2015-2016学年深圳市南山区北大附中南山分校九上期中数学试卷

这是一份2015-2016学年深圳市南山区北大附中南山分校九上期中数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若 2a=3b，则 a:b 等于
A. 3:2B. 2:3C. −2:3D. −3:2

2. 若 x1，x2 是一元二次方程 x2−5x+6=0 的两个根，则 x1+x2 的值是
A. 1B. 5C. −5D. 6

3. 若关于 x 的一元二次方程 kx2−2x−1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
A. k>−1B. k>−1 且 k≠0
C. k<1D. k<1 且 k≠0

4. 下列命题中，真命题是
A. 两条对角线相等的四边形是矩形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

5. 已知线段 AB=1，C 是线段 AB 的黄金分割点，则 AC 的长度为
A. 5−12B. 3−52
C. 5−12 或 3−52D. 以上都不对

6. 已知反比例函数 y=1−kx，当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的值可以是
A. −1B. 0C. 1D. 2

7. 如图，已知 DE∥BC，CD 和 BE 相交于点 O，S△DOE:S△COB=4:9，则 AE:EC 为
A. 2:1B. 2:3C. 4:9D. 5:4

8. 一次函数 y=x+mm≠0 与反比例函数 y=mx 在同一平面直角坐标系中的图象是
A. B.
C. D.

9. 如图，在反比例函数 y=2xx>0 的图象上，有点 P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为 1，2，3，4．分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S1，S2，S3，则 S1+S2+S3=
A. 1B. 1.5C. 2D. 无法确定

10. 在下列 4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与 △ABC 相似的是
A. B.
C. D.

11. 为丰富学生的学习生活，学校举行绘画展，小强所绘长为 80 cm，宽为 50 cm 的图画被选中去参加展览，在图画四周镶上一条等宽的金边装裱成一幅矩形挂图后，图画的面积是整个挂图面积的 2027．若设金边的宽度为 x cm，那么 x 满足的方程是
A. 80+2x50+2x×2027=80×50
B. 80+2x50+2x=80×50×2027
C. 80−2x50−2x×2027=80×50
D. 80−2x50−2x=80×50×2027

12. 如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子 CD 的长为 1 米，继续往前走 3 米到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高度 AB 等于
A. 4.5 米B. 6 米C. 7.2 米D. 8 米

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知点 A2,m 在函数 y=2x 的图象上，那么 m= ．

14. 如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成的影子（圆形）的示意图．已知桌面直径为 1.2 m，桌面离地面 1 m．若灯泡离地面 3 m，则地面上阴影部分的面积为 m2．

15. 已知点 A−2.1,y1，B−1.3,y2，C4,y3 都在反比例函数 y=−2x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系（从大到小）为 ．

16. 如图，菱形 ABCD 对角线长分别为 a，b，以菱形 ABCD 各边中点为顶点作矩形 A1B1C1D1，然后再以矩形 A1B1C1D1 各边中点为顶点作菱形 A2B2C2D2，⋯，则四边形 A2012B2012C2012D2012 面积用含 a，b 的代数式表示为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
17. 解方程．
（1）3x2−6x−1=0；
（2）x2−2x−3=0；
（3）x−12−2x1−x=0．
（4）用配方法解方程 x2+8x+15=0．

18. 已知：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线 EF 与 AD，AC，BC 分别交于点 E，O，F．
（1）求证：四边形 AFCE 是菱形：
（2）若 AB=5，BC=12，求 AE 的长．

19. 若反比例函数 y=6x 与正比例函数 y=mx 的图象相交于点 Aa,2 与点 B．
（1）求点 A 和点 B 的坐标；
（2）求正比例函数 y=mx 的解析式；
（3）C1,n 为反比例函数上一点，求 △AOC 的面积．

20. 如图，△ABC 中，∠C=90∘，AC=3 cm，BC=4 cm，动点 P 从点 B 出发以 2 cm/s 的速度向点 C 移动，同时动点 Q 从 点 C 出发以 1 cm/s 的速度向点 A 移动，其中一点到达终点后另一点也随之停止运动，设它们的运动时间为 t s．
（1）t 为何值时，△CPQ 的面积等于 △ABC 面积的 18?
（2）运动几秒时，△CPQ 与 △CBA 相似?
（3）在运动过程中，PQ 的长度能否为 1 cm?试说明理由．

21. 如图，点 P 是双曲线 y=k1xk1<0,x<0 上一动点，过点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线，分别交 x 轴、 y 轴于 A，B 两点，交双曲线 y=k2x0（1）图 1 中，四边形 PEOF 的面积 S1= （用含 k1，k2 的式子表示）；
（2）图 2 中，设 P 点坐标为 −4,3．
① 判断 EF 与 AB 的位置关系，并证明你的结论；
② 记 S2=S△PEF−S△OEF，S2 是否有最小值?若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. B【解析】∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴b2−4ac=−22−4⋅k⋅−1=4+4k>0，即 k>−1．
又 ∵ 方程为一元二次方程，
∴k≠0．
∴k>−1 且 k≠0．
4. D
5. C
6. D
7. A
8. C
9. B
10. B
11. A
12. B
第二部分
13. 1
14. 0.81π
15. y2>y1>y3
16. ab22013
第三部分
17. （1）
Δ=−62−4×3×−1=48.
x=6±482×3=3±233.
所以
x1=3+233,x2=3−233.
（2）
x−3x+1=0,x−3=0或x+1=0.
所以
x1=3,x2=−1.
（3）
x−12+2xx−1=0,x−1x−1+2x=0,x−13x−1=0,x−1=0或3x−1=0.
所以
x1=1,x2=13.
（4）
x2+8x+16=1,x+42=1,x+4=±1.
所以
x1=−3,x2=−5.
18. （1） 因为 EF 是 AC 的垂直平分线，
所以 AO=OC，∠AOE=∠COF=90∘，
因为四边形 ABCD 是矩形，
所以 AD∥BC，
所以 ∠EAO=∠FCO．
在 △AOE 和 △COF 中，
∠EAO=∠FCO,OA=OC,∠AOE=∠COF,
所以 △AOE≌△COFASA，
所以 OE=OF，
因为 OA=OC，
所以四边形 AFCE 为平行四边形，
因为 EF⊥AC，
所以平行四边形 AFCE 为菱形；
（2） 因为四边形 AFCE 是菱形，
所以 AE=AF=CF，
设 AE=AF=CF=x，则 BF=12−x，
在 Rt△ABF 中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，
即 52+12−x2=x2，
解得：x=16924，
所以 AE=16924．
19. （1） ∵ 反比例函数 y=6x 与正比例函数 y=mx 的图象相交于点 Aa,2，
∴2=6a，解得 a=3．
∴ 点 A 的坐标为 3,2．
∴ 点 B 的坐标为 −3,−2．
（2） ∵ 正比例函数 y=mx 过点 A3,2，
∴ 3m=2，
∴ m=23，
∴ 正比例函数 y=mx 的解析式为 y=23x．
（3） ∵C1,n 为反比例函数上一点，
∴n=61=6，
∴ C1,6，
过 A 点作 AE⊥y 轴于点 E，过 C 点作 CF⊥y 轴于点 F，如图，
则
S△AOC=S梯形CFEA+S△AOE−S△COF=12×1+3×6−2+3−3=8.
故 △AOC 的面积是 8．
20. （1） 经过 t 秒后，PC=4−2tcm，CQ=t cm，
当 △CPQ 的面积等于 △ABC 面积的 18 时，
有 12×4−2t⋅t=18×12×3×4，
解得：t=32 或 t=12；
∴ t=12 或 t=32 时，△CPQ 的面积等于 △ABC 面积的 18；
（2） 设经过 t 秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
① 若 Rt△ABC∽Rt△QPC 则 ACQC=BCPC，即 3t=44−2t，解之得 t=1.2；经检验 t=1.2 是原方程的解且符合题意．
② 若 Rt△ABC∽Rt△PQC 则 ACPC=BCQC，即 34−2t=4t，解之得 t=1611；经检验 t=1611 是原方程的解且符合题意．
由 P 点在 BC 边上的运动速度为 2 cm/s，Q 点在 AC 边上的速度为 1 cm/s，可得 t 的取值范围应该为 0≤t≤2，
验证可知 ①② 两种情况下所求的 t 均满足条件．所以可知要使 △CPQ 与 △CBA 相似，所需要的时间为 1.2 秒或 1611 秒；
（3） 假设 PQ 的长度能为 1 cm，
∵∠C=90∘，
∴ 4−2t2+t2=1，
化简得 5t2−16t+15=0，
∵Δ=−162−4×5×15=−44<0，
∴ 此方程无实数解，
∴ 在运动过程中，PQ 的长度不能为 1 cm．
21. （1） k2−k1
（2） ① EF 与 AB 的位置关系为平行，即 EF∥AB．
证明：由题意可得：
A−4,0，B0,3，E−4,−k24，Fk23,3，
所以 PA=3，PE=3+k24，PB=4，PF=4+k23，
所以 PAPE=33+k24=1212+k2，PBPF=44+k23=1212+k2，
所以 PAPE=PBPF，
因为 ∠APB=∠EPF，
所以 △APB∽△EPF，
所以 ∠PAB=∠PEF，
所以 EF∥AB；
② S2 没有最小值，理由如下：
如图，过点 E 作 EM⊥y 轴于点 M，过点 F 作 FN⊥x 轴于点 N，两线交于点 Q，
由 ① 知 M0,−k24，Nk23,0，Qk23,−k24，
因为 S△EFQ=S△PEF，
所以
S2=S△PEF−S△OEF=S△EFQ−S△OEF=S△EOM+S△FON+S矩形OMQN=12k2+12k2+k23⋅k24=k2+112k22=112k2+62−3,
因为 PA=3，PB=4，
所以 k1=−12，
因为 0所以 0且当 k2>−6 时，S2 的值随 k2 的增大而增大，
所以 0