2023年湖南省衡阳市衡南县中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省衡阳市衡南县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  为贯彻落实教育部关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数单位：人分别是：，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4.  在中如图，点、分别为、的中点，则：(    )
 

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

5.  若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某地区准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列说法正确的是(    )

A. 相等的角是对顶角
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

8.  如图，，是的切线，，为切点，若，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  关于二次函数，下列说法正确的是(    )

A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是
C. 该函数有最大值，最大值是 D. 当时，随的增大而增大

11.  将二次函数的图象先向下平移个单位，再向右平移个单位，得到的图象与一次函数的图象有公共点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于、两点，下列结论：；抛物线与轴的另一个交点坐标是；；方程有两个不相等的实数根；当时，则其中正确结论的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是          ．

14.  已知实数，是方程的两根，则______．

15.  一个圆锥的底面直径是，母线长为，则该圆锥的侧面积为______ 结果保留．

16.  如图，为的直径，弦于点，若，，则的长度为______．

17.  如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是______ ．

18.  如图已知，，，是轴上的点，且，分别过点，，，作轴的垂线交二次函数的图象于点，，，，若记的面积为，过点作于点，记的面积为，过点作于点，记的面积为，依次进行下去，则 ______ ，最后记的面积为，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根．

21.  本小题分
为庆况中国共产党成立周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教育实践活动，我校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动，为了解学生的参与情况，我校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”必选且只选一种的问卷调在根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分
信息如下：
这次抽样调查的总人数为______ 人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为______ ；
我校约有名学生，请你估计选择参加书法的有多少人？
学校准备从推荐的位同学两男女中选取人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．

22.  本小题分
某景区、两个景点位于湖泊两侧，游客从景点到景点必须经过处才能到达．观测得景点在景点的北偏东，从景点出发向正北方向步行米到达处，测得景点在的北偏东方向．
求景点和处之间的距离；结果保留根号
当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点到景点的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点到景点比原来少走多少米？结果保留整数．参考数据：，
 

23.  本小题分
由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品，某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为元，经过一段时间的销售发现，每月的销售量台与销售单价元的关系式为
该公司每月的利润为元，写出利润与销售单价的函数关系式；
若要使每月的利润为元并且为了减少库存，销售单价应定为多少元？
求该公司每月的最高利润．

24.  本小题分
如图，是的直径，为上一点，平分，，垂足为，，垂足为．
求证：是的切线；
若，，求的长结果保留根号．

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．
求抛物线的表达式；
点是线段上的一个动点不与、重合，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标．
在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

26.  本小题分
如图，矩形中，，，为上一点，，动点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，连，，，过作的平行线交射线于点，设点的运动时间为，不考虑，，在同一直线的情况
当时，试求出的长；
当与相似时，求的值；
当在线段上时，设面积为，周长为，
求与的函数关系式；
直接写出的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
即．
故选：．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】解：的算术平方根为，即，故A不符合题意；
根据公式可得，故B符合题意；
、无法运用加法运算化简，故，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：．
根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可．
本题主要考查了算术平方根的定义、立方根的定义、公式的运用等知识点，熟记运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：将这组数据由小到大排列为：，，，，，
众数为，中位数为，
故选：．
根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．
本题考查了众数，中位数，掌握一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解决本题的关键．
根据相似三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】
解：在中，点、分别为、的中点，
为的中位线，
，，
∽，
：．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用等式的性质可得到的值．
【解答】
解：关于的一元二次方程有一个根是，
，
，
．
故选B．  

6.【答案】 

【解析】解：由在中，，
设，，
则，
则；
又，
．
故选：．
在中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边的长度．
此题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解答此类题目的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；
B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意．
故选：．
根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答案．
本题考查了矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关定理以及性质进而判定出命题的正确性．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
利用切线的性质可得，然后利用四边形的内角和是进行计算即可．
【解答】
解：，是的切线，，为切点，
，
，
．
故选：．
【点评】
本题考查了圆的切线的性质及四边形的内角和，熟练掌握圆的切线的性质是解题的关键．  

9.【答案】 

【解析】解：在中，，点为边的中点，，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和含角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论．
本题考查了直角三角形斜边中线，含角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：中，
的系数为，，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是，B错误；
函数图象开口向上，有最小值为，C错误；
函数图象的对称轴为，时随的增大而减小；时，随的增大而增大，D正确．
故选：．
通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及单调性即可求解．
本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：，
则，
，
，
，
，
故选：．
先根据平移原则：上加，下减，左加，右减写出解析式，再列方程组，有公共点则，则可求出的取值．
主要考查的是函数图象的平移和两函数的交点问题，两函数有公共点：说明两函数有一个交点或两个交点，可利用方程组一元二次方程的问题解决．
 

12.【答案】 

【解析】解：由抛物线对称轴知，，
，则此小题结论正确；
设抛物线与轴的另一个交点坐标是，根据题意得，，
，则此小题结论正确；
把代入得，，
，
，
，
，
，则此小题结论正确；
由函数图象可知，直线与抛物线有两个交点，
有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，则此小题结论正确；
由函数图象可知，当时，抛物线在直线上方，于是则此小题结论正确．
故选：．
利用对称轴方程进行解答；
利用抛物线的对称性质求解便可；
把代入二次函数解析式，并把换成的对称代数式便可；
根据抛物线抛物线与直线的交点情况解答；
根据两函数图象的位置关系解答．
本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意知，
解得，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．
本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程中的，，
．
故答案是：．
根据根与系数的关系解答．
此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
．
故答案为：．
根据圆锥的侧面积公式，把相应数值代入即可求解．
本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算公式．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，



，，
，
直径，
，
在中，，
故答案为．
根据垂径定理由得到，再根据勾股定理计算出．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
 

17.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线，
当时，随的增大而减小，关于称轴是直线的对称点是，
，
．
故答案为：．
先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：当时，，则，所以；
当时，，则，所以；
当时，，则，所以，
同样方法可得，
所以．
故答案为，．
先根据二次函数图象上点的坐标特征，求出，则根据三角形面积公式计算出，同样可得；，，所有相应三角形的面积等于分母为，分子为奇数的分式，从而得到．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了三角形面积公式．
 

19.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：关于的方程有实数根，
，
解得：，
为正整数，
，
，
则，
解得：． 

【解析】直接利用根的判别式得出的取值范围，求出的值，进而解方程得出答案．
此题主要考查了根的判别式，正确得出的值是解题关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：这次抽样调查的总人数为：人，
则参加舞蹈”的学生人数为：人，
扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为：，
故答案为：，；
人，
即估计选择参加书法有人；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，恰为一男一女的结果有种，
恰为一男一女的概率为．
由参加唱歌的人数和所占百分比求出这次抽样调查的总人数，即可解决问题；
由该校学生人数乘以参加书法的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，恰为一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：过点作于点，
由题意得，，，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
答：景点和处之间的距离为；
由题意得．
，
，
，
答：大桥修建后，从景点到景点比原来少走约． 

【解析】通过作辅助线，构造直角三角形，在中，可求出、，根据外角的性质可求出的度数，在中求出即可；
计算和的长，计算可得答案．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：由题意得：；
利润与销售单价的函数关系式为；
令，
解得：或，
故要使每月的利润为元，销售单价应定为或元；
，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：该公司每月的最高利润为元． 

【解析】根据销售利润每天的销售量销售单价成本价，即可列出函数关系式；
令代入解析式，求出满足条件的的值即可；
根据得到销售利润的关系式，利用配方法可求最大值．
本题考查了二次函数的实际应用，难度适中，解答本题的关键是熟练掌握利用配方法求二次函数的最大值．
 

24.【答案】证明：连接，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线．
，
，
在中，，
由得，，
∽，
，
即，
． 

【解析】连接，推出，推出，推出，根据切线判定推出即可；
首先求得线段的长，然后证∽，得出比例式，代入求出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，平行线性质和判定，等腰三角形性质，切线的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
 

25.【答案】解：
抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，．
，
解得：，
抛物线解析式为；
令，则，解得，，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
设，则，
则，
，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，此时点坐标为；
由题意可设点坐标为，
，，
，，，
是以为腰的等腰三角形，
有或，
当时，则有，解得，此时点坐标为或；
当时，则有，解得或，当时，点与点重合，舍去，
，此时点坐标为；
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或． 

【解析】利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
根据抛物线的解析式求得点的坐标，然后根据待定系数法求得直线的解析式，可设出点的坐标，则可表示出点的坐标，进而表示出的长度，则可表示出的面积，从而可表示出四边形的面积，利用二次函数的性质，可求得其最大值及此时点的坐标；
可设出点坐标，从而可表示出、的长，由条件可得或，可得到关于点坐标的方程，可求得点的坐标．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在中注意待定系数法的应用，在中用点坐标表示出四边形的面积是解题的关键，在中用点坐标表示出、的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
 

26.【答案】解：，，
，
，
即：，
，
，
∽，
，
即：，
解得：；
当，此时；
由得，
又，
∽，
  即，
，
当点在点的左边时，
即时，，
此时，当∽时： 即，
解得：；
此时，当∽时：有，即，
解得：；
当点在点的右边时，即时，，
此时，当∽时：，
即，
解得：；
综上，或或；
，
的面积的面积，
即；
如图，

，
，根据勾股定理得，，是定值，
所以当最小时最小，作点关于的对称点，
连接，此时最小，
在中，，，
根据勾股定理得，，
的最小值． 

【解析】证明∽，利用相似三角形的性质解决问题即可；
由∽，推出  即推出分三种情形当点在点的左边时，即时，，当∽时，当∽，当点在点的右边时，即时，，∽时，分别构建方程求解即可；
利用三角形面积公式计算即可；
当最小时最小，作点关于的对称点，连接，此时最小．
此题考查了相似图形，掌握勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识是解题的关键．