广东省深圳市南山区南山实验教育集团南海中学2023-2024学年上学期九年级期中考试数学试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．x2+1＝0C．y2+x＝1D．+x2＝1
2．若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
3．一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2＝D．x1x2＝7
5．根据下列表格的对应值：
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（ ）
A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．x＞1.3
6．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝8，则AD的长度是（ ）
A．5B．4﹣4C．2D．4+
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝8，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．3B．4C．4.8D．5
8．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时△QBP与△ABC相似．
A．2秒B．4秒C．2或0.8秒D．2或4秒
9．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，4）
10．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG、BG、BD、DG，下列结论：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若＝，则4S△BDG＝25S△DGF．正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二．填空题（共5小题）
11．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
12．已知，则＝ ．
13．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米，则旗杆的高度为 米．
​
14．如图，在▱ABCD中，E为AD边上的点，AE＝2DE，连接BE交AC于点F，△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积为 cm2．
15．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，其中AE：ED＝1：2．线段BE的垂直平分线分别交AB、BE、CD于点F，G，H，则的值为 ．
三．解答题（共55分）
16．（12分）解方程：
（1）x2﹣1＝4x；（2）2x2﹣7x+3＝0；
（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．
17．（6分）△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3），以原点O为位似中心，在第三象限内，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2，并写出A'，B'，C'的坐标．
18．（6分）随着中国传统节日“端午节”的临近，某商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，在商场大厅设置了如图所示的两个可以自由转动的转盘，在端午节当天消费的顾客可以参与转盘活动．已知这两个转盘都被平均分成了3份，并在每份内均标有数字．规则如下：
①分别转动转盘A、B；
②两个转盘停止后，将两个指针所指区域内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），若数字之积为3的倍数则可以领取3枚粽子；若数字之积为5的倍数则可以领取5枚粽子．
（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）在端午节当天，李老师参与了转盘活动，求李老师领取到5枚粽子的概率．
19．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．
20．（8分）如图，AD是△ABC的高，点E、F在BC边上，点G在AC边上，点H在BC边上，BC＝21cm，高AD＝15cm，四边形EFGH是△ABC内接正方形，
（1）△AHG与△ABC相似吗？为什么？
（2）求内接正方形EFGH边长EF．
21．（8分）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
（1）求该公司销售A产品每次的增长率；
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
22．（9分）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．
问题发现
（1）如图1，当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，＝ ；
（2）若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图2位置时，＝ ；
类比探究
（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程；
问题解决
（4）如图3，连接EF，当CD＝ 时，△DEF与△ABC相似．
南海中学九年级期中参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．x2+1＝0C．y2+x＝1D．+x2＝1
【解答】解：A、2x+1＝0是一元一次方程，故A错误；
B、x2+1＝0是一元二次方程，故B正确；
C、y2+x＝1是二元二次方程，故C错误；
D、+x2＝1是分式方程，故D错误；
故选：B．
2．若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：A．因为＝，所以5m＝4n，不符合题意；
B．因为＝，所以4m＝5n，符合题意；
C．因为＝，所以5m＝4n，不符合题意；
D．因为＝，所以mn＝20，不符合题意．
故选：B．
3．一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：画树状图如下：
总计有6种可能结果，其中我们关注的事件两个都是红球的情况有2种，
∴随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为：＝．
故选：B．
4．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2＝D．x1x2＝7
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，
故选：A．
5．根据下列表格的对应值：
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（ ）
A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．x＞1.3
【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，
x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，
∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0，
即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2，
故选：B．
6．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝8，则AD的长度是（ ）
A．5B．4﹣4C．2D．4+
【解答】解：∵点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），
∴，
∵AB＝8，
∴AD＝，
故选：B．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝8，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
​
A．3B．4C．4.8D．5
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，
∵AC＝8，S菱形ABCD＝AC•BD＝24，
∴×8•BD＝24，
∴BD＝6，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∵DO＝BO，
∴OH＝BD＝3，
故选：A．
8．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时△QBP与△ABC相似．
A．2秒B．4秒C．2或0.8秒D．2或4秒
【解答】解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，
则AP＝cm，BP＝cm，BQ＝cm，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当 时，△BPQ∽△BAC，
即 ，
解得：t＝2，
当 时，△BPQ∽△BCA，
即 ，
解得：t＝0.8，
综上所述：经过0.8s或2s秒时，△QBP与△ABC相似，
故选：C．
9．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，4）
【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，过A作AF⊥y轴于F，
∴∠CEO＝∠AFB＝90°，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB＝OC，AB∥OC，
∴∠ABF＝∠COE，
∴△OCE≌△ABF（AAS），
同理△BCE≌△OAF，
∴CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，
∵A（2，1），B（0，5），
∴AF＝CE＝2，BE＝OF＝1，OB＝5，
∴OE＝4，
∴点C的坐标是（﹣2，4）；
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG、BG、BD、DG，下列结论：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若＝，则4S△BDG＝25S△DGF．正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AC＝BD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠F＝∠FAD，
∴AD＝DF，
∴BC＝DF，故①正确；
∵∠BGE＝∠DGC，
∴∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG＝∠ABC+∠ADC＝180°，
故②正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵点G为EF的中点，
∴CG＝EG，∠FCG＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴DG＝BG，∠CGD＝∠EGB，
∴∠CGD+∠AGD＝∠EGB+∠AGD＝90°，
∴△DGB是等腰直角三角形，
∴BD＝BG，
∴AC＝BG，
∴AC：BG＝：1，故③正确；
过点G作GH⊥CD于H，
∵3AD＝4AB，
∴设AD＝4x＝DF，AB＝3x，
∴CF＝CE＝x，BD＝＝5x，
∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，
∴HG＝CH＝FH＝x，DG＝GB＝x，
∴S△DGF＝DF•HG＝x2，S△DGB＝DG•GB＝x2，
∴4S△BDG＝25S△DGF；故④正确；
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 k＜﹣1 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（﹣k）＜0，
解得k＜﹣1，
故答案为：k＜﹣1．
12．已知，则＝ 5 ．
【解答】解：设，
∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴．
故答案为：5．
13．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米，则旗杆的高度为 8 米．
【解答】解：由题意得：∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝，
∵AB＝1.6米，OB＝2米，OD＝10米，
∴＝，
解得：CD＝8，
∴旗杆的高度为8米，
故答案为：8．
14．如图，在▱ABCD中，E为AD边上的点，AE＝2DE，连接BE交AC于点F，△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积为 15 cm2．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∵AE＝2DE，
∴AE＝AD，
∴＝＝＝，
∴＝，＝＝，
∵S△AEF＝4（cm2），
∴S△AFB＝S△AEF×＝4×＝6（cm2），
S△CBF＝×S△AEF＝×4＝9（cm2），
∴S△ABC＝S△AFB+S△CBF＝6+9＝15（cm2），
故答案为：15．
15．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，其中AE：ED＝1：2．线段BE的垂直平分线分别交AB、BE、CD于点F，G，H，则的值为 2 ．
​
【解答】解：过H点作HM⊥AB于M点，交BE于N，如图，设AE＝x，ED＝2x，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝3x，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝＝x，
∵FH垂直平分BE，
∴∠BGF＝90°，BG＝BE＝x，
∵∠GBF＝∠ABE，∠BGF＝∠A＝90°，
∴△BGF∽△BAE，
∴BF：BE＝BG：BA，即BF：x＝x：3x，
解得BF＝x，
∴AF＝AB﹣BF＝3x﹣x＝x，
∵∠HMB＝∠MBC＝∠C＝90°，
∴四边形BCHM为矩形，
∴MH＝BC，HC＝BM，
∴AB＝MH，
∵∠NMB＝∠HGN，∠BNM＝∠HNG，
∴∠MBN＝∠NHG，
在△MHF和△ABE中，
，
∴△MHF≌△ABE（ASA），
∴FM＝AE＝x，
∴BM＝BF﹣FM＝x﹣x＝x，
∴HC＝x，
∴＝＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共7小题）
16．解方程：
（1）x2﹣1＝4x（公式法）；
（2）2x2﹣7x+3＝0（配方法）；
（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；
（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．
【解答】解：（1）（1）x2﹣1＝4x，
整理，得x2﹣4x﹣1＝0，
这里a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝16+4＝20＞0，
∴x＝＝，
∴，；
（2）2x2﹣7x+3＝0，
2x2﹣7x＝﹣3，
，
，
，
，
x＝，
∴x1＝3，；
（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；
3x（x﹣2）+（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x+x+2）＝0，
x﹣2＝0或4x+2＝0，
∴x1＝2，；
（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．
[2（x+2）]2﹣（3x﹣1）2＝0，
[2（x+2）+（3x﹣1）][2（x+2）﹣（3x﹣1）]＝0，
（5x+3）（﹣x+5）＝0，
5x+3＝0或﹣x+5＝0，
∴，x2＝5．
17．△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3），以原点O为位似中心，在第三象限内，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2，并写出A'，B'，C'的坐标．
【解答】解：如图，△A'B'C'即为所作．
由图可知A'（﹣2，﹣4），B'（﹣6，﹣2），C'（﹣4，﹣6）．
18．随着中国传统节日“端午节”的临近，某商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，在商场大厅设置了如图所示的两个可以自由转动的转盘，在端午节当天消费的顾客可以参与转盘活动．已知这两个转盘都被平均分成了3份，并在每份内均标有数字．规则如下：
①分别转动转盘A、B；
②两个转盘停止后，将两个指针所指区域内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），若数字之积为3的倍数则可以领取3枚粽子；若数字之积为5的倍数则可以领取5枚粽子．
（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）在端午节当天，李老师参与了转盘活动，求李老师领取到5枚粽子的概率．
【解答】解：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：
（2）（1）中表格中共有9种等可能的结果，
则李老师领取到5枚粽子的结果数有三种，
其概率为＝．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE，
又∵DF∥BE，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DFBE是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BC＝＝＝10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝10，AB∥DC，
∴∠BAF＝∠DFA，
∵AF是∠DAB的平分线，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DF＝DA＝10，
∴DC＝DF+CF＝10+6＝16．
20．如图，AD是△ABC的高，点E、F在BC边上，点G在AC边上，点H在BC边上，BC＝21cm，高AD＝15cm，四边形EFGH是△ABC内接正方形，
（1）△AHG与△ABC相似吗？为什么？
（2）求内接正方形EFGH边长EF．
【解答】解：（1）相似，理由如下：
∵四边形EFGH是△ABC内接正方形，
∴HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC；
（2）设AD与HG的交点为M，
∵△AHG∽△ABC，
∴，
，
解得：，
故内接正方形EFGH的边长为．
21．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
（1）求该公司销售A产品每次的增长率；
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
【解答】解：（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，
依题意，得：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．
（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30+×20）套，
依题意，得：（2﹣y）（30+×20）＝70，
整理，得：4y2﹣5y+1＝0，
解得：y1＝，y2＝1．
答∵尽量减少库存，
∴y＝1．
答：每套A产品需降价1万元．
22．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．
​
问题发现
（1）如图1，当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，＝ 2 ；
（2）若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图2位置时，＝ 2 ；
类比探究
（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程；
问题解决
（4）如图3，连接EF，当CD＝ 或 时，△DEF与△ABC相似．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠A＝90°，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∵点D是BC的中点，∴DE，DF是△ABC的中位线，
∴，，则 ，
故答案为：2；
（2）如图，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，
则∠DME＝∠DNF＝∠A＝90°，
∴∠MDN＝90°，即∠MDE+∠EDN＝90°，
∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，即∠EDN+∠NDF＝90°，
∴∠MDE＝∠NDF，∴△DME∽△DNF，∴，
由（1）知，，∴；
（3）如图，过点P作DP⊥AB于点P，DQ⊥AC于点Q，
∴∠DPA＝∠DQA＝∠A＝90°，
∴四边形APDQ是矩形，
∴DP＝AQ，DQ＝AP，
∵，∴，
∵DP∥AC，DQ∥AB，
∴△DQC∽△BAC，△DPB∽△CAB，∴，．
∴，
∴，
故答案为：；
（4）∵∠EDF＝∠A＝90°，
∴△DEF与△ABC相似有如下两种情况：
当△DEF∽△ACB时，则，即，整理，得：a＝b，
∴；
当△DEF∽△ABC时，则 ，即，整理，得：a＝4b，
∴；
综上，当 或 时，△DEF与△ABC相似，
故答案为：或．x
1
1.1
1.2
1.3
x2+12x﹣15
﹣2
﹣0.59
0.84
2.29
x
1
1.1
1.2
1.3
x2+12x﹣15
﹣2
﹣0.59
0.84
2.29
转盘B的数字
转盘A的数字
4
5
6
1
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，4）
（3，5）
（3，6）