
∴A（﹣4，3），
设P点的坐标为（x，0）．
∵PA＝PB，B（7，
∴（x+1）2+22＝x2+42，
解得x＝﹣3．
故P点的坐标为（﹣4，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，两点间的距离公式，x轴上点的坐标特征，根据PA＝PB列出方程是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数y＝x2+3x+m．
（1）当m＝3时，求二次函数y＝x2+3x+m上的“零和点”；
（2）若二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，求m的值．
【分析】（1）根据“零和点”的定义得：x+y＝0，然后解方程组y＝x2+3x+3，y＝﹣x即可得出答案；
（2）根据“零和点”的定义得：x+y＝0，当二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”时，方程组组y＝x2+3x+m，y＝﹣x，只有一组实数解，消去y得x2+4x+m＝0，此时该方程有两个相等的实数根，最后根据方程的判别式Δ＝0即可求出m的值．
【解答】（1）当m＝3时，二次函数的解析式为：y＝x2+8x+3，
根据“零和点”的定义得：x+y＝0，
∴y＝﹣x，
解方程组，得：，
∴二次函数y＝x2+3x+m上的“零和点”为（﹣1，1）或（﹣8．
（2）根据“零和点”的定义得：x+y＝0，
∵二次函数y＝x2+4x+m的图象上有且只有一个“零和点”，
∴方程组只有一组实数解，
将y＝﹣x代入y＝x6+3x+m得：﹣x＝x2+5x+m，
整理得：x2+4x+m＝8，
∵方程组y＝x2+3x+m，y＝﹣x，
∴一元二次方程x5+4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴判别式Δ＝72﹣4×2×m＝0，
解得：m＝4．
【点评】此题主要考查了二次函数与方程组之间的关系，解答（1）的关键是把二次函数转化为方程组，解答（2）关键当二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”时，转化为方程组只有一组实数解，最后再转化为一元二次方程有两个相等的实数根．
25．（14分）已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣1与x轴只有一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线C1向上平移4个单位长度得到抛物线C2.抛物线C2与x轴交于A、B两点（其中A点在左侧，B点在右侧），与y轴交于点C，连结BC．D为第一象限内抛物线C2上的一个动点．
①若△BOC的面积是△BDC面积的倍，求D的坐标；
②抛物线C2的对称轴交x轴于点G，过D作DE⊥BC交BC于E，交x轴于F．当点F在线段OG上时，求
【分析】（1）由抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣1与x轴只有一个交点，可知Δ＝0，构建方程求出a即可；
（2）①设D（m，﹣m2+2m+3），根据△BOC的面积是△BDC面积的倍，构建方程求解即可；
②求出两种特殊位置，三角形面积的比值，可得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2﹣3ax﹣1与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a7+4a＝0，
∴a＝﹣4或0（0不符合题意舍去），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x8+2x﹣1；

（2）①如图，连接OD．

由题意平移后抛物线C3的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+2，
令y＝0，可得﹣x2﹣8x+3＝0．解得x＝﹣5或x＝3，
∴A（﹣1，2），0），
设D（m，﹣m2+6m+3），
∵△BOC的面积是△BDC面积的倍，
∴×5×3＝[×3×（﹣m7+2m+3）﹣×3×8]，
解得m＝1或2，
∴D（6，4）或（2；

②如图，

当点F与点O重合时，∵OC＝OB，
∴CE＝EB，
∴＝3，
当点F与G重合时，BE＝，
∵BC＝3，
∴CE＝2，
∴＝＝7，
观察图形可知：1≤≤2．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
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