新高考数学模拟测试卷05（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学模拟测试卷05（原卷版+解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知复数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知命题 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．习近平总书记在安微考察时指出，长江生态环境保护修复，一个是治污，一个是治岸，一个是治渔.为了保护长江渔业资源和生物多样性，我市从2020年1月1号起全面实施长江禁渔10年的规定.某科研单位需要从长江中临灭绝的白豚、长江江豚、达氏鲟、白鲟、中华鲟这5种鱼中随机选出3种进行调查研究，则白鲟和中华鲟同时被选中的概率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 SKIPIF 1 < 0 边形等分成 SKIPIF 1 < 0 个等腰三角形(如图所示)，当 SKIPIF 1 < 0 变得很大时，这 SKIPIF 1 < 0 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，估计 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点相同，离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
8．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（ ）
A．样本在区间 SKIPIF 1 < 0 内的频数为18
B．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策
C．样本的中位数小于350万元
D．可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
10．如图，已知长方体 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点.则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．点 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 四点共面
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0
D．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
11．函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图像如图所示，将函数 SKIPIF 1 < 0 的图像向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后得到 SKIPIF 1 < 0 的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数
B．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
C．函数 SKIPIF 1 < 0 的图像的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0
D．函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0
12．已知直线 SKIPIF 1 < 0 分别与函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为___________.
14．已知实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图， SKIPIF 1 < 0 的三条边长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .延长线段 SKIPIF 1 < 0 至点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，以此类推得到点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 生成的康威圆的半径为___________.
16．已知正方体 SKIPIF 1 < 0 棱长为2，点 SKIPIF 1 < 0 是上底面 SKIPIF 1 < 0 内一动点，若三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球表面积恰为 SKIPIF 1 < 0 ，则此时点 SKIPIF 1 < 0 构成的图形面积为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知 SKIPIF 1 < 0 是递增的等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
18．从①a＝3，② SKIPIF 1 < 0 ，③3sinB＝2sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求出b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ，3ccsB＝3a＋2b，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
19．如图，在正六边形 SKIPIF 1 < 0 中，将 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 翻折至 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，O，H分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值.
20．2020年11月某市进行了高中各年级学生的“国家体质健康测试”.现有1500名(男生1200名，女生300名)学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名学生进行分析，得到如下统计图表：
男生测试情况：
女生测试情况：
（1）现从抽取的100名且测试成绩为优秀的学生中随机挑选两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；
（2）若测试成绩为良好或优秀的学生为“体育达人”，其他成绩的学生(含病残等免试学生)为“非体育达人”.根据以上统计数据填写下面的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否为体育达人与性别有关？”
临界值表：
附： SKIPIF 1 < 0
21．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）判断是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由．
22．如图，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左焦点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点和上顶点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过定点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过 SKIPIF 1 < 0 轴上的两定点（用 SKIPIF 1 < 0 表示）.
新高考数学模拟测试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即集合 SKIPIF 1 < 0 .∵集合 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
2．已知复数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
又复数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
3．已知命题 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件．
故选：A
4．习近平总书记在安微考察时指出，长江生态环境保护修复，一个是治污，一个是治岸，一个是治渔.为了保护长江渔业资源和生物多样性，我市从2020年1月1号起全面实施长江禁渔10年的规定.某科研单位需要从长江中临灭绝的白豚、长江江豚、达氏鲟、白鲟、中华鲟这5种鱼中随机选出3种进行调查研究，则白鲟和中华鲟同时被选中的概率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】5种鱼中随机选出3种的取法： SKIPIF 1 < 0 ，
白鲟和中华鲟同时被选中的取法： SKIPIF 1 < 0 ，
所以白鲟和中华鲟同时被选中的概率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
5．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 SKIPIF 1 < 0 边形等分成 SKIPIF 1 < 0 个等腰三角形(如图所示)，当 SKIPIF 1 < 0 变得很大时，这 SKIPIF 1 < 0 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，估计 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】将一个单位圆平均分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
6．已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选:B.
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点相同，离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
8．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
故 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
不等式 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（ ）
A．样本在区间 SKIPIF 1 < 0 内的频数为18
B．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策
C．样本的中位数小于350万元
D．可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
【答案】AB
【解析】由图可得 SKIPIF 1 < 0
样本在区间 SKIPIF 1 < 0 内的频数为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
年收入在300万元以内的企业频率为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 则中位数在 SKIPIF 1 < 0 之间，设为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，故C不正确；
年收入的平均数超过 SKIPIF 1 < 0 ，故D不正确
故选：AB
10．如图，已知长方体 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点.则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．点 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 四点共面
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0
D．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】对于A，假设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由长方体性质知 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故假设不成立，故A错误；
对于B，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，又因为长方体 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 四点共面，故B正确；
对于C，由题意可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角，在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，利用等体积法知： SKIPIF 1 < 0 ，故D正确
故选：BCD
11．函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图像如图所示，将函数 SKIPIF 1 < 0 的图像向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后得到 SKIPIF 1 < 0 的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数
B．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
C．函数 SKIPIF 1 < 0 的图像的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0
D．函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】由图象可知
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入 SKIPIF 1 < 0 中，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确.
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
.则函数 SKIPIF 1 < 0 图像的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 .故C错误；
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 .故D正确.
故选：BD.
12．已知直线 SKIPIF 1 < 0 分别与函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为反函数，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
将 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 分别与函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
作出函数图像：
则 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即等号不成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，将 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，且函数为单调递增函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故函数的零点在 SKIPIF 1 < 0 上，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为___________.
【答案】112
【解析】二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的二项式的系数和为256，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 展开式的
通项 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得常数项为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：112.
14．已知实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图， SKIPIF 1 < 0 的三条边长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .延长线段 SKIPIF 1 < 0 至点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，以此类推得到点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 生成的康威圆的半径为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 是圆心，因为 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离相等，从而 SKIPIF 1 < 0 是直角 SKIPIF 1 < 0 的内心，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知正方体 SKIPIF 1 < 0 棱长为2，点 SKIPIF 1 < 0 是上底面 SKIPIF 1 < 0 内一动点，若三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球表面积恰为 SKIPIF 1 < 0 ，则此时点 SKIPIF 1 < 0 构成的图形面积为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】如图所示，设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球为球 SKIPIF 1 < 0 ，
分别取 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，
由于正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，
则 SKIPIF 1 < 0 的外接圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
设球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
而点 SKIPIF 1 < 0 在上底面 SKIPIF 1 < 0 所形成的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心的圆，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，点 SKIPIF 1 < 0 所构成的图形的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知 SKIPIF 1 < 0 是递增的等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为方程 SKIPIF 1 < 0 两根为 SKIPIF 1 < 0 或7，
又 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，数列 SKIPIF 1 < 0 是递增的等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
18．从①a＝3，② SKIPIF 1 < 0 ，③3sinB＝2sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求出b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ，3ccsB＝3a＋2b，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
【答案】答案见解析.
【解析】解法1：由正弦定理，得3sinCcsB＝3sin[π-（B＋C）]＋2sinB，
整理得3sinBcsC＋2sinB＝0．因为sinB≠0，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
解法2：由3ccsB＝3a＋2b，得3accsB＝3a2＋2ab，
由余弦定理，得3（a2＋c2-b2）＝6a2＋4ab，整理得3（-a2＋c2-b2）＝4ab，
即3abcsC＋2ab＝0．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
选①a＝3．由余弦定理可得c2＝a2＋b2-2abcs SKIPIF 1 < 0 ，
所以b2＋4b-12＝0，解得b＝2或b＝-6（舍去），
所以问题中的三角形存在．
选② SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，故ab＝9，
由余弦定理可得c2＋a2＋b2-2abcsC SKIPIF 1 < 0 ，又a2＋b2≥2ab，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，与ab＝9矛盾，
所以问题中的三角形不存在．
选③3sinB＝2sinA．由正弦定理得，3sinB＝2sinA SKIPIF 1 < 0 3b＝2a，
由余弦定理可得c2＝a2＋b2-2abcsC SKIPIF 1 < 0 ，
所以b＝2或b＝-2（舍去），
所以问题中的三角形存在．
19．如图，在正六边形 SKIPIF 1 < 0 中，将 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 翻折至 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，O，H分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点G，
连结 SKIPIF 1 < 0 .
又因为H是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又因为正六边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 同， SKIPIF 1 < 0 .
又O为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由条件可知 SKIPIF 1 < 0 .
分别以 SKIPIF 1 < 0 为x轴正方向､ SKIPIF 1 < 0 为y轴正方向､ SKIPIF 1 < 0 为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .
设正六边形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
由得 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
由得 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
则，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
20．2020年11月某市进行了高中各年级学生的“国家体质健康测试”.现有1500名(男生1200名，女生300名)学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名学生进行分析，得到如下统计图表：
男生测试情况：
女生测试情况：
（1）现从抽取的100名且测试成绩为优秀的学生中随机挑选两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；
（2）若测试成绩为良好或优秀的学生为“体育达人”，其他成绩的学生(含病残等免试学生)为“非体育达人”.根据以上统计数据填写下面的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否为体育达人与性别有关？”
临界值表：
附： SKIPIF 1 < 0
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）列联表见详解；在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为“是否为体育达人与性别有关”.
【解析】（1）由题意可得，用分层抽样抽取的男生人数为 SKIPIF 1 < 0 ，抽取的女生人数为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则抽取的这100名学生中，男生优秀的有 SKIPIF 1 < 0 人，标记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；女生优秀的有 SKIPIF 1 < 0 人，标记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
从这 SKIPIF 1 < 0 人中随机抽取两名学生，所包含的基本事件有： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，共 SKIPIF 1 < 0 个基本事件，
选出的这两名学生恰好是一男一女，所包含的基本事件有： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，共 SKIPIF 1 < 0 个基本事件；
所以选出的这两名学生恰好是一男一女的概率为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题中条件，完善列联表如下：
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为“是否为体育达人与性别有关”.
21．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）判断是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）答案见解析；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
即函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，
即函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，递减区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）假设存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，
设切点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
消掉 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，存在实数 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 使得函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与直线 SKIPIF 1 < 0 相切．
22．如图，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左焦点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点和上顶点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过定点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过 SKIPIF 1 < 0 轴上的两定点（用 SKIPIF 1 < 0 表示）.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【解析】解：（1）由 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上得 SKIPIF 1 < 0 ①，
如图，由 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的右顶点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的上顶点可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ②.
联立①②得方程组 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
故所求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .同理 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上的任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 联立，消去 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过 SKIPIF 1 < 0 轴上两定点，其坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
抽样情况
免试(病残等)
合格
合格
良好
优秀
人数
2
10
18
46
x
抽样情况
免试(病残等)
合格
合格
良好
优秀
人数
1
3
11
y
2
男性
女性
总计
体育达人
非体育达人
总计
SKIPIF 1 < 0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
SKIPIF 1 < 0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
抽样情况
免试(病残等)
合格
合格
良好
优秀
人数
2
10
18
46
x
抽样情况
免试(病残等)
合格
合格
良好
优秀
人数
1
3
11
y
2
男性
女性
总计
体育达人
非体育达人
总计
SKIPIF 1 < 0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
SKIPIF 1 < 0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
男性
女性
总计
体育达人
50
5
55
非体育达人
30
15
45
总计
80
20
100
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
增
减
增
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
减
增
减