2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中，属于一元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知方程是关于、的二元一次方程，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  用式子表示“比的倍小的数等于的倍”为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若关于的方程与的解相同，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  把的系数化为，正确的是(    )

A. 得 B. 得
C. 得 D. 得

6.  若，下列不等式不一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  在数轴上表示不等式，其中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  已知是二元一次方程组的解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  育才中学初一年级某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了元购买甲、乙两种奖品共件．其中甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，若设购买甲种奖品件，乙种奖品件，则所列方程组正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如果不等式组无解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知不等式组的解集为，那么的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  已知，则 ______ ， ______ ．

14.  不等式的解集为______．

15.  若关于的不等式可化为，则的取值范围是______．

16.  二元一次方程的正整数解有______个．

17.  小云在解关于的方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为______ ．

18.  若，，则______．

三、计算题（本大题共3小题，共24.0分）

19.  解方程：

20.  解方程组：．

21.  星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：

一季度，橱具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中购进电饭煲和电压锅各多少台？
为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压锅共台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
在的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？

四、解答题（本大题共5小题，共42.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

22.  本小题分
解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来，并求出不等式组的整数解．

23.  本小题分
对于任意实数、约定关于的一种运算如下：．
例如：．
的值等于______；
若满足，求的取值范围；
若，且，求的值．

24.  本小题分
已知关于、的方程组的解满足．
求的取值范围；
化简．

25.  本小题分
试确定使不等式组恰有两个整数解的实数的取值范围．

26.  本小题分
元旦前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少元．若购进甲种商品件，乙种商品件，需要元．
求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共件，所用资金恰好为元．在销售时，甲种商品的每件售价为元，要使得这件商品所获利润率为，每件乙商品的售价为多少元？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该方程中含有个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程中未知数的最高次数是，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
D、该方程符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：．
根据一元一次方程的定义进行判断．
本题考查了一元一次方程的定义．只含有一个未知数元，且未知数的次数是，这样的方程叫一元一次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，，
解得，，
所以．
故选：．
根据二元一次方程的定义得到，，易得到，，然后代入中计算即可．
本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含未知数项的次数为的整式方程叫二元一次方程．
 

3.【答案】 

【解析】解：的倍表示为，的倍表示为，则．
故选：．
根据题目中的数量关系列出方程即可．
本题主要考查的是由实际问题抽象出一元一次方程，明确题目中的数量关系是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，解得，
方程与的解相同，
是方程的解，
，
，
故选：．
先求出方程的解，再将代入方程，即可求的值．
本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，理解同解方程的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：：，不符合题意；
：，不符合题意；
：，不符合题意；
：，符合题意；
故选：．
，等式两边乘以；
，等式两边乘以；
，等式两边乘以；
，等式两边乘以．
本题实际考查解一元一次方程的解法，掌握把系数化为一时两边都乘哪一个数是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
，，，
当时，，
故选：．
根据不等式性质知直接判断即可得到答案．
本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：“”实心圆点向右画折线，“”空心圆圈向左画折线．
故在数轴上表示不等式如下：

故选：．
不等式在数轴上表示不等式与两个不等式的公共部分．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是二元一次方程组的解，
，
解得，
．
故选：．
根据方程组解的定义，方程组的解适合方程组中的每个方程，转化为关于、的方程组即可解决问题．
本题考查二元一次方程组的解，理解方程组解的定义是解决问题的关键，属于基础题，中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：设购买甲种奖品件，乙种奖品件，
由题意得，．
故选：．
设购买甲种奖品件，乙种奖品件，根据花了元钱购买甲乙两种奖品共件，列方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
得：，
解得：，
，
，
，
，
，
故选：．
利用整体的思想可得，然后根据已知易得，从而按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组无解，
，
故选：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
，，
则，，
，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求出、的值，再代入计算即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】   

【解析】解：，
，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
方程组的解为．
故答案为：，．
利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到与的值即可．
此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：移项，得：，
系数化为，得：，
故答案为：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
依据不等式的性质解答即可．
【解答】
解：不等式可化为，
，
解得：．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：，
，
、为正整数，
，，
，
或，
当时，，
当时，，
正整数解为，，共个，
故答案为：．
根据、为正整数得出，，求出的范围，得出或，代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程的应用，关键是求出的范围．
 

17.【答案】 

【解析】解：将代入方程得：，
解得：，
原方程为，
解得：，
原方程的解为．
故答案为：．
将代入方程，可求出的值，将其代入原方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：联立得：，
得：，
得：，
，
，
故答案为：．
联立已知两个方程组成方程组，利用加减消元法得到和的值，即可确定出的值．
此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

19.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：． 

【解析】方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：
由得，，
把代入得，，
解得，
把代入得，，
所以，方程组的解是． 

【解析】本题考查的是二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
先把第二个方程整理得到，然后利用代入消元法求解即可．
 

21.【答案】解：设橱具店购进电饭煲台，电压锅台，
根据题意得：，
解得：，
橱具店在该买卖中购进电饭煲台，电压锅台，
答：橱具店在该买卖中购进电饭煲台，电压锅台．
设购买电饭煲台，则购买电压锅台，
根据题意得：，
解得：．
又为正整数，
可取，，．
故有三种方案：购买电饭煲台，购买电压锅台；购买电饭煲台，购买电压锅台；购买电饭煲台，购买电压锅台．
设橱具店赚钱数额为元，
当时，；
当时，；
当时，；
综上所述，当时，最大，
即购进电饭煲、电压锅各台时，橱具店赚钱最多． 

【解析】设橱具店购进电饭煲台，电压锅台，根据橱具店购进这两种电器共台且用去了元，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值；
设购买电饭煲台，则购买电压锅台，根据橱具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压锅共个且电饭煲的数量不少于电压锅的，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，由此即可得出各进货方案；
根据总利润单个利润购进数量分别求出各进货方案的利润，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，列出关于、的二元一次方程组；根据数量关系，列出关于的一元一次不等式组；根据总利润单个利润购进数量分别求出各进货方案的利润．
 

22.【答案】解：
解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
，
其整数解为、、、． 

【解析】先求得两个不等式的解集，再在数轴上得出不等式组的整数解．
本题考查了一元一次不等式组的解法以及不等式组的整数解，是基础知识要熟练掌握．
 

23.【答案】解：；
，
，
，
，
，
解得；
，且，
，
，得：，
． 

【解析】，
故答案为：；
见答案；
见答案．
根据公式代入计算可得；
根据公式列出关于的不等式，解之可得答案；
根据已知条件并结合公式列出关于、的方程组，将两个方程相加，再两边都除以即可得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，根据已知条件并结合公式列出不等式和方程组是解题的关键．
 

24.【答案】解：解方程组得，
，
，
解得；
的取值范围是；
，
，，
则原式． 

【解析】把看作已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出的范围即可．
由的范围判断出、与的大小关系，再利用绝对值的性质求解可得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

25.【答案】解：由得，
由得，
原不等式组的解集为．
又原不等式组恰有个整数解，即，；
则的值在不含到含之间，
，
． 

【解析】先求出不等式组的解集，再根据的两个整数解求出的取值范围即可．
此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

26.【答案】解：设乙种商品每件进价为元，则甲种商品每件进价为元，
由题意可得，，
解得，
，
答：甲、乙两种商品的每件进价分别是元，元；
设购进甲种商品件，乙种商品件，每件乙商品的售价为元，
由题意可得，，
解得，
则，
解得，
答：每件乙商品的售价为元． 

【解析】根据甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少元，若购进甲种商品件，乙种商品件，需要元，可以列出相应的方程，然后求解即可；
根据该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共件，所用资金恰好为元和中的结果，可以求得甲、乙各购进多少件，再根据在销售时，甲种商品的每件售价为元，要使得这件商品所获利润率为，可以列出相应的方程，然后求解即可．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．