2022-2023学年河北省唐山市路南区友谊中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省唐山市路南区友谊中学九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省唐山市路南区友谊中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共14小题，共28.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 点P(−2,3)关于原点的对称点P′的坐标是(    )
A. (2,−3) B. (2,3) C. (−2,−3) D. (3,−2)
2. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则tanA的值为(    )
A. 34 B. 43 C. 35 D. 45
3. 如图，该几何体的左视图是(    )
A.
B.
C.
D.
4. 抛物线y=(x−2)2+1的顶点坐标是(    )
A. (−2,−1) B. (−2,1) C. (2,−1) D. (2,1)
5. 下列事件中属于随机事件的是(    )
A. 今天是星期一，明天是星期二 B. 从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球
C. 掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D. 抛出的篮球会下落
6. 正方形在太阳光下的投影不可能是(    )
A. 正方形 B. 一条线段 C. 矩形 D. 三角形
7. 一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了56件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为(    )
A. x(x+1)=56 B. x(x−1)=56
C. 2x(x+1)=56 D. x(x−1)=56×2
8. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是(    )
A. x2+3x+4=0 B. x2−4x+3=0 C. x2+4x−3=0 D. x2+3x−4=0
9. 已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)都在反比例函数y=2x的图象上，且x1 A. 0 10. 如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为(    )
A. 10
B. 12
C. 15
D. 20


11. 如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是(    )
A. CA平分∠BCD
B. ∠DAC=∠ABC
C. AC2=BC⋅CD
D. ADAB=DCAC
12. 如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10米的墙，用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子.设AB=x米，BC=y米，则下列说法正确的是(    )


A. y关于x的函数关系式为y=6x
B. 自变量x的取值范围为x>0，且y随x的增大而减小
C. 当y≥6时，x的取值范围为1.2≤x≤2
D. 当AB为3米时，BC长为6米
13. 在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是(    )
A. 5 714 B. 35 C. 217 D. 2114
14. 在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且他们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的解析式为y=−x2+4x+3m，则m的值是(    )
A. −13
B. −73
C. −12或−72
D. −13或−73
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
15. 已知：x：y=2：3，则(x+y)：y=______．
16. 已知二次函数y=−x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程−x2+2x+m=0的解为_______________．

17. 如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB中，点B(−9,−3)，以原点O为位似中心，相似比为13，在位似中心同侧把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是______．

18. 如图，AB是⊙O的直径，弦AD，BC相交于点P，如果CD=6，AB=8，那么cos∠APC= ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)解方程：2x2−3x=0；
(2)计算： 2cos45°−3tan260°+3 4．
20. (本小题8.0分)
如图所示为一几何体的三种视图.(单位：cm)
(1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的a= ______ ，b= ______ ；
(2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积．

21. (本小题8.0分)
某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球(第一次摸出后不放回)，商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．
(1)该顾客至少可得到______元购物券，至多可得到______元购物券；
(2)请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．
22. (本小题8.0分)
如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB，无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以6m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行60s到达点E，测得点B的俯角为37°．
(1)求无人机的高度AC(结果保留根号)；
(2)求AB的长度(结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 3≈1.73)．

23. (本小题8.0分)
如图直线y=2x+m与y=nx(n≠0)交于A，B两点，且点A的坐标为(1,4)．
(1)求此直线和双曲线的表达式；
(2)过x轴上一点M作平行于y轴的直线1，分别与直线y=2x+m和双曲线y=nx(n≠0)交于点P，Q，如果PQ=2QM，求点M的坐标．

24. (本小题8.0分)
如图，矩形ABCD中，AB=16，BC=8，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒2个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒.当t为何值时，DP⊥AC？

25. (本小题8.0分)
任意球是足球比赛的主要得分手段之一，在某次足球比赛中，李强站在点O处发出任意球，如图，把球看做点，其运行轨迹的高度y(m)与水平距离x(m)满足函数关系式y=a(x−12)2+h，李强罚任意球时防守队员站在李强前方8米处组成人墙，防守队员的身高为2米，对手球门与李强的水平距离为18米，已知足球球门的宽是7.32米，高是2.43米．

(1)当h=3时，求y与x的函数关系式；
(2)在第(1)问的前提下，足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由；
(3)若李强罚出任意球一定能直接射进球门得分，直接写出h的取值范围．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：由题意，得
P(−2,3)关于原点的对称点P′的坐标是(2,−3)，
故选：A．
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

2.【答案】B 
【解析】解：如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴tanA=BCAC=43．
故选：B．
根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可．
此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键．

3.【答案】C 
【解析】解：从左边看是一个正方形被水平的分成3部分，中间的两条分线是虚线，故C正确；
故选：C．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示．

4.【答案】D 
【解析】
【分析】
已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．
考查了二次函数的性质，顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h．
【解答】
解：∵y=(x−2)2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是(2,1)．
故选：D．  
5.【答案】C 
【解析】解：A、今天是星期一，明天是星期二是必然事件，故本选项不符合题意；
B、从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球是不可能事件，故本选项不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上是随机事件，故本选项符合题意；
D、抛出的篮球会下落是必然事件，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答，
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．

6.【答案】D 
【解析】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．
则正方形的木板在太阳光下的影子得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段，不可能为三角形．
故选：D．
根据平行投影下平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得到正确的选项．
此题考查了平行投影，太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行．

7.【答案】B 
【解析】解：设有x人参加聚会，则每人送出(x−1)件礼物，
由题意得，x(x−1)=56．
故选：B．
设有x人参加聚会，则每人送出(x−1)件礼物，根据共送礼物56件，列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．

8.【答案】B 
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，
∴3+1=−p，3×1=q，
∴p=−4，q=3，
故选：B．
根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．

9.【答案】D 
【解析】解：∵k=2>0，
∴x>0时，y随x的增大而减小，x<0时，y随x增大而减小，
∵x1 ∴y2 故选：D．
根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．

10.【答案】A 
【解析】解：∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB=18°，
∴∠AOB=2∠ADB=36°，
∴这个正多边形的边数=360°36∘=10，
故选：A．
根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=36°，于是得到结论．
本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．

11.【答案】C 
【解析】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC=∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②ADAB=DCAC；
故选：C．
已知∠ADC=∠BAC，则A、D选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；B选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．

12.【答案】B 
【解析】解：根据矩形园子的面积为12m2可知xy=12，
∴y=12x，
故A选项错误，不合题意；
由题意可知自变量x的取值范围为x>0，且y随x的增大而减小，
故B选项正确，符合题意；
当y≥6时，12x≥6，解得x≤2，
又x>0，
∴x的取值范围为0 故C选项错误，不合题意；
当AB为3米时，BC=12AB=123=4米，
故D选项错误，不合题意；
故选：B．
根据xy=12可得y关于x的函数关系式为y=12x，利用反比例函数的图象和性质逐项判断即可得出答案．
本题考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．

13.【答案】D 
【解析】解：延长BA作CD⊥BD，
∵∠A=120°，AB=4，AC=2，
∴∠DAC=60°，∠ACD=30°，
∴2AD=AC=2，
∴AD=1，CD= 3，
∴BD=5，
∴BC=2 7，
∴sinB= 32 7= 2114，
故选：D．
根据∠A=120°，得出∠DAC=60°，∠ACD=30°，得出AD=1，CD= 3，再根据BC=2 7，利用解直角三角形求出．
此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，根据题意得出∠DAC=60°，∠ACD=30°是解决问题的关键．

14.【答案】D 
【解析】解：将y=−x2+4x+3m化为顶点式得：y=−(x−2)2+3m+4，
∴这条抛物线的顶点坐标为(2,3m+4)，
∴关于x轴对称的抛物线的顶点坐标为(2,−3m−4)，
∵它们的顶点相距6个单位长度．
∴|3m+4−(−3m−4)|=6，化简得：|6m+8|=6，
∴6m+8=±6，
当6m+8=6时，解得：m=−13，
当6m+8=−6时，解得：m=−73，
∴m的值是−13或−73，
故选：D．
先将抛物线的解析式化为顶点式，可得顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点坐标，根据题意得出关于m的方程，解方程即可求得m的值．
本题考查了二次函数的图象与性质、坐标的轴对称变换，解题的关键是得到关于x轴对称的抛物线的顶点坐标．

15.【答案】53 
【解析】解：∵xy=23，
∴x+yy=xy+1=23+1=53．
故答案为：53．
根据比例的性质，把x+yy写成xy+1的形式，然后代入已知数据进行计算即可得解．
本题考查了比例的性质，把x+yy写成xy+1的形式是解题的关键，也是本题的难点．

16.【答案】x1=4，x2=−2 
【解析】
【分析】
本题考查二次函数与一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x的一元二次方程−x2+2x+m=0的解．
【解答】
解：由图象可知，
该函数的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是(4,0)，
则该函数与x轴的另一个交点是(−2,0)，
当y=0时，即0=−x2+2x+m时，x1=4，x2=−2，
故关于x的一元二次方程−x2+2x+m=0的解为x1=4，x2=−2，
故答案为x1=4，x2=−2．
  
17.【答案】(−3,−1) 
【解析】解：以原点O为位似中心，相似比为13，在位似中心同侧把△ABO缩小，点B(−9,−3)，
则点B的对应点B′的坐标为(−9×13,−3×13)，即点B′的坐标为(−3,−1)，
故答案为：(−3,−1)．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．

18.【答案】34 
【解析】解：如图，连接AC．
∵∠CDP和∠ABP都是AC对应的圆周角，
∴∠CDP=∠ABP，
又∵∠CPD=∠APB，
∴△CDP∽△ABP，
∴CPAP=CDAB=68=34，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACP=90°，
∴cos∠APC=CPAP=34．
故答案为：34．
连接AC.根据同弧所对圆周角相等可得∠CDP=∠ABP，进而证明△CDP∽△ABP，根据相似三角形对应边成比例得CPAP=CDAB=68=34，再由直径所对的圆周角是90度得∠ACP=90°，最后根据余弦的定义可得cos∠APC=CPAP=34．
本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、余弦的定义等，解题的关键是证明△CDP∽△ABP．

19.【答案】解：(1)2x2−3x=0，
x(2x−3)=0，
∴x=0或2x−3=0，
∴x1=0，x2=32；
(2) 2cos45°−3tan260°+3 4
= 2× 22−3×( 3)2+3×2
=1−9+6
=−2． 
【解析】(1)利用因式分解法解方程即可；
(2)直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程和特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．

20.【答案】10cm 2 3cm 
【解析】解：(1)由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4cm的等边三角形，高为10cm，
因此a=10，b=4× 32=2 3，
故答案为：10cm，2 3cm；
(2)(4+4+4)×10=120(cm2)，
即这个几何体的侧面积为120cm2．
(1)由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4cm的等边三角形，高为10cm，因此a=10，b等于底面三角形的高；
(2)三棱住的侧面积等于底面周长与高的乘积．
本题考查简单几何体的三视图，求三棱柱的侧面积等知识点，解题的关键是根据所给三视图判断出几何体的形状．

21.【答案】(1)10  50 
(2)解法一(树状图)：

从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，
因此P(不低于30元)=812=23；
解法二(列表法)：
第二次
第一次
0
10
20
30
0
--
10
20
30
10
10
--
30
40
20
20
30
--
50
30
30
40
50
--
(以下过程同“解法一”) 
【解析】
(1)如果摸到0元和10元的时候，得到的购物券是最少，一共10元．如果摸到20元和30元的时候，得到的购物券最多，一共是50元；
(2)见答案．
【分析】
列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
本题主要考查概率知识．解决本题的关键是弄清题意，满200元可以摸两次，但摸出一个后不放回，概率在变化．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．  
22.【答案】解：(1)∵无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以6m/s的速度飞行15s到达点D，
∴CD=6×15=90(m)，
在Rt△ACD中，tan∠ADC=ACCD，
∴AC=CD⋅tan60°=90× 3=90 3(m)，
∴无人机的高度AC是90 3m；
(2)过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，

∴BF=AC=90 3m，AB=CF，
在Rt△BEF中，tan∠BEF=BFEF，
∴EF=BFtan37∘=90 30.75≈207.8(m)，
∵CE=6×(15+50)=450(m)，
∴.AB=CF=CE−EF=520−207.6≈242(m)，
∴隧道AB的长度约为242m． 
【解析】(1)利用tan∠ADC=ACCD即可求出AC的长；
(2)过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，得到BF=AC=90 3再解直角三角形BEF求得EF，进而利用AB=CF=CE−EF即可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，借助俯角构造直角三角形并解直角三角形，体现了数学中的方程思想与数形结合思想的应用．

23.【答案】解：(1)∵y=2x+m与y=nx(n≠0)交于A(1,4)，
∴4=2+m4=n，
∴m=2n=4，
∴直线的解析式为y=2x+2，反比例函数的解析式为y=4x．

(2)设M(a,0)，
∵l/​/y轴，
∴P(a,2a+2)，Q(a4a)，
∵PQ=2QD，
∴|2a+2−4a|=|2×4a|，
解得：a=2或a=−3，
∴M(−3,0)或(2,0)． 
【解析】(1)利用待定系数法即可解决问题；
(2)设M(a,0)，表示出P(a,2a+2)，Q(a,4a)，根据PQ=2QD，列方程|2a+2−4a|=|2×4a|，解得a=2，a=−3，即可得到结果．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．

24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD/​/AB，
∴∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，
∴△APQ∽△CDQ；
(2)解：当t=2时，DP⊥AC；
∵∠ADC=90°，DP⊥AC，
∴∠AQD=∠AQP=∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠APQ=∠CAB+∠ACB=90°，
∴∠APQ=∠ACB，
∴△DAP∽△ABC，
∴DAAB=APBC，
∴816=2t8
解得：t=2，
即当t=2时，DP⊥AC． 
【解析】(1)根据矩形的性质可得CD/​/AB，根据平行线的性质可得∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，进而可得判定△APQ∽△CDQ；
(2)首先证明△DAP∽△ABC，结合相似三角形即可得到t的值．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例．

25.【答案】解：(1)当h=3时，y=a(x−12)2+3，
∵抛物线y=a(x−12)2+3经过点(0,0)，
∴0=a(0−12)2+3，
解得a=−148，
∴所求的函数关系式为y=−148(x−12)2+3；
(2)当h=3时，足球能越过人墙，能直接射进球门，理由如下：
当h=3时，由(1)得y=−148(x−12)2+3，
当x=8时，y=−148×(8−12)2+3=83>2，
∴足球能越过人墙，
当x=18时y=−148×(18−12)2+3=2.25<2.43，
∴足球能直接射进球门，不会踢飞；
(3)由题设知y=a(x−12)2+h，函数图象经过点(0,0)，
得0=a(0−12)2+h，
整理得a=−h144．
由足球能越过人墙，得a(8−12)2+h>2，
整理得16a+h>2．
由足球能直接射进球门，得0 整理得0<36a+h<2.43．
把a=−h144代入16a+h>2，得16×(−h144)+h>2，
解得h>2.25．
把a=−h144代入0<36a+h<2.43，得0<36×(−h144)+h<2.43，
解得0 ∴h的取值范围是2.25 【解析】(1)当h=3时，y=a(x−12)2+3，根据函数图象过原点，求出a的值即可；
(2)当h=3时，由(1)中解析式，分别把x=8和x=18代入函数解析式求出y的值与2和2.43比较即可；
(3)由抛物线过原点得到a=−h144，由足球能越过人墙，得a(8−12)2+h>2，由足球能直接射进球门，得0 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解不等式组等，解题的关键是理解构建的二次函数模型，学会用不等式解决实际问题．