新高考数学模拟测试卷09（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学模拟测试卷09（原卷版+解析版），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．若 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位)，则复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．如图是2020年2月15日至3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图.则下列说法不正确的是（ ）
A．武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低
B．2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数
C．2020年2月15日到3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人
D．2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（ ）
A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
6．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 满足“勾3股4弦5”，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且对任意 SKIPIF 1 < 0 均有 SKIPIF 1 < 0 成立，则满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是其上一动点，点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值是2
B．动点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离最小值为3
C．存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
D．与抛物线 SKIPIF 1 < 0 分别相切于 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 两点的两条切线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线上
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件
B． SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件
C．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的充要条件
D．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 “ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分而不必要条件
10．已知将函数 SKIPIF 1 < 0 的图像向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，且 SKIPIF 1 < 0 的图像关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上至多存在两个极大值点，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
11．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为2，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上且 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于另一个点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
B．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 内切圆的半径为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
12．已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在四边形 SKIPIF 1 < 0 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹的长度为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值为 SKIPIF 1 < 0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知多项式 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
14．已知等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若梯形上底 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则该梯形周长的最大值为________.
15．如图，在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为___________.
16．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 且___________.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值.
19．已知，如图四棱锥（1）中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上.
（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
20．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“ SKIPIF 1 < 0 ”高考新模式.为调硏新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望 SKIPIF 1 < 0 .
附： SKIPIF 1 < 0
21．设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 是底角为 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，设不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合的直线 SKIPIF 1 < 0 过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 两点，与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
22．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的零点个数.
新高考数学模拟测试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集，且 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示， SKIPIF 1 < 0 表示Venn图中的阴影部分，
故可知， SKIPIF 1 < 0
故选：C.
2．若 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位)，则复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】解析：由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的的共轭复数 SKIPIF 1 < 0 ，根据复数的几何意义可知， SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，位于第四象限.
故选：D
3．如图是2020年2月15日至3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图.则下列说法不正确的是（ ）
A．武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低
B．2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数
C．2020年2月15日到3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人
D．2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天
【答案】C
【解析】由折线图数据分析得知ABD正确，1690-111=1579故C不正确;
故选：C
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（ ）
A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
【答案】C
【解析】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 寸， SKIPIF 1 < 0 寸，公差为 SKIPIF 1 < 0 寸，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （寸）；
同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，首项 SKIPIF 1 < 0 ，末项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 （单位都为寸）.
故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；
SKIPIF 1 < 0 春分的晷长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 秋分的晷长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；
SKIPIF 1 < 0 小雪的晷长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；
SKIPIF 1 < 0 立春的晷长，立秋的晷长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.
故选：C.
6．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 满足“勾3股4弦5”，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意建立如图所示的直角坐标系，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且对任意 SKIPIF 1 < 0 均有 SKIPIF 1 < 0 成立，则满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
因为对任意 SKIPIF 1 < 0 均有 SKIPIF 1 < 0 成立，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
由对称性可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
8．抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是其上一动点，点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值是2
B．动点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离最小值为3
C．存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
D．与抛物线 SKIPIF 1 < 0 分别相切于 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 两点的两条切线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线上
【答案】A
【解析】A选项：对于抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 在内部
又因为 SKIPIF 1 < 0 等于 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离，故作 SKIPIF 1 < 0 到准线的垂线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足，
当P与 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
B选项：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，B错；
C选项：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点为 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，令 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，联立抛物线得 SKIPIF 1 < 0 ，
有两解故 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 无解，C错；
D选项：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 均为切线，设斜率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由于直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又因为准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 不在抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线上，D错
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件
B． SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件
C．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的充要条件
D．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 “ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分而不必要条件
【答案】AD
【解析】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，可推出 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 成立，反之，当 SKIPIF 1 < 0 时，例 SKIPIF 1 < 0 满足条件，即不能推出 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件，故A正确；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，反之， SKIPIF 1 < 0 不一定得 SKIPIF 1 < 0 ，如 SKIPIF 1 < 0 也满足 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件，故B错误；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，反之，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 成立的必要不充分条件，故C错误；
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，反之，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，推不出 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分而不必要条件，故D正确.
故选：AD
10．已知将函数 SKIPIF 1 < 0 的图像向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，且 SKIPIF 1 < 0 的图像关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上至多存在两个极大值点，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
【答案】AD
【解析】将函数 SKIPIF 1 < 0 的图像向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后，
得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，
因为 SKIPIF 1 < 0 的图像关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上只有一个极大值点，满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上极大值点的个数大于2，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上极大值点的个数大于2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，C错误；
又由 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，D正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 是单调递减的，B错误.
故选：AD.
11．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为2，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上且 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于另一个点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
B．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 内切圆的半径为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不是等腰三角形，故A错误.
根据椭圆的定义可知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，可得 SKIPIF 1 < 0 .由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确.
易知 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确.
不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BCD
12．已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在四边形 SKIPIF 1 < 0 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹的长度为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】对于A，如下图，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故A正确.
对于B，正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故B错误.
对于C，如下图，
设平面 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
分别取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
同理可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
由此结合 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是线段 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，
故C正确.
对于D，如下图，
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点共面，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为线段 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 为直角，
故线段 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故D错误.
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知多项式 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】31
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：31
14．已知等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若梯形上底 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则该梯形周长的最大值为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系：
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是等腰梯形，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
假设存在点 SKIPIF 1 < 0 在上底 SKIPIF 1 < 0 上使得 SKIPIF 1 < 0
∴可设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0
上底 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，
等价于方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又因为对称轴为 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
又∵梯形 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．如图，在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】解：梯形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由不等式 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个整数解，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得最大值，
作函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象如下，
由 SKIPIF 1 < 0 及函数图象可知，
要使 SKIPIF 1 < 0 ，有且仅有一个整数解，则需 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 且___________.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】条件选择见解析；（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】解：（1）方案一：选条件①.
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
方案二：选条件②.
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
方案三：选条件③.
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
18．如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）12
【解析】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
利用正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 为钝角， SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
利用基本不等式得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值为12
19．已知，如图四棱锥（1）中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上.
（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】解：（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
又∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 即平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可取 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可取 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0
20．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“ SKIPIF 1 < 0 ”高考新模式.为调硏新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望 SKIPIF 1 < 0 .
附： SKIPIF 1 < 0
【答案】（1）表格答案见解析，有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.
（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人.
随机变量X的所有可能取值为0，1，2.
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以X的分布列为
所以 SKIPIF 1 < 0 .
答：x的数学期望为 SKIPIF 1 < 0 .
21．设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 是底角为 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，设不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合的直线 SKIPIF 1 < 0 过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 两点，与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】设直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点Q，由 SKIPIF 1 < 0 是底角为 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
利用余弦定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0
设不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理得 SKIPIF 1 < 0
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
利用弦长公式可得： SKIPIF 1 < 0
设圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心O到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为d，则 SKIPIF 1 < 0
利用圆的弦长公式可得： SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
22．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的零点个数.
【答案】（1）答案见解析；（2）有3个零点.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以0是 SKIPIF 1 < 0 的一个零点，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点，设该零点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以在 SKIPIF 1 < 0 上的零点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有3个零点，分别为 SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有3个零点.
性别
科目
男生
女生
合计
物理
300
历史
150
合计
400
800
SKIPIF 1 < 0
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
性别
科目
男生
女生
合计
物理
300
历史
150
合计
400
800
SKIPIF 1 < 0
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
性别
科目
男生
女生
合计
物理
300
250
550
历史
100
150
250
合计
400
400
800
X
0
1
2
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0