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2022-2023学年湖南省衡阳市衡南一中九年级（上）联赛检测数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省衡阳市衡南一中九年级（上）联赛检测数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省衡阳市衡南一中九年级第一学期联赛检测数学试卷
一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分）
1．已知xy＜0，化简二次根式的值是（ ）
A． B． C． D．
2．根据下列表格的对应值：判断方程x2+x﹣1＝0一个解的取值范围是（ ）
x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
x2+x﹣1
﹣0.061
﹣0.04
﹣0.018
0.0044
0.027
A．0.59＜x＜0.60 B．0.60＜x＜0.61
C．0.61＜x＜0.62 D．0.62＜x＜0.63
3．4件外观相同的产品中只有1件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一定能够得到a∥b的条件有几个？（ ）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）△ABC与△AFG相似．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．三角函数sin40°、cos16°、tan50°之间的大小关系是（ ）
A．tan50°＞cosl6°＞sin40° B．cosl6°＞sin40°＞tan50°
C．cosl6°＞tan50°＞sin40° D．tan50°＞sin40°＞cosl6
6．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝7，则（x1﹣x2）2的值是（ ）
A．1 B．12 C．13 D．25
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD位于第一象限，且对角线AC、BD所在的直线与坐标轴垂直，点A的坐标为（1，4），点D的坐标为（2，1）．若双曲线与菱形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A．2＜k≤12 B． C．2≤k≤14 D．
8．满足x2+y2＝1的所有实数对（x，y），使取最大值，此最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共2个小题，每小题5分，漏选记2分，错选记0分，共10分）
（多选）9．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H，下列结论正确的是（ ）
A．BE•BC＝AE•CE B．△BEC∽△BCH
C．BC2＝BE•DG D．若BE2＝AB•AE，则AG＝DF
（多选）10．如图，点P在函数y＝（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上，PC⊥x轴交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝于点B，当点P在y＝（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上运动时（ ）
A．△ODB与△OCA的面积相等
B．四边形PAOB的面积不会发生变化
C．PA与PB始终相等
D．
三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
11．若m＜1，则可化简为 ．
12．若x为有理数，则|x﹣4|+|x+5|的最小值为 ．
13．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是 ．
14．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm）且AF∥BE，∠BAF＝60°，BD＝10，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动90°，即∠BAB'＝90°分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD'已知直线BE⊥B'E'，CD'＝CB，那么AB的长为 cm，CD'的长为 cm．
四、解答题（共60分）
15．计算或解方程：
（1）计算：+tan60°﹣sin45°﹣|1﹣|；
（2）解方程：7x﹣x2﹣6＝0；
（3）解方程：3（x﹣1）＝x2﹣1．
16．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”）；
（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
17．y＝x+是一种类似于反比例函数的对勾函数，形如y＝ax+．其函数图象形状酷似双勾，故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”．y＝x+函数图象如图所示．根据y＝x+图象对函数y＝|x|+的图象和性质进行了探究．
（1）绘制函数图象：y＝|x|+；
列表：如表是x与y的几组对应值；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
1
2
3
…
y
…
2
2
…
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你在平面直角坐标系中将y＝|x|+图象补充完整；
（2）观察发现：
①写出函数y＝|x|+的一条性质 ；
②函数图象与直线y＝2有 个交点，所以对应的方程|x|+﹣2＝0有 个实数根；
（3）分析思考：
③方程的|x﹣1|+|﹣2＝0的解为 ；
④不等式|x|+＜0，x的取值范围为 ；
（4）延伸探究：
⑤当x＞0时，直线y＝kx+3与y＝|x|+只有一个交点，求k的值？
18．已知一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有两个相等的实数根．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）求b﹣a的最大值，并求此时a，b的值；
（3）在（2）的条件下，直线y＝2x﹣a与x轴交于点A，与双曲线y＝相交于B，C两点（点B在点C的右侧），过点B作直线BD⊥x轴，垂足为点D，过点C的直线交x轴于点E，交直线BD于点F，若△EDF∽△BDA，求点E的坐标．
19．（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，判断线段DG与BE的数量关系并说明理由；
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝6，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE又有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，求2BG+BE的最小值．
参考答案
一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分）
1．已知xy＜0，化简二次根式的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先依据二次根式的被开方数为非负数可得到﹣xy2≥0，由此可得到x的取值范围，然后依据xy＜0可得到y的取值范围；接下来，依据二次根式的性质进行化简即可．
解：由题意可知﹣xy2≥0．
因为y2＞0，
所以﹣x≥0，
所以x≤0，
又因为xy＜0，
所以x＜0，y＞0，
所以＝＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2．根据下列表格的对应值：判断方程x2+x﹣1＝0一个解的取值范围是（ ）
x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
x2+x﹣1
﹣0.061
﹣0.04
﹣0.018
0.0044
0.027
A．0.59＜x＜0.60 B．0.60＜x＜0.61
C．0.61＜x＜0.62 D．0.62＜x＜0.63
【分析】根据表格中的数据可得：在0.61和0.62之间有一个值能使x2+x﹣1的值为0，于是可判断方程x2+x﹣1＝0一个解x的取值范围为0.61＜x＜0.62．
解：由题意得：
当x＝0.61时，x2+x﹣1＝﹣0.018，
当x＝0.62时，x2+x﹣1＝0.0044，
∴方程x2+x﹣1＝0一个解x的取值范围是0.61＜x＜0.62，
故选：C．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，观察表格中的数据找到x2+x﹣1最接近0时x的取值范围是解题的关键．
3．4件外观相同的产品中只有1件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率．
解：设合格产品记为A，不合格产品记为B，
树状图如下所示：
由上可得，一共有12种可能性，其中抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的可能性有6种可能性，
∴抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率为＝，
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的树状图，求出相应的概率．
4．如图，一定能够得到a∥b的条件有几个？（ ）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）△ABC与△AFG相似．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据相似三角形的性质与平行线的判定定理进行判断便可；
解：（1）∵，
∴DE∥FG，但a∥b不不一定成立，
故（1）不符合题意；
（2）若＝，则a∥b，若若≠，则a∥b不成立，
故（2）不符合题意；
（3）由不能得a∥b，
故（3）不符合题意；
（4）∵△ABC与△AFG相似，
∴∠ABC＝∠AFG，
∴a∥b，
故（4）符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线的判定，关键是正确应用这些定理综合解题．
5．三角函数sin40°、cos16°、tan50°之间的大小关系是（ ）
A．tan50°＞cosl6°＞sin40° B．cosl6°＞sin40°＞tan50°
C．cosl6°＞tan50°＞sin40° D．tan50°＞sin40°＞cosl6
【分析】根据锐角三角函数的增减性可得答案．
解：∵cos16°＝sin74°，且正弦随角度的增大而增大，
∴sin40°＜cos16°，
又∵tan50°＞tan45°＝1，
∴tan50°＞cos16°＞sin40°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，明确正弦和正切随着角度的增大而增大是解题的关键．
6．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝7，则（x1﹣x2）2的值是（ ）
A．1 B．12 C．13 D．25
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2＝﹣，x1x2＝，根据x12+x22＝7，将（x1+x2）2﹣2x1x2＝7，可求出m的值，再结合一元二次方程根的判别式，得出m的值，再将（x1﹣x2）2＝x12+x22﹣2x1x2求出即可．
解：∵x12+x22＝7，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝7，
∴m2﹣2（2m﹣1）＝7，
∴整理得：m2﹣4m﹣5＝0，
解得：m＝﹣1或m＝5，
∵Δ＝m2﹣4（2m﹣1）≥0，
当m＝﹣1时，Δ＝1﹣4×（﹣3）＝13＞0，
当m＝5时，Δ＝25﹣4×9＝﹣11＜0，
∴m＝﹣1，
∴一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0为：x2+x﹣3＝0，
∴（x1﹣x2）2＝x12+x22﹣2x1x2＝7﹣2×（﹣3）＝13．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及运用配方法将公式正确的变形，这是解决问题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD位于第一象限，且对角线AC、BD所在的直线与坐标轴垂直，点A的坐标为（1，4），点D的坐标为（2，1）．若双曲线与菱形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A．2＜k≤12 B． C．2≤k≤14 D．
【分析】根据菱形的性质可得对角线交点坐标，再根据中点坐标公式求出点C和点B坐标，进一步待定系数法求出直线CB的解析式，联立直线BC解析式与反比例函数解析式，求出只有一个交点时k的值，再求出反比例函数过点D时k的值，即可确定k的取值范围．
解：∵菱形ABCD位于第一象限，且对角线AC、BD所在的直线与坐标轴垂直，
又∵点A的坐标为（1，4），点D的坐标为（2，1），
∴对角线交点的坐标为（2，4），
∴C点坐标为（3，4），B点坐标为（2，7），
设直线CB的解析式：y＝kx+b（k≠0），
将点C和点B坐标代入，
得，
解得，
∴直线BC的解析式：y＝﹣3x+13，
联立直线BC与反比例函数解析式，
得﹣3x+13＝，
化简得，﹣3x+13x﹣k＝0，
当Δ＝169﹣12k＝0时，k＝；
当反比例函数图象经过点D时，k＝2×1＝2，
∴双曲线与菱形ABCD有公共点，则k的取值范围2≤k≤，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及菱形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
8．满足x2+y2＝1的所有实数对（x，y），使取最大值，此最大值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】令，则y＝t（x+2），代入x2+y2＝1进行变形整理得到（t2+1）x2+4t2x+4t2﹣1＝0，再求出Δ＝（4t2）2﹣4（t2+1）（4t2﹣1）≥0，得出3t2﹣1≤0，求出t的解集即可解答．
解：先令，则y＝t（x+2），
代入x2+y2＝1可变形为：x2+t2（x+2）2＝1，
整理得（t2+1）x2+4t2x+4t2﹣1＝0，
则Δ＝（4t2）2﹣4（t2+1）（4t2﹣1）≥0，
即3t2﹣1≤0，
由知：（i），或（ii），
由（i）解得：，由（ii）解得：无解，
∴3t2﹣1≤0的解集为：
故取最大值，此最大值为；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程和根的判别式，掌握当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程由两个相等的实数根；Δ＜0，方程没有实数根；同时运用了Δ解决函数图象交点的个数问题和一元二次方程的解法是本题的关键．
二、多选题（共2个小题，每小题5分，漏选记2分，错选记0分，共10分）
（多选）9．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H，下列结论正确的是（ ）
A．BE•BC＝AE•CE B．△BEC∽△BCH
C．BC2＝BE•DG D．若BE2＝AB•AE，则AG＝DF
【分析】由菱形的性质得出CD＝CB，∠D＝∠B，证明△CDF≌△CBE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DCF＝∠BCE，得出∠H＝∠BCE，则可得出结论△BEC∽△BCH．证明△DCG≌△BCH（ASA），得出DG＝BH，则可得出BC2＝BE•DG；利用平行线分线段成比例定理结合已知条件即可得出AG＝DF．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，
∵DF＝BE，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠DCF＝∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H＝∠DCF，
∴∠H＝∠BCE，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH，
∴，
∴BC2＝BE•BH，
∵∠DCF＝∠BCE，
∴∠DCG＝∠BCH，
又∵∠D＝∠B，CD＝CB，
∴△DCG≌△BCH（ASA），
∴DG＝BH，
∴BC2＝BE•DG，
故B和C选项正确；
∵BE2＝AB•AE，
∴，
∵CB∥DG，
∴，
∴，
∵BC＝AB，
∴AG＝BE，
∵△CDF≌△CBE，
∴DF＝BE，
∴AG＝DF．
故D选项正确．
不能证明BE•BC＝AE•CE．
故选：BCD．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（多选）10．如图，点P在函数y＝（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上，PC⊥x轴交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝于点B，当点P在y＝（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上运动时（ ）
A．△ODB与△OCA的面积相等
B．四边形PAOB的面积不会发生变化
C．PA与PB始终相等
D．
【分析】设点P（t，），则点A（t，），点B（，），由此得PD＝t，PC＝，OD＝，BD＝，OC＝t，AC＝，然后分别求出△ODB与△OCA的面积，进而可对选项A进行判断；
再求出S矩形OCPD＝k，由此得S四边形PAOB＝S矩形OCPD﹣S△ODB﹣S△OCA＝k﹣2为常数，据此可对选项B进行判断；
先求出PA＝，PB＝，假设PA与PB时，＝，由此可得k＝t2，进而可求出点P的坐标为（t，t），由此可得出当四边形OCPD为正方形时PA＝PB，据此可对选项C进行判断；
根据PA＝，PC＝，PB＝，PD＝t，可分别求出＝，＝，据此可对选项D进行判断．综上所述即可得出答案．
解：∵点P是反比例函数y＝（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上的点，
∴可设点P的坐标为（t，），
∵PC⊥x轴交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝于点B，
∴点A的横坐标为t，点B的纵坐标为，
又∵点A，B在反比例函数y＝的图象上，
∴点A的坐标为（t，），点B的坐标为（，），
∴OD＝，BD＝，，OC＝t，AC＝，
∴S△ODB＝OD•BD＝••＝1，S△OCA＝OC•AC＝•t•＝1，
∴△ODB与△OCA的面积相等，
故选项A正确；
∵点P的坐标为（t，），
∴PD＝t，PC＝，
∴S矩形OCPD＝PD•PC＝t•＝＝k，
由选项A正确可知：S△ODB＝S△OCA＝1，
∴S四边形PAOB＝S矩形OCPD﹣S△ODB﹣S△OCA＝k﹣2，
∵k为常数，
S四边形PAOB＝k﹣2为常数，
即四边形PAOB的面积不会发生变化，
故选项B，正确．
∵PA＝PC﹣AC＝﹣＝，，PB＝PD﹣BD＝t﹣＝，
假设PA与PB时，＝，
∴k＝t2，
∴＝，
此时点P的坐标为（t，t），
即当四边形OCPD为正方形时，PA＝PB，
∴选项C不正确；
∵PA＝，PC＝，PB＝，PD＝t，
∴，，
∴．
故选项D正确．
综上所述：选项A、B、D正确，选项C不正确．
故选：ABD．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，利用点的坐标表示出相关线段的长度是解答此题的关键．
三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
11．若m＜1，则可化简为 1﹣m ．
【分析】直接利用m的取值范围，结合二次根式的性质化简得出答案．
解：∵m＜1，
∴
＝
＝1﹣m．
故答案为：1﹣m．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
12．若x为有理数，则|x﹣4|+|x+5|的最小值为 9 ．
【分析】由题意分x＜﹣5，﹣5≤x≤4，x＞4分类讨论后即可求得答案．
解：当x＜﹣5时，
原式＝4﹣x﹣x﹣5＝﹣2x﹣1＞9；
当﹣5≤x≤4时，
原式＝4﹣x+x+5＝9；
当x＞4时，
原式＝x﹣4+x+5＝2x+1＞9；
综上，|x﹣4|+|x+5|的最小值为9，
故答案为：9．
【点评】本题考查绝对值及有理数的运算，结合已知条件进行正确的分类讨论是解题的关键．
13．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果有4种，
∴配成紫色的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm）且AF∥BE，∠BAF＝60°，BD＝10，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动90°，即∠BAB'＝90°分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD'已知直线BE⊥B'E'，CD'＝CB，那么AB的长为 40 cm，CD'的长为 31.25 cm．
【分析】过A作AP⊥EB延长线交于点P，由BE旋转一定角度后得到B'E'可知，旋转角度为90°，过B'作BH⊥AP，交AP于点H，分别表示出B'H、PB的长，即可得出AB的长，设CD＝xcm，利用勾股定理可得AC2+AD'2＝CD'2，代入解方程即可．
解：过A作AP⊥EB延长线交于点P，
∵AF∥BE，
∴∠ABP＝∠BAF＝60°，
∴BP＝AB，
由BE旋转一定角度后得到B'E'可知，旋转角度为90°，
过B'作BH⊥AP，交AP于点H，
∵∠PAB+∠ABP＝90°，∠D'AP+∠PAB＝90°，
∴∠D'AP＝∠ABP＝60°，B'H＝AB'sin60°＝AB，
∴20+20＝B'H+PB＝AB+AB＝AB，
∴AB＝40cm；
设CD＝xcm，
则BC＝CD′＝BD+CD＝（10+x）cm，
∴AC＝AB﹣BC＝40﹣（10+x）＝（30﹣x）cm，
AD'＝AD＝AB﹣BD＝40﹣10＝30cm，
∵∠D'AC＝90°，
∴AC2+AD'2＝CD'2，
∴（30﹣x）2+302＝（10+x）2，
解得x＝21.25，
∴CD'＝10+x＝31.25（cm）．
故答案为：40；31.25．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，已知三角函数表示边长，旋转的性质，以及勾股定理等知识，利用旋转的性质得出旋转角是90°是解题的关键．
四、解答题（共60分）
15．计算或解方程：
（1）计算：+tan60°﹣sin45°﹣|1﹣|；
（2）解方程：7x﹣x2﹣6＝0；
（3）解方程：3（x﹣1）＝x2﹣1．
【分析】（1）先逐项化简，再合并同类二次根式即可；
（2）用十字相乘法分解因式求解即可；
（3）整理成一般式后用十字相乘法分解因式求解即可．
解：（1）原式＝＝；
（2）∵7x﹣x2﹣6＝0，
∴（x﹣6）（x﹣1）＝0，
∴x﹣6＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝6，x2＝1；
（3）3（x﹣1）＝x2﹣1，
整理得x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x1＝2，x2＝1．
【点评】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，以及一元二次方程的解法，掌握各知识点是解答本题的关键．
16．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 b2﹣4ac＝0 ；判断241 不是 “喜鹊数”（填“是”或“不是”）；
（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；
（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121．
故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，
∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
∴m＝，即mn＝1；
故答案为：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
故答案为：121，242，363，484．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．
17．y＝x+是一种类似于反比例函数的对勾函数，形如y＝ax+．其函数图象形状酷似双勾，故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”．y＝x+函数图象如图所示．根据y＝x+图象对函数y＝|x|+的图象和性质进行了探究．
（1）绘制函数图象：y＝|x|+；
列表：如表是x与y的几组对应值；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
1
2
3
…
y
…
2
2
…
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你在平面直角坐标系中将y＝|x|+图象补充完整；
（2）观察发现：
①写出函数y＝|x|+的一条性质 关于y轴对称 ；
②函数图象与直线y＝2有 2 个交点，所以对应的方程|x|+﹣2＝0有 2 个实数根；
（3）分析思考：
③方程的|x﹣1|+|﹣2＝0的解为 x＝2或x＝0 ；
④不等式|x|+＜0，x的取值范围为 或 ；
（4）延伸探究：
⑤当x＞0时，直线y＝kx+3与y＝|x|+只有一个交点，求k的值？
【分析】（1）根据表格画出图形；
（2）①通过观察图象写性质即可；
②通过观察函数图象确定交点个数即可；
（3）③根据函数图象平移的性质，结合②求解即可；
④当x＞0时，x+＝，解得x＝或x＝2；当x＜0时，﹣x﹣＝，解得x＝﹣2或x＝﹣；即可求不等式的解集；
（4）⑤由题意可知 有一个实数根，当k＝1时，解得；当k≠1时，方程是一元二次方程，根据判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，求出k＝﹣．
解：（1）如图：
（2）①关于y轴对称；
故答案为：关于y轴对称；
②当y＝2时，x＝1或x＝﹣1，此时函数图象与直线y＝2有2个交点，
∴方程|x|+﹣2＝0有，2个实数根；
故答案为：2，2；
（3）③将函数y＝|x|+向右平移一个单位得到函数y＝|x﹣1|+|，
∵函数x|+与直线y＝2有2个交点，
∴函数y＝|x﹣1|+|与直线y＝2也有2个交点，
∴方程|x﹣1|+|﹣2＝0的解为x＝2或x＝0，
故答案为：x＝2或x＝0；
④当x＞0时，x+＝，
解得x＝或x＝2；
当x＜0时，﹣x﹣＝，
解得x＝﹣2或x＝﹣；
∴不等式|x|+＜0的解集为 或 ，
故答案为： 或 ；
（4）⑤当x＞0时，直线y＝kx+3与y＝|x|+只有一个交点，
即kx+3＝|x|+只有一个根，
∵x＞0，
∴，
整理得，（k﹣1）x2+3x﹣1＝0，
当k＝1时，解得；
当k≠1时，方程是一元二次方程，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，即9﹣4（k﹣1）×（﹣1）＝0，
解得：k＝﹣；
综上所述：k的值为﹣或1．
【点评】本题考查函数的图象及性质，熟练掌握函数图象的画法，函数与方程的关系，数形结合解题是关键．
18．已知一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有两个相等的实数根．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）求b﹣a的最大值，并求此时a，b的值；
（3）在（2）的条件下，直线y＝2x﹣a与x轴交于点A，与双曲线y＝相交于B，C两点（点B在点C的右侧），过点B作直线BD⊥x轴，垂足为点D，过点C的直线交x轴于点E，交直线BD于点F，若△EDF∽△BDA，求点E的坐标．
【分析】（1）由一元二次方程的根与系数的关系求解．
（2）用含b的代数式表示b﹣a，通过配方求解．
（3）分类讨论点，E在点D右侧及左侧两种情况，结合图形，通过相似三角形的性质求解．
解：（1）∵方程ax2+bx+2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣8a＝0，
∴b2＝8a．
（2）∵b2＝8a，
∴a＝，
∴b﹣a＝b﹣＝﹣（b﹣4）2+2，
∴b＝4时，b﹣a的最大值为2，
此时a＝＝2．
（3）∵b＝4，a＝2，
∴直线解析式为y＝2x﹣2，双曲线解析式为y＝，
联立方程，
解得，，
∴点B坐标为（2，2），点C坐标为（﹣1，﹣4），BD＝2，
将y＝0代入y＝2x﹣2得2x﹣2＝0，
解得x＝1，
∴点A坐标为（1，0），AD＝1，
设点E坐标为（m，0），
如图，作CG⊥x轴于点G，点E在点D右侧，
设点E坐标为（m，0），则ED＝m﹣2，
∵△EDF∽△BDA，
∴＝，即，
∴DF＝，
∵DF∥CG，CG＝4，EG＝m+1，
∴＝，
∵CG＝4，EG＝m+1，
∴，
解得m＝7．
∴点E坐标为（7，0）．
如图，点E在x轴负半轴，点E坐标为（m，0），则EG＝﹣1﹣m，
∵CG∥DF，
∴△EGC∽△EDF，
∵△EDF∽△BDA，
∴△EGC∽△BDA，
∴，即，
解得m＝﹣9，
∴点E坐标为（﹣9，0）．
综上所述，点E坐标为（7，0）或（﹣9，0）．
【点评】本题考查一元二次方程的综合应用，解题关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，掌握相似三角形的判定及性质．
19．（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，判断线段DG与BE的数量关系并说明理由；
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝6，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE又有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，求2BG+BE的最小值．
【分析】（1）通过证明△DCG和△BCE（SAS）全等，得到DG＝BE．
（2）通过证明△DCG∽△BCE得到，所以DG＝BE．∠BEC＝∠DGC．延长BE、GD相交于点H．因为矩形ECGF，所以∠FEC＝∠FGC＝90°，所以∠HEF
+∠BEC＝180°﹣∠FEC＝90°，∠FGH+∠DGC＝90°，所以∠H＝∠F＝90°，所以DG⊥BE．
（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．首先证明点G的运动轨迹是线段GM，将2BG+BE的最小值转化为求2（BG+DG）的最小值．
解：（1）DG＝BE．
理由：
∵正方形ABCD，
∴CD＝CB∠BCD＝90°，
∵正方形ECGF，
∴CG＝CE∠ECG＝90°，
∴∠ECG＝∠BCD＝90°，
∴∠DCG＝∠BCE，
在△DCG和△BCE中，
，
∴△DCG≌△BCE（SAS），
∴DG＝BE．
（2）DG＝BE．
理由如下：延长BE、GD相交于点H．
∵矩形ECGF、矩形ABCD，
∴∠ECG＝∠BCD＝90°，
∴∠DCG＝∠BCE，
∵CD：CB＝3：6＝1：2，CG：CE＝1：2，
∴CD：CB＝CG：CE，
∵∠DCG＝∠BCE，
∴△DCG∽△BCE，
∴，∠BEC＝∠DGC，
∴DG＝BE．
（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M，
∴∠ENC＝∠CMG＝90°．
∵∠ECN+∠CEN＝90°，∠ECN+∠GCM＝90°，
∴∠CEN＝∠GCM．
∴△ECN∽△CGM，
∴＝＝2，
∵EN＝AB＝3，
∴CM＝1.5，
∴点G的运动轨迹是直线MG，
作点D关于直线GM的对称点G′，连接BG′交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值＝BG′．
由（2）知，DG＝BE，
∴BE＝2DG，
∴2BG+BE＝2BG+2DG＝2（BG+DG），
∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．
∵BG′＝＝3，
∴2BG+BE的最小值为6．
【点评】本题考查了四边形的综合应用，掌握正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
2022-2023学年湖南省衡阳市衡南一中九年级第一学期联赛检测数学试卷
一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分）
1．已知xy＜0，化简二次根式的值是（ ）
A． B． C． D．
2．根据下列表格的对应值：判断方程x2+x﹣1＝0一个解的取值范围是（ ）
x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
x2+x﹣1
﹣0.061
﹣0.04
﹣0.018
0.0044
0.027
A．0.59＜x＜0.60 B．0.60＜x＜0.61
C．0.61＜x＜0.62 D．0.62＜x＜0.63
3．4件外观相同的产品中只有1件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一定能够得到a∥b的条件有几个？（ ）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）△ABC与△AFG相似．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．三角函数sin40°、cos16°、tan50°之间的大小关系是（ ）
A．tan50°＞cosl6°＞sin40° B．cosl6°＞sin40°＞tan50°
C．cosl6°＞tan50°＞sin40° D．tan50°＞sin40°＞cosl6
6．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝7，则（x1﹣x2）2的值是（ ）
A．1 B．12 C．13 D．25
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD位于第一象限，且对角线AC、BD所在的直线与坐标轴垂直，点A的坐标为（1，4），点D的坐标为（2，1）．若双曲线与菱形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A．2＜k≤12 B． C．2≤k≤14 D．
8．满足x2+y2＝1的所有实数对（x，y），使取最大值，此最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共2个小题，每小题5分，漏选记2分，错选记0分，共10分）
（多选）9．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H，下列结论正确的是（ ）
A．BE•BC＝AE•CE B．△BEC∽△BCH
C．BC2＝BE•DG D．若BE2＝AB•AE，则AG＝DF
（多选）10．如图，点P在函数y＝（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上，PC⊥x轴交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝于点B，当点P在y＝（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上运动时（ ）
A．△ODB与△OCA的面积相等
B．四边形PAOB的面积不会发生变化
C．PA与PB始终相等
D．
三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
11．若m＜1，则可化简为 ．
12．若x为有理数，则|x﹣4|+|x+5|的最小值为 ．
13．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是 ．
14．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm）且AF∥BE，∠BAF＝60°，BD＝10，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动90°，即∠BAB'＝90°分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD'已知直线BE⊥B'E'，CD'＝CB，那么AB的长为 cm，CD'的长为 cm．
四、解答题（共60分）
15．计算或解方程：
（1）计算：+tan60°﹣sin45°﹣|1﹣|；
（2）解方程：7x﹣x2﹣6＝0；
（3）解方程：3（x﹣1）＝x2﹣1．
16．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”）；
（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
17．y＝x+是一种类似于反比例函数的对勾函数，形如y＝ax+．其函数图象形状酷似双勾，故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”．y＝x+函数图象如图所示．根据y＝x+图象对函数y＝|x|+的图象和性质进行了探究．
（1）绘制函数图象：y＝|x|+；
列表：如表是x与y的几组对应值；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
1
2
3
…
y
…
2
2
…
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你在平面直角坐标系中将y＝|x|+图象补充完整；
（2）观察发现：
①写出函数y＝|x|+的一条性质 ；
②函数图象与直线y＝2有 个交点，所以对应的方程|x|+﹣2＝0有 个实数根；
（3）分析思考：
③方程的|x﹣1|+|﹣2＝0的解为 ；
④不等式|x|+＜0，x的取值范围为 ；
（4）延伸探究：
⑤当x＞0时，直线y＝kx+3与y＝|x|+只有一个交点，求k的值？
18．已知一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有两个相等的实数根．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）求b﹣a的最大值，并求此时a，b的值；
（3）在（2）的条件下，直线y＝2x﹣a与x轴交于点A，与双曲线y＝相交于B，C两点（点B在点C的右侧），过点B作直线BD⊥x轴，垂足为点D，过点C的直线交x轴于点E，交直线BD于点F，若△EDF∽△BDA，求点E的坐标．
19．（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，判断线段DG与BE的数量关系并说明理由；
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝6，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE又有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，求2BG+BE的最小值．
参考答案
一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分）
1．已知xy＜0，化简二次根式的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先依据二次根式的被开方数为非负数可得到﹣xy2≥0，由此可得到x的取值范围，然后依据xy＜0可得到y的取值范围；接下来，依据二次根式的性质进行化简即可．
解：由题意可知﹣xy2≥0．
因为y2＞0，
所以﹣x≥0，
所以x≤0，
又因为xy＜0，
所以x＜0，y＞0，
所以＝＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2．根据下列表格的对应值：判断方程x2+x﹣1＝0一个解的取值范围是（ ）
x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
x2+x﹣1
﹣0.061
﹣0.04
﹣0.018
0.0044
0.027
A．0.59＜x＜0.60 B．0.60＜x＜0.61
C．0.61＜x＜0.62 D．0.62＜x＜0.63
【分析】根据表格中的数据可得：在0.61和0.62之间有一个值能使x2+x﹣1的值为0，于是可判断方程x2+x﹣1＝0一个解x的取值范围为0.61＜x＜0.62．
解：由题意得：
当x＝0.61时，x2+x﹣1＝﹣0.018，
当x＝0.62时，x2+x﹣1＝0.0044，
∴方程x2+x﹣1＝0一个解x的取值范围是0.61＜x＜0.62，
故选：C．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，观察表格中的数据找到x2+x﹣1最接近0时x的取值范围是解题的关键．
3．4件外观相同的产品中只有1件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率．
解：设合格产品记为A，不合格产品记为B，
树状图如下所示：
由上可得，一共有12种可能性，其中抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的可能性有6种可能性，
∴抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率为＝，
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的树状图，求出相应的概率．
4．如图，一定能够得到a∥b的条件有几个？（ ）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）△ABC与△AFG相似．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据相似三角形的性质与平行线的判定定理进行判断便可；
解：（1）∵，
∴DE∥FG，但a∥b不不一定成立，
故（1）不符合题意；
（2）若＝，则a∥b，若若≠，则a∥b不成立，
故（2）不符合题意；
（3）由不能得a∥b，
故（3）不符合题意；
（4）∵△ABC与△AFG相似，
∴∠ABC＝∠AFG，
∴a∥b，
故（4）符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线的判定，关键是正确应用这些定理综合解题．
5．三角函数sin40°、cos16°、tan50°之间的大小关系是（ ）
A．tan50°＞cosl6°＞sin40° B．cosl6°＞sin40°＞tan50°
C．cosl6°＞tan50°＞sin40° D．tan50°＞sin40°＞cosl6
【分析】根据锐角三角函数的增减性可得答案．
解：∵cos16°＝sin74°，且正弦随角度的增大而增大，
∴sin40°＜cos16°，
又∵tan50°＞tan45°＝1，
∴tan50°＞cos16°＞sin40°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，明确正弦和正切随着角度的增大而增大是解题的关键．
6．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝7，则（x1﹣x2）2的值是（ ）
A．1 B．12 C．13 D．25
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2＝﹣，x1x2＝，根据x12+x22＝7，将（x1+x2）2﹣2x1x2＝7，可求出m的值，再结合一元二次方程根的判别式，得出m的值，再将（x1﹣x2）2＝x12+x22﹣2x1x2求出即可．
解：∵x12+x22＝7，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝7，
∴m2﹣2（2m﹣1）＝7，
∴整理得：m2﹣4m﹣5＝0，
解得：m＝﹣1或m＝5，
∵Δ＝m2﹣4（2m﹣1）≥0，
当m＝﹣1时，Δ＝1﹣4×（﹣3）＝13＞0，
当m＝5时，Δ＝25﹣4×9＝﹣11＜0，
∴m＝﹣1，
∴一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0为：x2+x﹣3＝0，
∴（x1﹣x2）2＝x12+x22﹣2x1x2＝7﹣2×（﹣3）＝13．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及运用配方法将公式正确的变形，这是解决问题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD位于第一象限，且对角线AC、BD所在的直线与坐标轴垂直，点A的坐标为（1，4），点D的坐标为（2，1）．若双曲线与菱形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A．2＜k≤12 B． C．2≤k≤14 D．
【分析】根据菱形的性质可得对角线交点坐标，再根据中点坐标公式求出点C和点B坐标，进一步待定系数法求出直线CB的解析式，联立直线BC解析式与反比例函数解析式，求出只有一个交点时k的值，再求出反比例函数过点D时k的值，即可确定k的取值范围．
解：∵菱形ABCD位于第一象限，且对角线AC、BD所在的直线与坐标轴垂直，
又∵点A的坐标为（1，4），点D的坐标为（2，1），
∴对角线交点的坐标为（2，4），
∴C点坐标为（3，4），B点坐标为（2，7），
设直线CB的解析式：y＝kx+b（k≠0），
将点C和点B坐标代入，
得，
解得，
∴直线BC的解析式：y＝﹣3x+13，
联立直线BC与反比例函数解析式，
得﹣3x+13＝，
化简得，﹣3x+13x﹣k＝0，
当Δ＝169﹣12k＝0时，k＝；
当反比例函数图象经过点D时，k＝2×1＝2，
∴双曲线与菱形ABCD有公共点，则k的取值范围2≤k≤，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及菱形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
8．满足x2+y2＝1的所有实数对（x，y），使取最大值，此最大值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】令，则y＝t（x+2），代入x2+y2＝1进行变形整理得到（t2+1）x2+4t2x+4t2﹣1＝0，再求出Δ＝（4t2）2﹣4（t2+1）（4t2﹣1）≥0，得出3t2﹣1≤0，求出t的解集即可解答．
解：先令，则y＝t（x+2），
代入x2+y2＝1可变形为：x2+t2（x+2）2＝1，
整理得（t2+1）x2+4t2x+4t2﹣1＝0，
则Δ＝（4t2）2﹣4（t2+1）（4t2﹣1）≥0，
即3t2﹣1≤0，
由知：（i），或（ii），
由（i）解得：，由（ii）解得：无解，
∴3t2﹣1≤0的解集为：
故取最大值，此最大值为；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程和根的判别式，掌握当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程由两个相等的实数根；Δ＜0，方程没有实数根；同时运用了Δ解决函数图象交点的个数问题和一元二次方程的解法是本题的关键．
二、多选题（共2个小题，每小题5分，漏选记2分，错选记0分，共10分）
（多选）9．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H，下列结论正确的是（ ）
A．BE•BC＝AE•CE B．△BEC∽△BCH
C．BC2＝BE•DG D．若BE2＝AB•AE，则AG＝DF
【分析】由菱形的性质得出CD＝CB，∠D＝∠B，证明△CDF≌△CBE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DCF＝∠BCE，得出∠H＝∠BCE，则可得出结论△BEC∽△BCH．证明△DCG≌△BCH（ASA），得出DG＝BH，则可得出BC2＝BE•DG；利用平行线分线段成比例定理结合已知条件即可得出AG＝DF．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，
∵DF＝BE，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠DCF＝∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H＝∠DCF，
∴∠H＝∠BCE，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH，
∴，
∴BC2＝BE•BH，
∵∠DCF＝∠BCE，
∴∠DCG＝∠BCH，
又∵∠D＝∠B，CD＝CB，
∴△DCG≌△BCH（ASA），
∴DG＝BH，
∴BC2＝BE•DG，
故B和C选项正确；
∵BE2＝AB•AE，
∴，
∵CB∥DG，
∴，
∴，
∵BC＝AB，
∴AG＝BE，
∵△CDF≌△CBE，
∴DF＝BE，
∴AG＝DF．
故D选项正确．
不能证明BE•BC＝AE•CE．
故选：BCD．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（多选）10．如图，点P在函数y＝（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上，PC⊥x轴交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝于点B，当点P在y＝（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上运动时（ ）
A．△ODB与△OCA的面积相等
B．四边形PAOB的面积不会发生变化
C．PA与PB始终相等
D．
【分析】设点P（t，），则点A（t，），点B（，），由此得PD＝t，PC＝，OD＝，BD＝，OC＝t，AC＝，然后分别求出△ODB与△OCA的面积，进而可对选项A进行判断；
再求出S矩形OCPD＝k，由此得S四边形PAOB＝S矩形OCPD﹣S△ODB﹣S△OCA＝k﹣2为常数，据此可对选项B进行判断；
先求出PA＝，PB＝，假设PA与PB时，＝，由此可得k＝t2，进而可求出点P的坐标为（t，t），由此可得出当四边形OCPD为正方形时PA＝PB，据此可对选项C进行判断；
根据PA＝，PC＝，PB＝，PD＝t，可分别求出＝，＝，据此可对选项D进行判断．综上所述即可得出答案．
解：∵点P是反比例函数y＝（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上的点，
∴可设点P的坐标为（t，），
∵PC⊥x轴交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝于点B，
∴点A的横坐标为t，点B的纵坐标为，
又∵点A，B在反比例函数y＝的图象上，
∴点A的坐标为（t，），点B的坐标为（，），
∴OD＝，BD＝，，OC＝t，AC＝，
∴S△ODB＝OD•BD＝••＝1，S△OCA＝OC•AC＝•t•＝1，
∴△ODB与△OCA的面积相等，
故选项A正确；
∵点P的坐标为（t，），
∴PD＝t，PC＝，
∴S矩形OCPD＝PD•PC＝t•＝＝k，
由选项A正确可知：S△ODB＝S△OCA＝1，
∴S四边形PAOB＝S矩形OCPD﹣S△ODB﹣S△OCA＝k﹣2，
∵k为常数，
S四边形PAOB＝k﹣2为常数，
即四边形PAOB的面积不会发生变化，
故选项B，正确．
∵PA＝PC﹣AC＝﹣＝，，PB＝PD﹣BD＝t﹣＝，
假设PA与PB时，＝，
∴k＝t2，
∴＝，
此时点P的坐标为（t，t），
即当四边形OCPD为正方形时，PA＝PB，
∴选项C不正确；
∵PA＝，PC＝，PB＝，PD＝t，
∴，，
∴．
故选项D正确．
综上所述：选项A、B、D正确，选项C不正确．
故选：ABD．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，利用点的坐标表示出相关线段的长度是解答此题的关键．
三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
11．若m＜1，则可化简为 1﹣m ．
【分析】直接利用m的取值范围，结合二次根式的性质化简得出答案．
解：∵m＜1，
∴
＝
＝1﹣m．
故答案为：1﹣m．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
12．若x为有理数，则|x﹣4|+|x+5|的最小值为 9 ．
【分析】由题意分x＜﹣5，﹣5≤x≤4，x＞4分类讨论后即可求得答案．
解：当x＜﹣5时，
原式＝4﹣x﹣x﹣5＝﹣2x﹣1＞9；
当﹣5≤x≤4时，
原式＝4﹣x+x+5＝9；
当x＞4时，
原式＝x﹣4+x+5＝2x+1＞9；
综上，|x﹣4|+|x+5|的最小值为9，
故答案为：9．
【点评】本题考查绝对值及有理数的运算，结合已知条件进行正确的分类讨论是解题的关键．
13．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果有4种，
∴配成紫色的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm）且AF∥BE，∠BAF＝60°，BD＝10，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动90°，即∠BAB'＝90°分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD'已知直线BE⊥B'E'，CD'＝CB，那么AB的长为 40 cm，CD'的长为 31.25 cm．
【分析】过A作AP⊥EB延长线交于点P，由BE旋转一定角度后得到B'E'可知，旋转角度为90°，过B'作BH⊥AP，交AP于点H，分别表示出B'H、PB的长，即可得出AB的长，设CD＝xcm，利用勾股定理可得AC2+AD'2＝CD'2，代入解方程即可．
解：过A作AP⊥EB延长线交于点P，
∵AF∥BE，
∴∠ABP＝∠BAF＝60°，
∴BP＝AB，
由BE旋转一定角度后得到B'E'可知，旋转角度为90°，
过B'作BH⊥AP，交AP于点H，
∵∠PAB+∠ABP＝90°，∠D'AP+∠PAB＝90°，
∴∠D'AP＝∠ABP＝60°，B'H＝AB'sin60°＝AB，
∴20+20＝B'H+PB＝AB+AB＝AB，
∴AB＝40cm；
设CD＝xcm，
则BC＝CD′＝BD+CD＝（10+x）cm，
∴AC＝AB﹣BC＝40﹣（10+x）＝（30﹣x）cm，
AD'＝AD＝AB﹣BD＝40﹣10＝30cm，
∵∠D'AC＝90°，
∴AC2+AD'2＝CD'2，
∴（30﹣x）2+302＝（10+x）2，
解得x＝21.25，
∴CD'＝10+x＝31.25（cm）．
故答案为：40；31.25．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，已知三角函数表示边长，旋转的性质，以及勾股定理等知识，利用旋转的性质得出旋转角是90°是解题的关键．
四、解答题（共60分）
15．计算或解方程：
（1）计算：+tan60°﹣sin45°﹣|1﹣|；
（2）解方程：7x﹣x2﹣6＝0；
（3）解方程：3（x﹣1）＝x2﹣1．
【分析】（1）先逐项化简，再合并同类二次根式即可；
（2）用十字相乘法分解因式求解即可；
（3）整理成一般式后用十字相乘法分解因式求解即可．
解：（1）原式＝＝；
（2）∵7x﹣x2﹣6＝0，
∴（x﹣6）（x﹣1）＝0，
∴x﹣6＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝6，x2＝1；
（3）3（x﹣1）＝x2﹣1，
整理得x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x1＝2，x2＝1．
【点评】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，以及一元二次方程的解法，掌握各知识点是解答本题的关键．
16．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 b2﹣4ac＝0 ；判断241 不是 “喜鹊数”（填“是”或“不是”）；
（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；
（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121．
故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，
∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
∴m＝，即mn＝1；
故答案为：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
故答案为：121，242，363，484．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．
17．y＝x+是一种类似于反比例函数的对勾函数，形如y＝ax+．其函数图象形状酷似双勾，故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”．y＝x+函数图象如图所示．根据y＝x+图象对函数y＝|x|+的图象和性质进行了探究．
（1）绘制函数图象：y＝|x|+；
列表：如表是x与y的几组对应值；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
1
2
3
…
y
…
2
2
…
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你在平面直角坐标系中将y＝|x|+图象补充完整；
（2）观察发现：
①写出函数y＝|x|+的一条性质 关于y轴对称 ；
②函数图象与直线y＝2有 2 个交点，所以对应的方程|x|+﹣2＝0有 2 个实数根；
（3）分析思考：
③方程的|x﹣1|+|﹣2＝0的解为 x＝2或x＝0 ；
④不等式|x|+＜0，x的取值范围为 或 ；
（4）延伸探究：
⑤当x＞0时，直线y＝kx+3与y＝|x|+只有一个交点，求k的值？
【分析】（1）根据表格画出图形；
（2）①通过观察图象写性质即可；
②通过观察函数图象确定交点个数即可；
（3）③根据函数图象平移的性质，结合②求解即可；
④当x＞0时，x+＝，解得x＝或x＝2；当x＜0时，﹣x﹣＝，解得x＝﹣2或x＝﹣；即可求不等式的解集；
（4）⑤由题意可知 有一个实数根，当k＝1时，解得；当k≠1时，方程是一元二次方程，根据判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，求出k＝﹣．
解：（1）如图：
（2）①关于y轴对称；
故答案为：关于y轴对称；
②当y＝2时，x＝1或x＝﹣1，此时函数图象与直线y＝2有2个交点，
∴方程|x|+﹣2＝0有，2个实数根；
故答案为：2，2；
（3）③将函数y＝|x|+向右平移一个单位得到函数y＝|x﹣1|+|，
∵函数x|+与直线y＝2有2个交点，
∴函数y＝|x﹣1|+|与直线y＝2也有2个交点，
∴方程|x﹣1|+|﹣2＝0的解为x＝2或x＝0，
故答案为：x＝2或x＝0；
④当x＞0时，x+＝，
解得x＝或x＝2；
当x＜0时，﹣x﹣＝，
解得x＝﹣2或x＝﹣；
∴不等式|x|+＜0的解集为 或 ，
故答案为： 或 ；
（4）⑤当x＞0时，直线y＝kx+3与y＝|x|+只有一个交点，
即kx+3＝|x|+只有一个根，
∵x＞0，
∴，
整理得，（k﹣1）x2+3x﹣1＝0，
当k＝1时，解得；
当k≠1时，方程是一元二次方程，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，即9﹣4（k﹣1）×（﹣1）＝0，
解得：k＝﹣；
综上所述：k的值为﹣或1．
【点评】本题考查函数的图象及性质，熟练掌握函数图象的画法，函数与方程的关系，数形结合解题是关键．
18．已知一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有两个相等的实数根．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）求b﹣a的最大值，并求此时a，b的值；
（3）在（2）的条件下，直线y＝2x﹣a与x轴交于点A，与双曲线y＝相交于B，C两点（点B在点C的右侧），过点B作直线BD⊥x轴，垂足为点D，过点C的直线交x轴于点E，交直线BD于点F，若△EDF∽△BDA，求点E的坐标．
【分析】（1）由一元二次方程的根与系数的关系求解．
（2）用含b的代数式表示b﹣a，通过配方求解．
（3）分类讨论点，E在点D右侧及左侧两种情况，结合图形，通过相似三角形的性质求解．
解：（1）∵方程ax2+bx+2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣8a＝0，
∴b2＝8a．
（2）∵b2＝8a，
∴a＝，
∴b﹣a＝b﹣＝﹣（b﹣4）2+2，
∴b＝4时，b﹣a的最大值为2，
此时a＝＝2．
（3）∵b＝4，a＝2，
∴直线解析式为y＝2x﹣2，双曲线解析式为y＝，
联立方程，
解得，，
∴点B坐标为（2，2），点C坐标为（﹣1，﹣4），BD＝2，
将y＝0代入y＝2x﹣2得2x﹣2＝0，
解得x＝1，
∴点A坐标为（1，0），AD＝1，
设点E坐标为（m，0），
如图，作CG⊥x轴于点G，点E在点D右侧，
设点E坐标为（m，0），则ED＝m﹣2，
∵△EDF∽△BDA，
∴＝，即，
∴DF＝，
∵DF∥CG，CG＝4，EG＝m+1，
∴＝，
∵CG＝4，EG＝m+1，
∴，
解得m＝7．
∴点E坐标为（7，0）．
如图，点E在x轴负半轴，点E坐标为（m，0），则EG＝﹣1﹣m，
∵CG∥DF，
∴△EGC∽△EDF，
∵△EDF∽△BDA，
∴△EGC∽△BDA，
∴，即，
解得m＝﹣9，
∴点E坐标为（﹣9，0）．
综上所述，点E坐标为（7，0）或（﹣9，0）．
【点评】本题考查一元二次方程的综合应用，解题关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，掌握相似三角形的判定及性质．
19．（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，判断线段DG与BE的数量关系并说明理由；
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝6，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE又有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，求2BG+BE的最小值．
【分析】（1）通过证明△DCG和△BCE（SAS）全等，得到DG＝BE．
（2）通过证明△DCG∽△BCE得到，所以DG＝BE．∠BEC＝∠DGC．延长BE、GD相交于点H．因为矩形ECGF，所以∠FEC＝∠FGC＝90°，所以∠HEF
+∠BEC＝180°﹣∠FEC＝90°，∠FGH+∠DGC＝90°，所以∠H＝∠F＝90°，所以DG⊥BE．
（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．首先证明点G的运动轨迹是线段GM，将2BG+BE的最小值转化为求2（BG+DG）的最小值．
解：（1）DG＝BE．
理由：
∵正方形ABCD，
∴CD＝CB∠BCD＝90°，
∵正方形ECGF，
∴CG＝CE∠ECG＝90°，
∴∠ECG＝∠BCD＝90°，
∴∠DCG＝∠BCE，
在△DCG和△BCE中，
，
∴△DCG≌△BCE（SAS），
∴DG＝BE．
（2）DG＝BE．
理由如下：延长BE、GD相交于点H．
∵矩形ECGF、矩形ABCD，
∴∠ECG＝∠BCD＝90°，
∴∠DCG＝∠BCE，
∵CD：CB＝3：6＝1：2，CG：CE＝1：2，
∴CD：CB＝CG：CE，
∵∠DCG＝∠BCE，
∴△DCG∽△BCE，
∴，∠BEC＝∠DGC，
∴DG＝BE．
（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M，
∴∠ENC＝∠CMG＝90°．
∵∠ECN+∠CEN＝90°，∠ECN+∠GCM＝90°，
∴∠CEN＝∠GCM．
∴△ECN∽△CGM，
∴＝＝2，
∵EN＝AB＝3，
∴CM＝1.5，
∴点G的运动轨迹是直线MG，
作点D关于直线GM的对称点G′，连接BG′交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值＝BG′．
由（2）知，DG＝BE，
∴BE＝2DG，
∴2BG+BE＝2BG+2DG＝2（BG+DG），
∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．
∵BG′＝＝3，
∴2BG+BE的最小值为6．
【点评】本题考查了四边形的综合应用，掌握正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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