甘肃省白银市靖远县第四中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题
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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列给出的对象能构成集合并且为无限集的是（ ）
A.所有很大的实数组成的集合
B.满足不等式 的所有整数解组成的集合
C.所有大于的偶数组成的集合
D.所有到轴距离均为1的点组成的集合
2.命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
注意到是否定结论，而不是否定条件，
所以命题，的否定是，,故选：D
3. “”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据必要不充分条件的定义，将问题转化为集合问题即为所求结果的真子集，再根据选项判断即可.
【详解】根据题意，的一个必要不充分条件即为所求结果的真子集，根据选项可得是的真子集，通过，可推出，通过不可推出，故是的一个必要不充分条件.
故选：C.
4. 设实数、满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
由已知得，，，故，
故选：B.
5.如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（ ）
- 如果,那么
- B. 如果,那么
C. 对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立
D. 对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立
【答案】C
【解析】
【分析】观察图形,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,由4个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系,得到,并判明何时取等即可
【详解】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,
故选C
【点睛】本题考查均值定理的几何法证明,考查数形结合,属于基础题
6.下列表示正确的个数是（ ）
(1)；(4)若则
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【详解】选项（1）中元素与空集的关系是不属于，正确；（2）空集是非空集的子集正确；（3）集合前后不相等，一个是方程的根构成的集合，有一个元素，一个是两个实数构成的集合，故不正确；（4）根据集合子集的意义知若则正确.
- 已知，则
A. B. C. D.的大小无法确定
8.已知二次函数的图象与轴交于点与，其中，方程的两根为，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将方程的两根为的问题，转化为转化为的图象与有两个交点的问题，数形结合，可得答案.
【详解】由题意可知方程的两根为，
即的两根为，则可转化为图象与有两个交点问题，两交点横坐标为，
当时，不妨设的图象如图示：
函数与抛物线的交点如图示，则；
当时，不妨设的图象如图示：
函数与抛物线的交点如图示，则；
综合上述，可知，
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.图中矩形表示集合，两个图元分别表示集合，则图中阴影部分可以表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
10.（2022秋·四川巴中·高一校考期中）下列四个命题中假命题的有（ ）
A．， B．
C．， D．，
【答案】BCD
【分析】利用函数的性质、特殊值对四个选项逐一分析，得出正确选项.
【详解】对A选项，由于，所以，即，为真命题；
对B选项，当时，，所以“”为假命题；
对C选项，由集合N表示自然数，所以“，”为假命题；
对D选项，由于，所以，不是有理数，所以“，”为假命题.
故选：BCD.
11.下列说法正确的的是 （ ）
A．若．则 B．若，则
C．若，．则 D．若，，则
【答案】BD
【解析】当时，，故A错误；因为，所以，所以，故B正确；
当，，，时，，故C错误；，
又，，所以，所以，故D正确．故选BD．
12. 若集合A具有以下性质：
（1）0∈A，1∈A；
（2）若x∈A，y∈A；则x﹣y∈A，且x≠0时，∈A．
则称集合A是“好集”．下列命题中正确的是（ ）
A．集合B＝{﹣1，0，1}是“好集” B．有理数集Q是“好集”
C．整数集Z不是“好集” D．设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x+y∈A
【答案】BCD
【分析】
逐一判断给定的3个集合，是否满足“好集”的定义，最后综合讨论结果，可得答案．
【详解】
解：对于，假设集合是“好集”，因为，，所以，这与矛盾，所以集合不是“好集”．故错误；
对于，因为，，且对任意的，有，且时，，所以有理数集是“好集”，故正确；
对于，因为，但，所以整数集不是“好集”．故正确；
因为集合是“好集”，所以，又，所以，即，又，所以，即，故正确．
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.不等式的解集是 ．
【答案】或
【解析】等价于，解得或，
故解集为或.
14．（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）已知函数，若不等式的解为，则 .
【答案】
【分析】根据韦达定理即可得到答案.
【详解】令，则由韦达定理得，解得，，
则，
故答案为：.
15.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_______后池水中药品的浓度达到最大．
【答案】2
【解析】C＝＝5．当且仅当且t＞0，即t＝2时取等号．故答案为：2．
- 某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学有________________人.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
已知集合.
(1)若，写出的所有子集；
(2)若，求.
18.(12分)21．（2022秋·四川·高一绵阳江油中学校考）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
（1）若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为15m，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知可得，而篱笆总长为．
又∵，当且仅当，即时等号成立．
∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．
（2）由已知得，又∵，
∴，当且仅当x＝y，即x＝5，y＝5时等号成立．
∴的最小值是．
19.(12分)
已知集合.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
20.（2023春·江西·高一新余第一中学校考）已知：关于的方程有实数根，：．
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为命题是真命题，
则命题是假命题，即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，则，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
21．已知函数，
（1）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，求不等式的解集；
【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为 或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 或；（3）
【解析】（1）先整理，再讨论和，列出恒成立的条件，求出的范围；
（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集；
【解析】（1）由题有恒成立，即恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则，得，得，
综合可得.
（2）由题 即 ,
由则，且
①当时，，不等式的解集为 或;
②当时，不等式的解集为
③当时，，不等式的解集为 或;
综上可得：当时，不等式的解集为 或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为 或；
- (12分)
对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点．
（1）求二次函数的不动点；
（2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求a的取值范围．
（3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围．
【解析】（1）由题意知：，
解得，，所以不动点为和．
（2）依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得
（3）由题知：，
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即（），解得，所以的取值范围是．
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