河北省唐山市路南区第九中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份河北省唐山市路南区第九中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】中心对称图形的定义：一个图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形完全重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的对称中心，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、此图形是中心对称图形，不符合题意；
B、此图形是中心对称图形，不符合题意；
C．此图形不是中心对称图形，符合题意；
D、此图形是中心对称图形，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形，理解中心对称图形的定义是解答的关键．
2. 已知点A(a＋b，4)与点B(－2，a－b)关于原点对称，则a2－b2等于( )
A. 8B. －8C. 5D. －5
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a+b，a-b的值，进而得出答案．
【详解】∵点A（a+b，4）与点B（-2，a-b）关于原点对称，
，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=2×（-4）=-8．
故选B．
【点睛】考查了关于原点对称点的性质，正确应用平方差公式是解题关键．
3. 已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理计算．
【详解】解：如图OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3，
∴DE=OD-OE=5-3=2cm，
∴点D是圆上到AB距离为2cm的点，
∵OE=3cm＞2cm，
∴在OD上截取OH=1cm，
过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点，
则有HE⊥AB，HE=OE-OH=2cm，
即GF到AB的距离为2cm，
∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点，
故选C．
【点睛】本题利用了垂径定理求解，注意圆上的点到AB距离为2cm的点不唯一，有三个．
4. 在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（ ）
A. 40cmB. 60cmC. 80cmD. 100cm
【答案】A
【解析】
【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．
【详解】解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，交圆O于点E，
∵直径为200cm，AB=160cm，
∴OA=OE=100cm，AM=80cm，
，
∴ME=OE-OM=100-60=40cm．
故选：A．
考点：(1)、垂径定理的应用；(2)、勾股定理．
5. 如图，经过正方形ABCD的顶点A，分别与AB，AC相交于点E，F，则∠EOF的度数为（ ）
A. 45°B. 80°C. 90°D. 100°
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形性质可求出，然后利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：在正方形ABCD中，
， 平分 ，
∴ ，
∵经过正方形ABCD的顶点A，分别与AB，AC相交于点E，F，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，正方形的性质，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
6. 如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD＝52°，则∠BCD等于（ ）
A. 32°B. 38°C. 52°D. 66°
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠ABD=52°，∴∠A=90°﹣∠ABD=90°-52°=38°（直角三角形的两个锐角互余）；
∴∠BCD=∠A=38°（同弧所对的圆周角相等）．
故选B．
【点睛】本题考查圆周角定理；直角三角形的性质．
7. 如图，∠ABC=20°，将△ABC绕点B顺时针旋转130°得到△EBF．若点A，F，E在同一条直线上，则∠AFB的度数是（ ）
A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠ABC＝∠EBF＝20°，AB＝BE，∠ABE＝130°，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠E＝25°，再根据三角形的外角的性质即可求得答案．
【详解】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转130°得到△EBF，
∴∠ABC＝∠EBF＝20°，AB＝BE，∠ABE＝130°，
∴∠A＝∠E＝(180°－130°)÷2＝25°，
∴∠AFB＝∠E+∠EBF
＝25°+20°
＝45°，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定及性质以及三角形的内角和及外角性质，熟练运用相关图形的性质解决本题的关键．
8. 如图，一个简易量角器放在∠BAC上面，则∠BAC的度数是（ ）
A. 10°B. 20°C. 40°D. 80°
【答案】B
【解析】
【分析】连接OD，根据量角器度量角方法得到圆心角的度数为40°，然后根据圆周角定理即可得到∠BAC的度数．
【详解】解：连接OD，如图，
∵∠DOC＝40°，
∴∠BAC＝∠DOC＝20°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9. 如图，根据下列尺规作图痕迹，其中表示点O是△ABC外心的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的外心O是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点，结合尺规作线段垂直平分线的方法做出选择．
【详解】解：A、此选项作图痕迹是作角平分线的交点，O是内心，不符合题意；
B、此选项作图痕迹是作角平分线和垂直平分线的交点，O不是外心，不符合题意；
C、此选项作图痕迹是作三角形边的垂直平分线的交点，O是外心，符合题意；
D、此选项作图痕迹只作了边BC上的垂直平分线，O不是外心，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线，同时也涉及了角平分线的尺规作图，熟知三角形的外心O是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点是解答的关键．
10. 如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A. 4.5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
【详解】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
11. 如图，切于点A，交于点B，，，则的半径为（ ）
A. B. C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由切线的性质知，在中，已知了的长，设圆的半径为r，可用勾股定理求出r的长．
【详解】解：∵切于A，
∴，
设圆半径为r，在中，则，
∵，，
∴，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证时，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决相关问题．
12. 如图，中，，它的周长为16，若圆O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据切线长定理求出AD=AF，BE=BD，CE=CF，得出等边三角形ADF，推出，根据BC=6，求出BD+CF=6，求出AD+AF=4，即可求出答案．
【详解】解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，
∵BC=BE+CE=6，
∴BD+CF=6，
∵AD=AF，∠A=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF=DF，
∵AB+AC+BC=16，BC=6，
∴AB+AC=10，
∵BD+CF=6，
∴AD+AF=4，
∵AD=AF=DF，
∴DF=AF=AD=，
故选：A．
【点睛】本题考查了对切线长定理的应用，关键是求出AD+AF的值，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，难度也适中．
13. 如图，⊙O△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（ ）
A. 点O是△ABC的内心B. 点O是△ABC的外心
C. △ABC是正三角形D. △ABC是等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】过作于，于，于，连接、、，根据垂径定理和已知求出，根据勾股定理求出，根据三角形内心的定义求出即可.
【详解】
过作于，于，于，连接、、，
由垂径定理得：，，，
，
，
，
由勾股定理得：，
即到三边的距离相等，
是的内心.
故选：.
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形的内心的应用，注意：三角形的内心到三角形三边的距离相等.
14. 如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正n边形的一个外角，则n的值为（ ）
A. 16B. 12C. 10D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据正六边形与正方形的性质判断出的度数，可得结论．
【详解】解：如图，标注顶点，连接，，，

∵由正六边形与正方形的性质可得，所在的直线是该图形的对称轴，
∴，
∵是某正n边形的一个外角，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形与圆，解题的关键是理解正多边形的外角为．
二、填空题 (每小题4分，共24分）
15. 如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为______．
【答案】
【解析】
【详解】连接OC，
∵M是CD的中点，EM⊥CD，
∴EM过⊙O的圆心点O，
设半径为x，
∵CD=4，EM=8，
∴CM=CD=2，OM=8﹣OE=8﹣x，
在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，
即（8﹣x）2+22=x2，
解得：x=，
∴所在圆的半径为：．
故答案为．
16. 如图，，是的直径，弦与交于点F，下列三角形，，，中，外心不是点O的是____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可．
【详解】解：只有的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形外心的定义，正确掌握外心的定义是解题关键．
17. 如图，在ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=_____cm时，BC与⊙A相切．
【答案】6．
【解析】
【详解】试题分析：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB=AC，∠B=30°，∴AD=AB，即AB=2AD．又∵BC与⊙A相切，∴AD就是圆A的半径，∴AD=3cm，则AB=2AD=6cm．故答案为6．
考点：切线的判定．
18. 如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，，则涂色部分(即四边形)的面积是_________．
【答案】4
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形）的面积．
【详解】解：∵，，，
，
为直角三角形，，
∵，分别相切于点E，F，
∴，，
∴四边形为正方形，
设，则，
的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，，
∴，
，
∴阴影部分（即四边形）的面积是．
故答案：4．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质．
19. 如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在射线上，开始时，．如果以/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当的运动时间（秒）满足条件______ 时，与直线相交．
【答案】##
【解析】
【分析】首先分析相切时的数量关系，则点到的距离应是1，根据所对的直角边是斜边的一半，得；分两种情况：当点在上时，需要运动秒；当点在上时，需要运动秒，因为在这两个切点之间的都是相交，继而得出答案．
【详解】解：，
当点P在上与相切时，需要运动秒；
当点P在上与相切时，需要运动秒；
在这两个点之间的都是相交，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直线和圆的位置关系，解决时注意考虑相交的临界条件，掌握直线和圆的位置关系是解题关键．
20. 如图，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过_______秒后，点P在⊙O上．
【答案】2或．
【解析】
【详解】设x秒后点P在圆O上，
∵原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，
∴当第一次点P在圆上时，
（2+1）x=7﹣1=6
解得：x=2；
当第二次点P在圆上时，
（2+1）x=7+1=8
解得：x=
答案为：2或.
三、解答题
21. 如图，，O是中点，点C在线段上（不与点O，B重台），将绕点O逆时针旋转后得到扇形，，分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在异侧，连接．

（1）求证：；
（2）若的外心在扇形的内部，求的取值范围
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用证明即可得出结论；
（2）设点M为的外心，则M为的中点，由的外心在扇形的内部，可得出，根据、的长度可得出的取值范围．
【小问1详解】
证明：连接，

∵，分别切优弧，
∴，，
∴，
又∵O是中点，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
设点M为的外心，则M为的中点，
∵，
∴，
∴当的外心在扇形的内部时，，
∴的取值范围为．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外心等知识，明确直角三角形的外心在斜边的中点是解题的关键．
22. 如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．
(1)直接写出ED和EC的数量关系：_________；
(2)DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
(3)填空：当BC=_______时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是_______．
【答案】 ①. ED=EC ②. 2 ③. 正方形
【解析】
【分析】(1)连结CD，如图，由圆周角定理得到∠ADC=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线直线得到DE=CE=BE；
(2)连结OD，如图，利用切线性质得∠2+∠4=90°，再利用等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是根据切线的判定定理可判断DE是⊙O 的切线；(3)要判断四边形AOED是平行四边形，则DE=OA=1，所以BC=2，当BC=2时，△ACB为等腰直角三角形，则∠B=45°，又可判断△BCD为等腰直角三角形，于是得到DE⊥BC，DE=BC=1，所以四边形AOED是平行四边形；然后利用OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，可判断四边形OCED为正方形．
【详解】（1）连结CD，如图，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=CE=BE；
（2）DE是⊙O的切线．理由如下：
连结OD，如图，
∵BC为切线，
∴OC⊥BC，
∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，
∵OC=OD，ED=EC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODB=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）当BC=2时，
∵CA=CB=2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴DE⊥BC，DE=BC=1，
∵OA=DE=1，AO∥DE，
∴四边形AOED是平行四边形；
∵OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，
∴四边形OCED为正方形．
故答案为ED=EC；2，正方形．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
23. 已知OA＝OB＝4，∠AOB＝60°，半⊙A的半径为1，点C是半圆上任意一点，连结OC，把OC绕点O顺时针旋转6
0°到OD的位置，连结BD．
（1）如图1，求证：AC＝BD．
（2）如图2，当OC与半圆相切于点C时，求CD的长．
（3）直接写出△AOC面积的最大值．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）2.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件易证△OAC≌△DOB，由全等三角形的性质即可得AC＝BD；（2）根据勾股定理求得OC的长，再证明△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得CD的长；（3）当h最大时，S△AOC最大，即当C在半圆A的中点时，h最大，此时h＝1，计算面积可得结论．
详解】证明：（1）∵∠AOB＝∠COD＝60°
∴∠COA+∠AOD＝∠BOD+∠AOD
∴∠COA＝∠BOD
在△OAC和△OBD中，
∵
∴△OAC≌△DOB（SAS）
∴AC＝BD；
（2）如图2，∵OC是⊙A的切线，
∴AC⊥OC，∠OCA＝90°，
在Rt△OCA中，由勾股定理得：OC2+AC2＝OA2，
∴OC2+12＝42，
∴OC＝，
在△COD中，∵OC＝OD，∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝；
（3）设点C到OA的距离为h，
∵S△AOC＝OA•h，
∵OA＝4，
∴当h最大时，S△AOC最大，即当C在半圆A的中点时，h最大，此时h＝1，
∴S△AOC＝OA•h＝＝2．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转变换、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．