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云南省2023_2024学年高二数学上学期9月月考试题含解析
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这是一份云南省2023_2024学年高二数学上学期9月月考试题含解析，共13页。试卷主要包含了若，则，“”是“直线与圆相交”的，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数的虚部是实部的2倍，则实数（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
3.若，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.“”是“直线与圆相交”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.甲､乙､丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数在时有最大值，且在区间上单调递增，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8.若，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.某机床生产一种零件，在8天中每天生产的次品数分别为，关于该组数据，下列说法正确的是（ ）
A.中位数为3 B.极差为6
C.第40百分位数为4 D.方差为4.75
10.下列说法正确的是（ ）
A.直线的倾斜角的取值范围是
B.点关于直线的对称点为
C.过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D.直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为
11.已知，两直线，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C.的最小值为 D.的最小值为9
12.如图，在正方体中，点为的中点，点为线段上的动点（不含端点），则下列命题正确的是（ ）
A.存在点，使得平面
B.存在点，使得平面
C.对任意点
D.对任意点，过点的平面截正方体表面得到的图形始终是梯形
第II卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数是奇函数，则__________.
14.若直线过点且与平行，则直线的一般方程为__________.
15.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱为一“堑堵”，其中，且该“堑堵”外接球的表面积为，则该“堑堵”的高为__________.
16.点在曲线上，则的取值范围为__________.
四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在中，设所对的边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
18.（本小题满分12分）
某市在创建国家级卫生城（简称“创卫”）的过程中，相关部门需了解市民对“创卫”工作的满意程度，若市民满意指数（满意指数）不低于0.8，“创卫”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了100名市民，根据这100名市民对“创卫”工作满意程度给出的评分，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的值；
（2）为了解部分市民给“创卫”工作评分较低的原因，该部门从评分低于70分的市民中用分层抽样的方法随机选取8人进行座谈，求应选取评分在的市民人数；
（3）假设同组中的每个数据用该组的中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该市“创卫”工作是否需要进一步整改，并说明理由.
19.（本小题满分12分）
已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相交于两点，若为直角三角形，求直线的方程.
20.（本小题满分12分）
与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲､乙､丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲､丙两个家庭都回答错误的概率是.乙､丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响.
（1）分别求乙､丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲､乙､丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
21.（本小题满分12分）
如图甲，在直角梯形中，是的中点，是与的交点.将沿折起到.的位置，如图乙.
（1）证明：平面.；
（2）若二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.
22.（本小题满分12分）
已知点，圆的半径为1.
（1）若圆的圆心坐标为，过点作圆的切线，求此切线的方程；
（2）若圆的圆心在直线上，且圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围.
下关一中教育集团2023~2024学年高二年级上学期段考（一）
数学参考答案
第I卷（选择题，共60分）
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
【解析】
1.由不等式，分解因式可得，解得，则，所以，故选C.
2.的虚部是实部的2倍，，解得，故选D.
3.由，得，所以，因为，所以，所以，所以，故选A.
4.如图，令，以为邻边作平行四边形，则，即为，对角线相等，所以平行四边形为矩形，则在方向上的投影向量，即为在方向上的投影向量，故选.
5.直线与圆相交，显然，推不出，而可推出，故是必要不充分条件，故选B.
6.设甲､乙､丙三人用，由题意可知：传球的方式有以下形式，，，所求概率为，故选B.
7.在时取得最大值，即，可得，所以，又因为在上单调递增，所以且，解得，当时，，所以的最大值为，故选C.
8.因为，令，其中，因为函数在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，因为，即，故，则，所以，，则，A错B对；无法确定与1的大小，故与0的大小无法确定，CD都错，故选A.
二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
【解析】
9.将这组数据从小到大排列为，所以中位数为，故A错误；极差为，故B正确；因为数据共有8个，所以，所以第40百分位数是4，故C正确；设平均数为，方差为，则，，故D正确，故选BCD.
10.对：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故A正确；对B：点和的中点在直线上，且连线的斜率为，可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确；对：设直线与轴交点为，则与轴交点为，当时，直线过原点，斜率为，故方程为；当时，直线的斜率，故直线方程为，即，故C错误；对D：设直线的倾斜角为，则，故，故D正确，故选ABD.
11.，两直线，且，即，所以，当且仅当，即时取等号，则的最小值为，故选AC.
12.对于，如图，分别取的中点，由
且，面，而面，则面，
又且，面，而面，则面，
因为，且面，
所以面面，又总与面相交于点，
所以不存在这样的点使得面，即不存在这样的点使得平面，故错误；
对于，如图，在正方体中，由在面上的射影为，则，又在面上的射影为，则，又，且面，所以面，当，即为中点时，平面，所以存在这样的点，使得平面，故B正确；
对于C，如图所示，在正方体中，有面面，又，且面，则面，所以点和点到面的距离相等，所以，故C正确；
对于，如图，过点的平面截正方体表面得到四边形，且与不平行，所以四边形始终是梯形，所以正确，故选.
第II卷（非选择题，共90分）
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13.因为，故，因为为奇函数，故，时，，整理得到，故.
14.因为直线的斜率是：，且直线与平行，直线的斜率也为-2，故直线的方程是：，整理得.
15.如图，将三棱柱补成长方体，则三棱柱的外接球即为长方体的外接球，设球的半径为，该“堑堵”的高为，由题意可得解得，所以该“堑堵”的高为.
16.如图，曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，表示点到直线距离的5倍.由点到直线的距离公式得，所以直线与圆相离，的最小值为的最大值为，则的取值范围为.
四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（1）因为，
由余弦定理得，
即
所以.又，
所以.
（2）由余弦定理得：，则，
，解得，
所以.
18.（本小题满分12分）
解：（1）依题意得：，得.
（2）由频率分布直方图知，评分在的市民人数为；
评分在的市民人数为；
评分在的市民人数，
故应选取评分在的市民人数为.
（3）由频率分布直方图可得满意程度平均分为
，
则满意指数，故该市“创卫”工作需要进一步整改.
19.（本小题满分12分）
解：（1）由题意，设圆心，由于圆与轴相切，
半径，
又圆过点，解得，
圆方程为.
（2）由圆方程易知直线的斜率存在，
故设，即，
设到的距离为，
则，
为直角三角形，，
或，
故直线的方程为或.
20.（本小题满分12分）
解：（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，
则，
即，
所以，
所以乙､丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为.
（2）有3个家庭回答正确的概率为
有2个家庭回答正确的概率为
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
21.（本小题满分12分）
（1）证明：在图甲中，因为是的中点，，
故四边形为正方形，所以，
即在图乙中，，
又平面，
所以平面.
又，所以四边形是平行四边形，
所以，所以平面.
（2）解：由已知，平面平面，
又由（1）知，，
所以为二面角的平面角，
所以，
如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，
，
设平面的一个法向量为，
因为，
令，
故平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角的平面角为，
从而，
故直线与平面所成角的正弦值为.
22.（本小题满分12分）
解：（1）由题意得圆标准方程为，
当切线的斜率存在时，设切线方程为，
由，解得：，
当切线的斜率不存在时，切线方程为，满足题意；
所以切线的方程为或.
（2）由圆心在直线上，设，
设点，由，
得：，
化简得：，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上.
又点在圆上，所以圆与圆有交点，
则，即，
解得：或.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
A
B
B
C
A
题号
9
10
11
12
答案
BCD
ABD
AC
BCD
题号
13
14
15
16
答案
1
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数的虚部是实部的2倍，则实数（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
3.若，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.“”是“直线与圆相交”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.甲､乙､丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数在时有最大值，且在区间上单调递增，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8.若，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.某机床生产一种零件，在8天中每天生产的次品数分别为，关于该组数据，下列说法正确的是（ ）
A.中位数为3 B.极差为6
C.第40百分位数为4 D.方差为4.75
10.下列说法正确的是（ ）
A.直线的倾斜角的取值范围是
B.点关于直线的对称点为
C.过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D.直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为
11.已知，两直线，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C.的最小值为 D.的最小值为9
12.如图，在正方体中，点为的中点，点为线段上的动点（不含端点），则下列命题正确的是（ ）
A.存在点，使得平面
B.存在点，使得平面
C.对任意点
D.对任意点，过点的平面截正方体表面得到的图形始终是梯形
第II卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数是奇函数，则__________.
14.若直线过点且与平行，则直线的一般方程为__________.
15.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱为一“堑堵”，其中，且该“堑堵”外接球的表面积为，则该“堑堵”的高为__________.
16.点在曲线上，则的取值范围为__________.
四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在中，设所对的边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
18.（本小题满分12分）
某市在创建国家级卫生城（简称“创卫”）的过程中，相关部门需了解市民对“创卫”工作的满意程度，若市民满意指数（满意指数）不低于0.8，“创卫”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了100名市民，根据这100名市民对“创卫”工作满意程度给出的评分，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的值；
（2）为了解部分市民给“创卫”工作评分较低的原因，该部门从评分低于70分的市民中用分层抽样的方法随机选取8人进行座谈，求应选取评分在的市民人数；
（3）假设同组中的每个数据用该组的中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该市“创卫”工作是否需要进一步整改，并说明理由.
19.（本小题满分12分）
已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相交于两点，若为直角三角形，求直线的方程.
20.（本小题满分12分）
与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲､乙､丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲､丙两个家庭都回答错误的概率是.乙､丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响.
（1）分别求乙､丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲､乙､丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
21.（本小题满分12分）
如图甲，在直角梯形中，是的中点，是与的交点.将沿折起到.的位置，如图乙.
（1）证明：平面.；
（2）若二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.
22.（本小题满分12分）
已知点，圆的半径为1.
（1）若圆的圆心坐标为，过点作圆的切线，求此切线的方程；
（2）若圆的圆心在直线上，且圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围.
下关一中教育集团2023~2024学年高二年级上学期段考（一）
数学参考答案
第I卷（选择题，共60分）
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
【解析】
1.由不等式，分解因式可得，解得，则，所以，故选C.
2.的虚部是实部的2倍，，解得，故选D.
3.由，得，所以，因为，所以，所以，所以，故选A.
4.如图，令，以为邻边作平行四边形，则，即为，对角线相等，所以平行四边形为矩形，则在方向上的投影向量，即为在方向上的投影向量，故选.
5.直线与圆相交，显然，推不出，而可推出，故是必要不充分条件，故选B.
6.设甲､乙､丙三人用，由题意可知：传球的方式有以下形式，，，所求概率为，故选B.
7.在时取得最大值，即，可得，所以，又因为在上单调递增，所以且，解得，当时，，所以的最大值为，故选C.
8.因为，令，其中，因为函数在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，因为，即，故，则，所以，，则，A错B对；无法确定与1的大小，故与0的大小无法确定，CD都错，故选A.
二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
【解析】
9.将这组数据从小到大排列为，所以中位数为，故A错误；极差为，故B正确；因为数据共有8个，所以，所以第40百分位数是4，故C正确；设平均数为，方差为，则，，故D正确，故选BCD.
10.对：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故A正确；对B：点和的中点在直线上，且连线的斜率为，可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确；对：设直线与轴交点为，则与轴交点为，当时，直线过原点，斜率为，故方程为；当时，直线的斜率，故直线方程为，即，故C错误；对D：设直线的倾斜角为，则，故，故D正确，故选ABD.
11.，两直线，且，即，所以，当且仅当，即时取等号，则的最小值为，故选AC.
12.对于，如图，分别取的中点，由
且，面，而面，则面，
又且，面，而面，则面，
因为，且面，
所以面面，又总与面相交于点，
所以不存在这样的点使得面，即不存在这样的点使得平面，故错误；
对于，如图，在正方体中，由在面上的射影为，则，又在面上的射影为，则，又，且面，所以面，当，即为中点时，平面，所以存在这样的点，使得平面，故B正确；
对于C，如图所示，在正方体中，有面面，又，且面，则面，所以点和点到面的距离相等，所以，故C正确；
对于，如图，过点的平面截正方体表面得到四边形，且与不平行，所以四边形始终是梯形，所以正确，故选.
第II卷（非选择题，共90分）
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13.因为，故，因为为奇函数，故，时，，整理得到，故.
14.因为直线的斜率是：，且直线与平行，直线的斜率也为-2，故直线的方程是：，整理得.
15.如图，将三棱柱补成长方体，则三棱柱的外接球即为长方体的外接球，设球的半径为，该“堑堵”的高为，由题意可得解得，所以该“堑堵”的高为.
16.如图，曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，表示点到直线距离的5倍.由点到直线的距离公式得，所以直线与圆相离，的最小值为的最大值为，则的取值范围为.
四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（1）因为，
由余弦定理得，
即
所以.又，
所以.
（2）由余弦定理得：，则，
，解得，
所以.
18.（本小题满分12分）
解：（1）依题意得：，得.
（2）由频率分布直方图知，评分在的市民人数为；
评分在的市民人数为；
评分在的市民人数，
故应选取评分在的市民人数为.
（3）由频率分布直方图可得满意程度平均分为
，
则满意指数，故该市“创卫”工作需要进一步整改.
19.（本小题满分12分）
解：（1）由题意，设圆心，由于圆与轴相切，
半径，
又圆过点，解得，
圆方程为.
（2）由圆方程易知直线的斜率存在，
故设，即，
设到的距离为，
则，
为直角三角形，，
或，
故直线的方程为或.
20.（本小题满分12分）
解：（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，
则，
即，
所以，
所以乙､丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为.
（2）有3个家庭回答正确的概率为
有2个家庭回答正确的概率为
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
21.（本小题满分12分）
（1）证明：在图甲中，因为是的中点，，
故四边形为正方形，所以，
即在图乙中，，
又平面，
所以平面.
又，所以四边形是平行四边形，
所以，所以平面.
（2）解：由已知，平面平面，
又由（1）知，，
所以为二面角的平面角，
所以，
如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，
，
设平面的一个法向量为，
因为，
令，
故平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角的平面角为，
从而，
故直线与平面所成角的正弦值为.
22.（本小题满分12分）
解：（1）由题意得圆标准方程为，
当切线的斜率存在时，设切线方程为，
由，解得：，
当切线的斜率不存在时，切线方程为，满足题意；
所以切线的方程为或.
（2）由圆心在直线上，设，
设点，由，
得：，
化简得：，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上.
又点在圆上，所以圆与圆有交点，
则，即，
解得：或.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
A
B
B
C
A
题号
9
10
11
12
答案
BCD
ABD
AC
BCD
题号
13
14
15
16
答案
1
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