2022年广东省深圳市北大附中深圳南山分校中考数学一模试卷(含答案)

2022年广东省深圳市北大附中深圳南山分校中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下面是空心圆柱的两种视图，正确的是（ ）

A． B． C． D．

2．已知a是方程的一个根，则代数式的值为（     ）

A．–2 B．2 C．−4 D．−4或–10

3．一元二次方程x2﹣9＝0的解是（　　）

A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x＝81

4．如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（    ）

A．一直都在变短 B．先变短后变长

C．一直都在变长 D．先变长后变短

5．已知，则=（   ）

A． B． C． D．17

6．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，则的长为（   ）

A．4 B．8 C． D．

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝12，则AC＝(   )

A．3 B．9 C．10 D．15

8．一元二次方程ax2+x﹣2=0有两个不相等实数根，则a的取值范围是（     ）

A．a  B．a=  C．a 且a≠0 D．a 且a≠0

9．将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（   ）

A． B．

C． D．

10．已知抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线，，其中的顶点为点B，的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（   ）

A．8 B．16 C．32 D．无法计算

二、填空题

11．菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．

12．如图，在直角中，，点在线段上，且，，则_____．

13．二次函数图象的对称轴为_____．

14．如图，在平面直角坐标系中，的一边在轴上，，点在第一象限，，反比例函数的图象经过的中点，则_____．

15．如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是_____．

三、解答题

16．计算：．

17．解方程：

(1)；

(2)

18．依次转动如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色可配得紫色）游戏，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，请你用画树状图或列表的方法，求配得紫色的概率．

19．一副直角三角板如图放置，点A在延长线上，，，，

(1)求的度数；

(2)若取，试求的长（计算结果保留两位小数）

20．一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯AB的高度是多少米？

21．如图，点A，B分别在轴，轴上，点D在第一象限内，DC⊥轴于点C，AO=CD=2，AB=DA=，反比例函数y=（k>0）的图象过CD的中点E．

（1）求证：△AOB≌△DCA；

（2）求的值；

（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在轴上，试判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．

22．如图1，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，在y轴上．O为坐标原点，，线段的长分别是方程的两个根．

(1)请求出点B的坐标；

(2)如图2，P为上一点，Q为上一点，，将翻折，使点O落在上的点处，记，，求的值；

(3)在（2）的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以，Q，M，N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】分别找到从正面，从上面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在主视图和俯视图中．

【详解】解：如图所示，空心圆柱体的主视图是圆环；

俯视图是矩形，且有两条竖着的虚线．

故选B．

【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．

2．A

【分析】根据一元二次方程解的的定义，将a代入已知方程，即可求值．

【详解】解：∵a是方程的一个根，

∴把a代入得：，

，

故选A．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值的应用，用整体思想把看成一个整体是解题的关键．

3．C

【分析】先变形得到x2＝9，然后利用直接开平方法解方程．

【详解】解：x2＝9，

x＝±3，

所以x1＝3，x2＝﹣3．

故选C．

【点睛】本题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．

4．B

【分析】根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长．

【详解】解：在小明由A处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短，当他从路灯下走到B处时，他在地上的影子逐渐变长．

故选：B．

【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．

5．A

【分析】根据比例的性质，由，得，则设，得到，，然后把，，代入中进行分式的运算即可．

【详解】解：∵，

∴，

设，得到，，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查了比例的性质：常用的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．

6．D

【分析】利用矩形的性质可知对角线互相平分且，再利用勾股定理求解即可．

【详解】解：在矩形中，

故选D．

【点睛】本题主要考查矩形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理求直角边是解决本题的关键．

7．B

【详解】∵sinA=，

∴AB==15，

在直角△ABC中,AC==9.

故选B.

8．C

【分析】根据已知得出b2-4ac=12-4a•（-2）＞0，求出即可．

【详解】∵一元二次方程ax2+x-2=0有两个不相等实数根，

∴b2-4ac=12-4a•（-2）＞0，

解得：a＞-且a≠0，

故选C．

【点睛】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的根的判别式是b2-4ac，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．

9．B

【分析】利用平移的性质，结合“左加右减，上加下减”解题即可．

【详解】解：由题意得：将抛物线向左平移3个单位，根据左加右减，

抛物线解析式变成：，

再向下平移2个单位，根据上加下减，

抛物线解析式变成：

即：

故选B．

【点睛】本题主要考查平移的性质以及平移与抛物线解析式的关系，熟练掌握平移“左加右减，上加下减”求解析式是解决本题的关键．

10．B

【分析】根据平移的性质和抛物线的对称性可知图中阴影部分的面积的面积．

【详解】】解：∵，

∴，，

则．

又当时，，

则，

故．

∴抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，抛物线由抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查了二次函数图象平移问题，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，根据二次函数图象平移，利用割补法求解．

11．5

【分析】根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解．

【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，

根据勾股定理可得菱形的边长为＝5．

故答案为5．

【点睛】此题主要考查菱形的边长求解，解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用．

12．

【分析】利用外角的性质可知是等腰三角形，再利用含角的直角三角形性质及勾股定理求解即可．

【详解】解：

故答案为：．

【点睛】本题主要考查勾股定理，等腰三角形及含角的直角三角形的性质，熟练掌握角的直角三角形的性质和勾股定理是解决本题的关键．

13．

【分析】根据二次函数对称轴公式即可得出结果．

【详解】由可得：，，

∴对称轴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了二次函数对称轴的计算，找准系数是关键．

14．12

【分析】利用中点公式先求出点的坐标，再用待定系数法求解的值即可．

【详解】解：∵，

∴点的坐标为

∵点是的中点，

点的坐标为：，即

∵点在反比例函数图像上，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查反比例函数以及中点坐标的求法，熟练掌握中点坐标的求法及待定系数法求解析式是解决本题的关键．

15．

【分析】过点作构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到关于正方形面积的方程，然后解方程求解即可．

【详解】解：过点作交于点，交于点，

在正方形中，

又

∵正方形的面积为25，

或（舍去）

故答案为：

【点睛】本题主要考查全等三角形及勾股定理和正方形面积的关系，通过辅助线构造全等三角形并利用勾股定理列方程是解决本题的关键．

16．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算即可．

【详解】解：

．

【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

17．(1)

(2)或

【分析】（1）原方程已经是一般形式，利用根的判别式判断根的情况，再利用求根公式求解即可；

（2）找出公因式，利用提取公因式法分解因式，降次后再分别求解即可．

【详解】（1）

解：由题意的：

（2）

解：移项因式分解得：

化简得：

或

或

【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式和因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．

18．

【分析】画出树状图，找出配色的所有情况数以及配得紫色的情况数，利用概率公式求解即可．

【详解】解：画出树状图如图所示：

可知总搭配数有8种情况，其中能配成紫色有两种，

所以配得紫色的概率为：

【点睛】本题主要考查概率的计算以及树状图的画法，熟练掌握树状图的画法及概率计算公式是解决本题的关键．

19．(1)

(2)

【分析】（1）根据三角形内角和定理及平行线的性质得出，结合图形即可求解；

（2）过点B作于M，根据题意得出，，利用三角函数确定，在中，继续利用三角函数求解即可．

【详解】（1）解：∵，，

∴，，

∵，

∴，

∴；

（2）过点B作于M，

由（1）得：，

∴，，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形，利用所学的三角函数的关系进行解答．

20．AB=4.5m

【分析】如图，根据已知可得AB＝BE，再证明△DCM∽△DBA，然后利用相似三角形的性质得出，设AB＝x，代入数据后解方程即可求出AB的高度．

【详解】解：如图，∵∠ABE＝90°，∠E＝45°，

∴∠E＝∠EAB＝∠EFD＝45°，

∴AB＝BE，DE=DF=1.5，

∵MC∥AB，

∴△DCM∽△DBA，

∴，

设AB＝x，则BD＝x﹣1.5，

∴，

解得：x＝4.5．

∴路灯A的高度AB为4.5m．

【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用和投影问题，根据已知得出AB＝BE、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．

21．（1）证明见解析

（2）k=3

（3）点G在反比例函数图象上，理由见解析

【分析】（1）利用HL可证△AOB≌△DCA；

（2）由勾股定理可求出AC的长，从而得到OC的长，可得E坐标，代入即可求解；

（3）由△BFG和△DCA关于某点成中心对称可知BF=DC=2，FG=AC=1，从而可得点G坐标，代入判断即可

【详解】【问题1详解】

证明：∵点A，B分别在x，y轴上，DC⊥x轴于点C，

∴∠AOB=∠DCA=90°，

∵AO=CD=2，AB=DA=，

∴△AOB≌△DCA；

【问题2详解】

解：∵∠DCA=90°，DA=，CD=2，

∴AC==1，

∴OC=OA+AC=2+1=3，

∵E是CD的中点，

∴E（3,1），

∵反比例函数y=的图象过点E，

∴k=3×1=3；

【问题3详解】

解：∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称，

∴BF=DC=2，FG=AC=1，

∵点F在y轴上，

∴OF=OB+BF=1+2=3，

∴G（1,3），

把x=1代入y=中得y=3，

∴点G在反比例函数图象上．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的坐标特征，中心对称的性质，掌握等三角形的判定与性质、中心对称的性质、待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．

22．(1)

(2)

(3)存在，点的坐标为或，或或

【分析】（1）先利用因式分解法解方程可得到，，则可得出答案；

（2）得出四边形为矩形，则，根据勾股定理求出，则，证明，可得，，即可得、的值，相加可得出答案；

（3）分点在轴上和点在轴上，画出符合条件的矩形，根据全等三角形的性质及勾股定理求出点坐标，求出的解析式，则可求出点的坐标．

【详解】（1），

，

得，．

，

，，

．

（2）连接，

，，

四边形为平行四边形．

，

四边形为矩形，

，，

，，

由翻折，使点落在上的点处，可得，，

，，

，

，

，

，

，

，，

，，

；

（3）存在，点的坐标为或，或或．

分两种情况：

第一种情况：点在轴上；

①如图1，点在轴的正半轴上，四边形是矩形，

此时点与点重合，则；

②如图2，点在轴的负半轴上，四边形是矩形，

过点作轴于，过点作轴于．

四边形是矩形，

，．

，

，

，

，．

，

设，则，，

在中，由勾股定理得，

即，

解得，

，，

，

，即，

，

，

，；

第一种情况：点在轴上；

①点在轴的正半轴上，四边形是矩形，此时，点和点重合，

四边形是矩形，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

；

②点在轴的负半轴上，四边形是矩形，过点作轴于，

，，

，

，，

，

，

，，

，

综合以上可得，存在点，使以，，，为顶点四边形为矩形，点的坐标为或，或或．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的性质；理解坐标与图形性质，熟练掌握矩形的性质与判定是解题的关键．