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精品解析：广东省深圳市北大附中南山分校（深圳南山为明学校）2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷
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北大附中南山分校（深圳南山为明学校）2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1. 下列四个几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：A．圆柱的俯视图是圆，故本选项不合题意；
B．正方体的俯视图是正方形，故本选项不合题意；
C．棱台的俯视图是里外两个矩形，故本选项不合题意；
D．三棱柱的俯视图是里外两个三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的三视图的含义，掌握“立体图形的俯视图的含义”是解本题的关键．
2. 已知，是的两个根，则是（ ）
A. B. 4 C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可求得的值．
【详解】解：∵，是的两个根，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
3. 2019年我国全年出生人口为1465万人，“1465万”用科学记数法表示为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到的后面，所以
【详解】解：万
故选：
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数与反比例函数的性质，判断图象经过的象限即可得出结果．
【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合题意；
时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数的图象判断，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本性质是解题关键．
5. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC.若S△BDE：S△ADE=1:2.则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依次证明和，利用相似三角形的性质解题.
【详解】∵，
∴，
∴，
∵∥，
∴，
∴，
∵∥，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
6. 如图，点，，以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，则点D的横坐标为（ ）
A. 2 B. 2或-2
C. D. 或-
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似变换的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，
∵点B的横坐标为3，
∴点B的对应点D的横坐标为或，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形性质是解题关键．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 若点C是线段AB的黄金分割点，AB=2，则AC=
B. 平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积
C. 两个正六边形一定位似
D. 菱形的两条对角线互相垂直且相等
【答案】B
【解析】
【分析】A.根据黄金分割点的定义，AC可能是较长线段，也可能是较短线段,分情况讨论即可；
B.矩形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形，面积当然相等；
C.按照相似与位似关系判断即可；
D.利用菱形的性质判断即可.
【详解】A. 解：根据题意得：
当AC是较长线段时，,
当AC是较短线段时，,，故此项错误；
B. 平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，如图：
，故此项正确；
C.位似图形一定相似，相似图形不一定位似，两个正六边形一定相似，但不一定位似，故此项错误；
D. 菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，对角线一定相等的是矩形,故此项错误.
故选B.
【点睛】此题考查了黄金分割、位似与相似的关系、矩形菱形的性质是解题的关键，特别注意A中应分类讨论，这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为，．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．
【详解】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图
∵P（3，2），A（0，1），B（4，1）．
∴PD＝1，PE＝2，AB＝4，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴，即
∴A′B′＝8，
故选择：D．
【点睛】本题考查了中心投影和三角形相似，引出辅助线利用三角形相似的性质求解是本题的关键．
9. 二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点，下列说法①②③；④是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】D
【解析】
【分析】结合抛物线的开口方向，与y轴交点，对称轴判断①正确；将代入解析式即可判断③正确；根据对称轴公式求出，代入③判断②正确；根据抛物线开口方向、对称轴及两个点到对称轴的距离判断④正确；根据顶点坐标得到抛物线的最大值为此时，当时，，由此判断⑤正确．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，且交y轴于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数经过点，
∴，故③正确；
∵，
∴，
将代入中，得，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为，且，
∴，故④正确；
当时，y有最大值，此时，
当时，，
∴（其中），故⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要熟练掌握二次函数各系数的意义以及它们与二次函数之间的联系．
10. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，点F在射线上，且，过点F作的平行线交的延长线于点与相交于点G，连接．下列结论：①；②的周长为8；③；④的面积为6.8．其中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】由“”可证，可得，可证是等腰直角三角形，可得，故①正确；
由勾股定理可求的长，通过证明，可求，由勾股定理可求的长，则可求的周长，故②正确；
利用勾股定理可求长，可得的长，利用相似三角形的判定可证，故③正确；
先求出的面积，即可求的面积为6.8，故④正确．
【详解】解：如图，正方形中，，
，
，
，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，故①正确；
在中，，
，
，
过点作于，交于，
，
∴四边形是矩形，
，
∴矩形是正方形，
，
同理：四边形是矩形，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，
的周长，故②正确；
，
，
又，
，故③正确；
，故④正确；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键．
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 如图，D是斜边AB的中点，若，则_____cm．
【答案】6
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半解答．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴AB=2CD=6cm，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
12. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______.
【答案】0
【解析】
【分析】将代入方程中，可求出m的两个解，然后根据一元二次方程的定义即可判断m可取的值.
【详解】解：将代入一元二次方程中，得
解得：
∵是一元二次方程
∴
解得
故m=0
故答案为：0.
【点睛】此题考查的是一元二次方程的定义和解，掌握一元二次方程的二次项系数不为0和解的定义是解决此题的关键.
13. 二次函数的顶点坐标为______________．
【答案】（-1，2）
【解析】
【分析】先把二次函数解析式化为顶点式，进而即可得到答案．
【详解】∵，
∴二次函数的顶点坐标为（-1，2），
故答案是：（-1，2）．
【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握配方法把二次函数解析式的一般形式化为顶点式，是解题的关键．
14. 有两个全等矩形纸条，长与宽分别为10和6，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为___．
【答案】##27.2
【解析】
【分析】由题意得出∠A=90°，AB=BE=6，AD∥BC，BF∥DE，AD=10，证四边形BGDH是菱形，得出BH=DH=DG=BG，设BH=DH=x，则AH=10-x，在Rt△ABH中，由勾股定理得出方程，解方程求出BH，即可求解．
【详解】解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A=90°，AB=BE=6，AD∥BC，BF∥DE，AD=10，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积=BG×AB=BH×BE，
∴BG=BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH=DH=DG=BG，
设BH=DH=x，则AH=10-x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（10-x）2=x2，
解得：x=，
∴BH=，
∴四边形BGDH的周长=4BH=．
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；证明四边形BGDH为菱形是解题的关键．
15. 如图，直线与双曲线相交于A、B两点，以AB为边作正方形ABCD，则正方形ABCD面积最小值为______．
【答案】48
【解析】
【分析】图见解析，过A点垂直于x轴作线段AE，过B点垂直于y轴作线段BE，根据双曲线y=过A，B两点，可设A（a，），B（b，），则E（a，），用A、B、E的坐标分别求出AE、BE的长度，最后通过勾股定理求出正方形AB的长度，正方形形ABCD的面积．将y=x+m代入y=，整理得x2+mx-6=0，由于直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，所以a、b是方程x2+mx-6=0的两个根，根据根与系数的关系得出a+b=-m，ab=-6，利用韦达定理化简正方形的面积表达式即可求出正方形的面积最小值．
【详解】解：如图所示，过A点垂直于x轴作线段AE，过B点垂直于y轴作线段BE，AE、BE相交于点E，且∠AEB=90°，
设A（a，），B（b，），则E（a，），
，，
在直角三角形AEB中，根据勾股定理可得：
将y=x+m代入y=，整理得x2+mx-6=0，
则a+b=-m，ab=-6，
∴．
∵正方形ABCD的面积=
∴当m=0时，正方形ABCD的面积有最小值48．
故答案为：48．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正方形的面积，二次函数的性质．
三．解答题（共55分）
16. 解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）将原式变形，然后运用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）直接运用公式解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
移项得：，
因式分解得：，
或，
，；
【小问2详解】
，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方法是解本题的关键．
17. 化简求值，，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可得到答案．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是正确的因式分解约分．
18. 为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：
（1）n的值为______，并补全条形统计图；
（2）若该校学生共有人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；
（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．
【答案】（1），条形统计图见解析
（2）估计该校喜爱看电视的学生人数为人
（3）恰好抽到2名男生的概率为
【解析】
【分析】（1）用喜爱社会实践人数除以它所占的百分比得到n的值；
（2）先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比可估计该校喜爱看电视的学生人数；
（3）画树状图展示种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：．
样本中喜爱看电视的人数为（人）．
【小问2详解】
（人），
所以估计该校喜爱看电视的学生人数为人；
【小问3详解】
画树状图为：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到2名男生的结果数为6，
所以恰好抽到2名男生的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
19. 如图，矩形的对角线相交于点，，，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据，，可得四边形是平行四边形，根据四边形是矩形可得，即可得证；
（2）根据题意求得，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，继而求得，连接，根据菱形的性质与矩形的性质可得，可得．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵四边形是菱形，
∴，
又，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
20. 2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）；
（2）每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
【解析】
【分析】（1）根据 “该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．”列出函数关系式，即可求解；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，得
与x之间的函数关系式是．
【小问2详解】
解：根据题意，得
∴抛物线开口向下，W有最大值
当时，
答：每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
21. 已知是关于的一元二次方程的两实数根．
（1）求的取值范围；
（2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
（3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积．
【答案】（1）且
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于0，根据一元二次方程的定义得出，即可求解；
（2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，进而即可求解；
（3）由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：，且，
化简得：，
解得：且；
【小问2详解】
由题意知：恰好是等腰的腰长，
∴，
∵是关于的一元二次方程的两实数根，
∴，
解得，
∴，
解得，
∵，
∴的周长为：；
【小问3详解】
由(2)知：的三边长为，
∴5，
∴，
过分别作，，，垂足分别为，
∵是△ABC角平分线的交点，
∴，
∴
，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
22. 如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2）如图2，点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；
（3）如图3，以线段为对角线作正方形，点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【答案】（1）
（2），或，或，
（3），不发生改变，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
（2）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
（3）连接、、，易证，故，，由此即可得出结论．
【小问1详解】
解：，
，解得：，
，，
E为中点，
，
设，
又，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，
反比例函数的解析式为，
点P在双曲线上，点Q在y轴上，
设，，
①当为边时：
如图1，若为平行四边形，
则，解得，
此时，；
如图2，若为平行四边形，
则，解得，
此时，；
②如图3，当为对角线时，
，且；
，解得，
，；
综上：，或，或，；
【小问3详解】
解：的值不发生改变，
理由：如图4，连接、、，
是线段垂直平分线，
，
四边形是正方形，
，
在与中，
，
（），
，,
，
四边形中，，而，
所以，，
因为，四边形内角和为，
所以，
， ，
即的值不发生改变．
【点睛】本题考查了非负数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的存在性问题，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，四边形的内角和，直角三角形的性质等知识点，有一定的难度，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能灵活运用．
北大附中南山分校（深圳南山为明学校）2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1. 下列四个几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：A．圆柱的俯视图是圆，故本选项不合题意；
B．正方体的俯视图是正方形，故本选项不合题意；
C．棱台的俯视图是里外两个矩形，故本选项不合题意；
D．三棱柱的俯视图是里外两个三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的三视图的含义，掌握“立体图形的俯视图的含义”是解本题的关键．
2. 已知，是的两个根，则是（ ）
A. B. 4 C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可求得的值．
【详解】解：∵，是的两个根，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
3. 2019年我国全年出生人口为1465万人，“1465万”用科学记数法表示为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到的后面，所以
【详解】解：万
故选：
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数与反比例函数的性质，判断图象经过的象限即可得出结果．
【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合题意；
时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数的图象判断，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本性质是解题关键．
5. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC.若S△BDE：S△ADE=1:2.则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依次证明和，利用相似三角形的性质解题.
【详解】∵，
∴，
∴，
∵∥，
∴，
∴，
∵∥，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
6. 如图，点，，以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，则点D的横坐标为（ ）
A. 2 B. 2或-2
C. D. 或-
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似变换的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，
∵点B的横坐标为3，
∴点B的对应点D的横坐标为或，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形性质是解题关键．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 若点C是线段AB的黄金分割点，AB=2，则AC=
B. 平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积
C. 两个正六边形一定位似
D. 菱形的两条对角线互相垂直且相等
【答案】B
【解析】
【分析】A.根据黄金分割点的定义，AC可能是较长线段，也可能是较短线段,分情况讨论即可；
B.矩形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形，面积当然相等；
C.按照相似与位似关系判断即可；
D.利用菱形的性质判断即可.
【详解】A. 解：根据题意得：
当AC是较长线段时，,
当AC是较短线段时，,，故此项错误；
B. 平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，如图：
，故此项正确；
C.位似图形一定相似，相似图形不一定位似，两个正六边形一定相似，但不一定位似，故此项错误；
D. 菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，对角线一定相等的是矩形,故此项错误.
故选B.
【点睛】此题考查了黄金分割、位似与相似的关系、矩形菱形的性质是解题的关键，特别注意A中应分类讨论，这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为，．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．
【详解】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图
∵P（3，2），A（0，1），B（4，1）．
∴PD＝1，PE＝2，AB＝4，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴，即
∴A′B′＝8，
故选择：D．
【点睛】本题考查了中心投影和三角形相似，引出辅助线利用三角形相似的性质求解是本题的关键．
9. 二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点，下列说法①②③；④是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】D
【解析】
【分析】结合抛物线的开口方向，与y轴交点，对称轴判断①正确；将代入解析式即可判断③正确；根据对称轴公式求出，代入③判断②正确；根据抛物线开口方向、对称轴及两个点到对称轴的距离判断④正确；根据顶点坐标得到抛物线的最大值为此时，当时，，由此判断⑤正确．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，且交y轴于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数经过点，
∴，故③正确；
∵，
∴，
将代入中，得，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为，且，
∴，故④正确；
当时，y有最大值，此时，
当时，，
∴（其中），故⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要熟练掌握二次函数各系数的意义以及它们与二次函数之间的联系．
10. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，点F在射线上，且，过点F作的平行线交的延长线于点与相交于点G，连接．下列结论：①；②的周长为8；③；④的面积为6.8．其中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】由“”可证，可得，可证是等腰直角三角形，可得，故①正确；
由勾股定理可求的长，通过证明，可求，由勾股定理可求的长，则可求的周长，故②正确；
利用勾股定理可求长，可得的长，利用相似三角形的判定可证，故③正确；
先求出的面积，即可求的面积为6.8，故④正确．
【详解】解：如图，正方形中，，
，
，
，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，故①正确；
在中，，
，
，
过点作于，交于，
，
∴四边形是矩形，
，
∴矩形是正方形，
，
同理：四边形是矩形，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，
的周长，故②正确；
，
，
又，
，故③正确；
，故④正确；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键．
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 如图，D是斜边AB的中点，若，则_____cm．
【答案】6
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半解答．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴AB=2CD=6cm，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
12. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______.
【答案】0
【解析】
【分析】将代入方程中，可求出m的两个解，然后根据一元二次方程的定义即可判断m可取的值.
【详解】解：将代入一元二次方程中，得
解得：
∵是一元二次方程
∴
解得
故m=0
故答案为：0.
【点睛】此题考查的是一元二次方程的定义和解，掌握一元二次方程的二次项系数不为0和解的定义是解决此题的关键.
13. 二次函数的顶点坐标为______________．
【答案】（-1，2）
【解析】
【分析】先把二次函数解析式化为顶点式，进而即可得到答案．
【详解】∵，
∴二次函数的顶点坐标为（-1，2），
故答案是：（-1，2）．
【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握配方法把二次函数解析式的一般形式化为顶点式，是解题的关键．
14. 有两个全等矩形纸条，长与宽分别为10和6，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为___．
【答案】##27.2
【解析】
【分析】由题意得出∠A=90°，AB=BE=6，AD∥BC，BF∥DE，AD=10，证四边形BGDH是菱形，得出BH=DH=DG=BG，设BH=DH=x，则AH=10-x，在Rt△ABH中，由勾股定理得出方程，解方程求出BH，即可求解．
【详解】解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A=90°，AB=BE=6，AD∥BC，BF∥DE，AD=10，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积=BG×AB=BH×BE，
∴BG=BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH=DH=DG=BG，
设BH=DH=x，则AH=10-x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（10-x）2=x2，
解得：x=，
∴BH=，
∴四边形BGDH的周长=4BH=．
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；证明四边形BGDH为菱形是解题的关键．
15. 如图，直线与双曲线相交于A、B两点，以AB为边作正方形ABCD，则正方形ABCD面积最小值为______．
【答案】48
【解析】
【分析】图见解析，过A点垂直于x轴作线段AE，过B点垂直于y轴作线段BE，根据双曲线y=过A，B两点，可设A（a，），B（b，），则E（a，），用A、B、E的坐标分别求出AE、BE的长度，最后通过勾股定理求出正方形AB的长度，正方形形ABCD的面积．将y=x+m代入y=，整理得x2+mx-6=0，由于直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，所以a、b是方程x2+mx-6=0的两个根，根据根与系数的关系得出a+b=-m，ab=-6，利用韦达定理化简正方形的面积表达式即可求出正方形的面积最小值．
【详解】解：如图所示，过A点垂直于x轴作线段AE，过B点垂直于y轴作线段BE，AE、BE相交于点E，且∠AEB=90°，
设A（a，），B（b，），则E（a，），
，，
在直角三角形AEB中，根据勾股定理可得：
将y=x+m代入y=，整理得x2+mx-6=0，
则a+b=-m，ab=-6，
∴．
∵正方形ABCD的面积=
∴当m=0时，正方形ABCD的面积有最小值48．
故答案为：48．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正方形的面积，二次函数的性质．
三．解答题（共55分）
16. 解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）将原式变形，然后运用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）直接运用公式解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
移项得：，
因式分解得：，
或，
，；
【小问2详解】
，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方法是解本题的关键．
17. 化简求值，，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可得到答案．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是正确的因式分解约分．
18. 为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：
（1）n的值为______，并补全条形统计图；
（2）若该校学生共有人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；
（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．
【答案】（1），条形统计图见解析
（2）估计该校喜爱看电视的学生人数为人
（3）恰好抽到2名男生的概率为
【解析】
【分析】（1）用喜爱社会实践人数除以它所占的百分比得到n的值；
（2）先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比可估计该校喜爱看电视的学生人数；
（3）画树状图展示种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：．
样本中喜爱看电视的人数为（人）．
【小问2详解】
（人），
所以估计该校喜爱看电视的学生人数为人；
【小问3详解】
画树状图为：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到2名男生的结果数为6，
所以恰好抽到2名男生的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
19. 如图，矩形的对角线相交于点，，，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据，，可得四边形是平行四边形，根据四边形是矩形可得，即可得证；
（2）根据题意求得，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，继而求得，连接，根据菱形的性质与矩形的性质可得，可得．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵四边形是菱形，
∴，
又，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
20. 2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）；
（2）每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
【解析】
【分析】（1）根据 “该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．”列出函数关系式，即可求解；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，得
与x之间的函数关系式是．
【小问2详解】
解：根据题意，得
∴抛物线开口向下，W有最大值
当时，
答：每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
21. 已知是关于的一元二次方程的两实数根．
（1）求的取值范围；
（2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
（3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积．
【答案】（1）且
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于0，根据一元二次方程的定义得出，即可求解；
（2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，进而即可求解；
（3）由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：，且，
化简得：，
解得：且；
【小问2详解】
由题意知：恰好是等腰的腰长，
∴，
∵是关于的一元二次方程的两实数根，
∴，
解得，
∴，
解得，
∵，
∴的周长为：；
【小问3详解】
由(2)知：的三边长为，
∴5，
∴，
过分别作，，，垂足分别为，
∵是△ABC角平分线的交点，
∴，
∴
，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
22. 如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2）如图2，点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；
（3）如图3，以线段为对角线作正方形，点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【答案】（1）
（2），或，或，
（3），不发生改变，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
（2）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
（3）连接、、，易证，故，，由此即可得出结论．
【小问1详解】
解：，
，解得：，
，，
E为中点，
，
设，
又，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，
反比例函数的解析式为，
点P在双曲线上，点Q在y轴上，
设，，
①当为边时：
如图1，若为平行四边形，
则，解得，
此时，；
如图2，若为平行四边形，
则，解得，
此时，；
②如图3，当为对角线时，
，且；
，解得，
，；
综上：，或，或，；
【小问3详解】
解：的值不发生改变，
理由：如图4，连接、、，
是线段垂直平分线，
，
四边形是正方形，
，
在与中，
，
（），
，,
，
四边形中，，而，
所以，，
因为，四边形内角和为，
所以，
， ，
即的值不发生改变．
【点睛】本题考查了非负数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的存在性问题，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，四边形的内角和，直角三角形的性质等知识点，有一定的难度，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能灵活运用．
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