新教材2023_2024学年高中数学第五章计数原理测评北师大版选择性必修第一册

这是一份新教材2023_2024学年高中数学第五章计数原理测评北师大版选择性必修第一册，共11页。
第五章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a>0,若x+6与x2+6的展开式中的常数项相等,则a=(　　)A.1 B.3 C.6 D.92.为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、6种荤菜中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有(　　)A.48种 B.36种 C.24种 D.12种3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b,组成复数a+bi,其中虚数有(　　)A.36个 B.42个 C.30个 D.35个4.的展开式中的常数项为(　　)A.-6 B.-2 C.2 D.65.已知(3-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若(3-x)n的展开式的第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等,则a0-a1+a2-…+(-1)nan=(　　)A.32 B.64 C.128 D.2566.1+(1+x)6的展开式中x的系数为(　　)A.6 B.15 C.18 D.217.如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数是(　　)A.72 B.96 C.108 D.1208.某医院抽调3名医生,5名护士支援某市的三家医院,规定每家医院医生一名,护士至少一名,则不同的安排方案有(　　)A.900种 B.1 200种C.1 460种 D.1 820种二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是(　　)A.所有可能的情况有34种B.若工厂甲必须有同学去,则不同的安排方法有37种C.若同学A必须去工厂甲,则不同的安排方法有16种D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种10.对于m≤n,m∈N,n∈N+,下列结论正确的是(　　)A.B.C.=(m+1)D.(n+1)=(m+1)11.已知2x+n的二项展开式中二项式系数之和为64,下列结论正确的是(　　)A.二项展开式中各项系数之和为36B.二项展开式中二项式系数最大的项为160C.二项展开式中无常数项D.二项展开式中系数最大的项为90x312.为弘扬我国古代的“六艺文化”,某校计划在社会实践中开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每天开设一门,连续开设6天,则下列结论正确的是(　　)A.从六门课程中选两门的不同选法共有20种B.课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种C.课程“礼”“书”排在相邻两天的不同排法共有240种D.课程“乐”“射”“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若6,则正整数n=　　　　　. 14.在某市举办的中学生运动会上,将4名同学全部分配到田径、游泳和球类3个不同比赛项目做志愿者,共有　　　　　种不同分配方法;若每个项目至少需要1名志愿者,则不同的分配方法有　　　　　种(用数字作答). 15.“隔板法”是排列组合问题中的一种解题模型,多应用于“实际分配问题”.例如:8个完全相同的球全部放到3个不同的盒子中,每个盒子至少一个,有多少种不同的分配方法.在解决本题时,我们可以将8个球排成一行,8个球出现了7个空档,再用两块隔板把8个球分成3份即可,故有种分配方法.请试写出一道利用“隔板法”解决的题目: 　(答案不唯一,合理即可). 16. 元宵节灯展后,如图悬挂有6盏不同的花灯需要取下,每次取1盏,共有　　　　　种不同取法(用数字作答). 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)10件不同厂生产的同类产品:(1)在某商品评选会上,有2件商品不能参加评选,要选出4件商品,并排定选出的4件商品的名次,有多少种不同的方法?(2)若要选6件商品放在六个不同的位置上陈列,且必须将获金质奖章的两件商品放上,有多少种不同的布置方法?            18.(12分)在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和.(1)试用组合数表示这个一般规律;(2)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是3∶4∶5,并证明你的结论.                               19.(12分)在①a2=60,②二项式系数之和为64,③二项式系数最大项为第4项这三个条件中任选一个,补充在下面横线中,已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N+),　　　　　,求: (1)n的值;(2)-+…+(-1)n的值.                                20.(12分)5名男生,2名女生站成一排照相. 求在下列约束条件下,有多少种不同的站法.(1)女生不站在两端;(2)女生相邻;(3)女生不相邻;(4)站成两排,前排3人,后排4人.          21.(12分)[2023浙江绍兴高二校考阶段练习]已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值.(1)a5;(2)a0+a1+a2+…+a5;(3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;(4)a1+a3+a5.                                    22.(12分)已知m,n是正整数,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为7.(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m,n,求出此时x3的系数;(2)利用上述结果,求f(0.003)的近似值.(精确到0.01)            
参考答案第五章测评1.B　x+6的展开式中的常数项为x42=15×81,x2+6的展开式中的常数项为(x2)24=15a4,所以a4=81,又因为a>0,所以a=3.故选B.2.B　由题意,可知分三步完成:第一步,从2种主食中任选一种有2种选法,第二步,从3种素菜中任选一种有3种选法,第三步,从6种荤菜中任选一种有6种选法,根据分步乘法计数原理,共有2×3×6=36种不同的选取方法,故选B.3.A　4.A5.D　由题意可得,∴n=4.令x=-1,得(3+1)4=a0-a1+a2-a3+a4=256,∴a0-a1+a2-…+(-1)nan=256.故选D.6.D　1+(1+x)6的展开式中x的系数为1×+1×=6+15=21.故选D.7.B　第一步,涂区域1,有4种方法;第二步,涂区域2,有3种方法;第三步,涂区域4,有2种方法(此前三步已经用去三种颜色);第四步,涂区域3,5,分两类:第一类,区域3与1同色,则区域5涂第四种颜色;第二类,区域3与1不同色,则涂第四种颜色,此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色,有3种方法.所以不同的涂色种数为4×3×2×(1×1+1×3)=96.故选B.8.A　根据题意,分两步进行分析:①将3名医生安排到三家医院,有=6种安排方法,②将5名护士分为3组,安排到三家医院,有=150种安排方法,则有6×150=900种不同的安排方案.故选A.9.BCD　对于选项A,每人有4种选择,则三人一共有4×4×4=43种方法,A错误.对于选项B,分三种情况讨论:①若有1名同学去甲工厂,则情况为,另外两名同学的安排方法有3×3=9种,此种情况共有×9=27种方法,②若有两名同学去甲工厂,则同学选派方法有种,另外一名同学的排法有3种,此种情况共有×3=9种方法.③若三名同学都去甲工厂,此种情况唯一,则共有27+9+1=37种安排方法,B正确.对于选项C,若A必去甲工厂,则B,C两名同学各有4种安排方法,共有4×4=16种安排方法,C正确.对于选项D,若三名同学所选工厂各不同,则共有=24种安排方法,D正确.故选BCD.10.ABD　显然AB正确.=(n+1)n(n-1)…(n-m+1),(m+1)=(m+1)n(n-1)…(n-m+1),故C错误.(n+1)=(n+1)·,(m+1)=(m+1)·,故D正确.故选ABD.11.AB　因为2x+n的二项展开式中二项式系数之和为64,所以2n=64,得n=6.所以2x+6的二项展开式中二项式通项为Tr+1=(2x)6-rr=26-r.对于选项A,令x=1,可得二项展开式中各项系数之和为36,所以选项A正确.对于选项B,第4项的二项式系数最大,此时r=3,则二项展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3=160,所以选项B正确.对于选项C,令6-r=0,则r=4,所以二项展开式中的常数项为26-4=60,所以选项C错误.对于选项D,令第r+1项的系数最大,则解得≤r≤,因为r∈N+,所以当r=2时,二项展开式中项的系数最大,则二项展开式中系数最大的项为T3=24x3=240x3,所以选项D错误.故选AB.12.BC　对于选项A,从六门课程中选两门的不同选法有=15种,A不正确.对于选项B,前5天中任取1天排“数”,再排其他五门体验课程,共有5=600种排法,B正确.对于选项C,“礼”“书”排在相邻两天,可将“礼”“书”视为一个元素,不同排法共有2=240种,C正确.对于选项D,先排“礼”“书”“数”,再用插空法排“乐”“射”“御”,不同排法共有=144种,D不正确.故选BC.13.5　若6,则6×=n(n-1)(n-2),求得n=5.14.81　36　对于第一空:每个学生都可以被分配到运动会的田径、游泳和球类3个不同比赛项目中的一个,有3种分配方法,则4名同学有3×3×3×3=81(种)分配方法;对于第二空:分2步进行分析:①先将4名同学分成3组,有=6(种)分组方法,②将分好的三组全排列,安排到3个不同比赛项目,有=6(种)情况,则有6×6=36(种)不同的分配方法.15.8本完全相同的书分给3位同学,有多少种不同的分配方法16.90　因为取灯时每次只能取一盏,所以每串灯必须先取下面的灯,即每串两个灯取下的顺序确定,问题转化为求六个元素排列,其中甲在乙前,丙在丁前,戊在己前的排列数,先将六个元素全排列共有种排法,因为甲乙顺序确定,丙丁顺序确定,戊己顺序确定,所以六个元素排列甲在乙前、丙在丁前、戊在己前的排法数为=90,即取下6盏不同的花灯,每次取1盏,共有90种不同取法.17.解 (1)10件商品,除去不能参加评选的2件商品,剩下8件,从中选出4件进行排列,有=1680(种)方法.(2)先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的2个位置上,有种方法,再从剩下的8件商品中选出4件,布置在剩下的4个位置上,有种方法,共有=50400(种)方法.18.解 (1).(2)设=3∶4∶5,由,得,即3n-7k+3=0. ①由,得,即4n-9k-5=0. ②解①②联立方程组,得n=62,k=27,即=3∶4∶5.19.解 (1)若选①,因为T3=(-2x)2=a2x2,所以a2=(-2)2=60,化简可得n(n-1)=30,且n∈N+,解得n=6.若选②,则2n=64,解得n=6.若选③,则+1=4,解得n=6.(2)(1-2x)6的二项式通项Tk+1=(-2x)k=akxk,所以ak=(-2)k,所以(-1)k,-+…+(-1)n+…+=26-1=63.20.解 (1)先考虑两端站的人,再考虑其他位置,满足条件的站法有=2400(种).(2)将相邻对象捆绑,当作一个对象,与其他对象一起全排列,可得满足条件的站法有=1440(种).(3)分两步:第一步,先排男生,有种站法;第二步,将2名女生插入男生所形成的6个空(包括两端)中,有种站法.由分步乘法计数原理知,满足条件的站法有=3600(种).(4)无论分成多少排,实质都是要在7个不同位置上排7个不同对象,因此满足条件的站法共有=5040(种).21.解 (1)令x=0,得(-1)5=a5,解得a5=-1.(2)令x=1,得(2×1-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,所以a0+a1+a2+…+a5=1.(3)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.由(2x-1)5的通项Tk+1=(-1)k·25-kx5-k,知a1,a3,a5为负值,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.(4)由a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35,得2(a1+a3+a5)=1-35,所以a1+a3+a5==-121.22.解 (1)根据题意得=7,即m+n=7, ①f(x)中的x2的系数为.将①变形为n=7-m代入上式,得x2的系数为m2-7m+21=,故当m=3或m=4时,x2的系数的最小值为9.当m=3,n=4时,x3的系数为=5;当m=4,n=3时,x3的系数为=5.(2)f(0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3≈×0.003+×0.003≈2.02.