新高考数学考前冲刺练习卷01（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前冲刺练习卷01（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了阿波罗尼斯证明过这样一个命题，下列四个结论等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第一部分（选择题 共40分）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．化简 SKIPIF 1 < 0 结果为（ ）
A．aB．bC． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．在 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中，奇数项的系数之和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第 SKIPIF 1 < 0 天所织布的尺数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．55B．52C．39D．26
6．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 距离之比为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不共线时， SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．下列四个结论：
①命题“若 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，则 SKIPIF 1 < 0 是三角函数”的否命题是“若 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，则 SKIPIF 1 < 0 不是三角函数”；
②命题“ SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ”；
③在 SKIPIF 1 < 0 中，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件；
④当 SKIPIF 1 < 0 时，幂函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
其中正确命题的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．24B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式对一切满足条件的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立的是______ （写出所有正确不等式的编号）．① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．
12．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
13．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 夹角的大小是______，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影是______．
14．函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______，若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.
15．已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，对于任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值是______．
三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（13分）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值;
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的对称中心及单调递增区间.
17．（14分）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 是直角梯形，满足 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
18．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）.
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元，处理1吨非厨余垃圾需要8元，请估计处理这400吨垃圾所需要的费用；
(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有3名女性志愿者，2名男性志愿者，现从这5名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）. 求两名男性志愿者都参加的概率.
19．（15分）在平面直角坐标系xOy中，顺次连接椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的四个顶点恰好构成一个边长为 SKIPIF 1 < 0 且面积为4的菱形.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆D： SKIPIF 1 < 0 ，M为椭圆C上的任意一点，N为椭圆D上任意一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，过点M的直线l(l不与x袖垂直)与椭圆D交于A，B网点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
20．（15分）若 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
21．（15分）给定数列 SKIPIF 1 < 0 . 对 SKIPIF 1 < 0 ，该数列前 SKIPIF 1 < 0 项的最大值记为 SKIPIF 1 < 0 ，后 SKIPIF 1 < 0 项 SKIPIF 1 < 0 的最小值记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 为3,4,7,1. 写出 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 是公比大于 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 是常数列.
厨余垃圾桶
可回收物桶
其他垃圾桶
厨余垃圾
60
20
20
可回收物
10
40
10
其他垃圾
30
40
170
新高考数学考前冲刺练习卷
数学•全解全析
单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】求解分式不等式的解集，再由补集的定义求解出 SKIPIF 1 < 0 ，再由交集的定义去求解得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】根据共轭复数的定义以及复数的模直接运算即可．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查共轭复数和复数的模，属于基础题．
3．化简 SKIPIF 1 < 0 结果为（ ）
A．aB．bC． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据实数指数幂的运算法则运算，即可求解.
【详解】根据实数指数幂的运算公式，可得：
SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．在 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中，奇数项的系数之和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】写出展开式通项，即可求得展开式中所有奇数项的系数之和.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，展开式中所有奇数项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第 SKIPIF 1 < 0 天所织布的尺数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．55B．52C．39D．26
【答案】B
【分析】将每天织的布构成一个等差数列，根据条件求出公差，将要求的 SKIPIF 1 < 0 转化为公差与首项来求，即可得出答案．
【详解】因为从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，
所以该女子每天织的布构成一个等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
6．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 距离之比为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不共线时， SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】以经过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线为 SKIPIF 1 < 0 轴建系，利用 SKIPIF 1 < 0 求出圆的方程，可得圆的半径，进而可求出三角形面积的最大值.
【详解】如图，以经过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线为 SKIPIF 1 < 0 轴建系，如图：
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方并整理得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
7．下列四个结论：
①命题“若 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，则 SKIPIF 1 < 0 是三角函数”的否命题是“若 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，则 SKIPIF 1 < 0 不是三角函数”；
②命题“ SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ”；
③在 SKIPIF 1 < 0 中，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件；
④当 SKIPIF 1 < 0 时，幂函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
其中正确命题的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得①命题“若 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，则 SKIPIF 1 < 0 是三角函数”的否命题是“若 SKIPIF 1 < 0 不是是周期函数，则 SKIPIF 1 < 0 不是三角函数”，所以是错误的；②中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“ SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ”，是正确的；③在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得“ SKIPIF 1 < 0 ”则 SKIPIF 1 < 0 ，所以是正确的；④当 SKIPIF 1 < 0 时，根据幂函数的性质，幂函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，是正确的，故选C．
考点：命题的真假判定．
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，也就是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最大值或最小值，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，故选A
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据对称性先求出 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再根据单调性和一元二次不等式的解法求解不等式 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的反函数，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，原不等式即为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍） ，
SKIPIF 1 < 0 ；
故选：B.
10．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．24B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立平面直角坐标系，由圆 SKIPIF 1 < 0 方程设 SKIPIF 1 < 0 ，写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值．
【详解】骑行过程中， SKIPIF 1 < 0 相对不动，只有 SKIPIF 1 < 0 点绕 SKIPIF 1 < 0 点做圆周运动．
如图，以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
易知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式对一切满足条件的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立的是______ （写出所有正确不等式的编号）．① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】①③④
【分析】由基本不等式判断①；由 SKIPIF 1 < 0 结合基本不等式判断②；由 SKIPIF 1 < 0 结合①可判断③；由基本不等式“1”的代换判断④.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于①， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立， SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；
对于②， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立， SKIPIF 1 < 0 ，故②错误；
对于③， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故③正确；
对于④， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故④正确.
故答案为：①③④
12．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
【答案】
【详解】试题分析：双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 .
考点：双曲线的渐近线.
13．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 夹角的大小是______，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】利用 SKIPIF 1 < 0 列方程，解方程求得向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 夹角；利用向量投影公式计算出向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影.
【详解】设向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
那么 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：(1). SKIPIF 1 < 0 (2). SKIPIF 1 < 0
【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量夹角的计算，考查向量投影的计算，属于基础题.
14．函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______，若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.
【答案】 1 SKIPIF 1 < 0
【分析】代值计算即可，画出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质即可求出．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
画出 SKIPIF 1 < 0 的图象，如图所示，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：1， SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查函数与方程，问题的关键在于找出对称性，利用对称性来解题，属于中档题．
15．已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，对于任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值是______．
【答案】10
【分析】由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，利用 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据二次函数图象和性质得出 SKIPIF 1 < 0 的单调性，根据单调性分别求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值，从而得出 SKIPIF 1 < 0 取得最大值.
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 递减，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
若使得对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
则需 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：10.
【点睛】本题考查利用单调性求数列前 SKIPIF 1 < 0 项和的最值问题以及利用分组求和法求出数列前 SKIPIF 1 < 0 项和，根据 SKIPIF 1 < 0 是解决本题的关键.
三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（13分）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值;
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的对称中心及单调递增区间.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0
(2)对称中心是 SKIPIF 1 < 0 .单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）利用二倍角公式将函数化为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ,配方即可求解.
（2）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用正弦函数的中心对称点以及单调递增区间即可求解.
【详解】解:(1)由题意得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以当 SKIPIF 1 < 0 时,有 SKIPIF 1 < 0 ;当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
(2)由题得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
从而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 .故对称中心是 SKIPIF 1 < 0 .
再由 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 .
所以单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查了二倍角公式、辅助角公式、含有余弦型的三角函数的最值以及三角函数的性质，需熟记公式和性质，属于基础题.
17．（14分）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 是直角梯形，满足 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，进而证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形即可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据判定定理即可证明；
（2）以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】（1）证明：取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：由题知， SKIPIF 1 < 0 三条直线两两相互垂直，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
18．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）.
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元，处理1吨非厨余垃圾需要8元，请估计处理这400吨垃圾所需要的费用；
(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有3名女性志愿者，2名男性志愿者，现从这5名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）. 求两名男性志愿者都参加的概率.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)2900元
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先利用表格得到厨余垃圾的总量和投入厨余垃圾桶的数量，再估计其概率；
（2）先计算垃圾含有厨余垃圾和非厨余垃圾的数量，再求其处理费用；
（3）先列举出所有基本事件和两名男性志愿者都参加的基本事件，再利用古典概型的概率公式进行求解.
(1)由题表可得厨余垃圾共有60+20+20=100吨，
其中投入厨余垃圾桶的有60吨，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由题表可得这400吨垃圾含有100吨厨余垃圾和300吨非厨余垃圾，
则处理费用为5×100+8×300=2900元，
所以估计处理这400吨垃圾需要2900元；
(3)用a,b,c表示3名女性志愿者，m,n表示2名男性志愿者，
随机选取3人，共有：(a,b,c)、(a,b,m)、(a,b,n)、(a,c,m)、(a,c,n)、(b,c,m)、
(b,c,n)、(a,m,n)、(b,m,n)、(c,m,n)这10种，
其中两名男性志愿者都参加的有：(a,m,n)、(b,m,n)、(c,m,n)这3种，
所以两名男性志愿者都参加的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
19．（15分）在平面直角坐标系xOy中，顺次连接椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的四个顶点恰好构成一个边长为 SKIPIF 1 < 0 且面积为4的菱形.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆D： SKIPIF 1 < 0 ，M为椭圆C上的任意一点，N为椭圆D上任意一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，过点M的直线l(l不与x袖垂直)与椭圆D交于A，B网点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据四个顶点恰好构成一个边长为 SKIPIF 1 < 0 且面积为4的菱形，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 求解；
（2）易知椭圆D的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，分别代入椭圆C和椭圆D的方程得到 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆D方程联立，结合韦达定理， 得到 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 的面积为3S.
【详解】（1）因为四个顶点恰好构成一个边长为 SKIPIF 1 < 0 且面积为4的菱形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）椭圆D的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆D方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，①
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 与y轴交于 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
将直线 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆C的方程，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，
即有 SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为3S，
即 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：1、解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
2、解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 SKIPIF 1 < 0 (k为直线斜率)．
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．
20．（15分）若 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先求解 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程，然后可求它与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）把 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ，然后构造函数，求解函数的最小值即可.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，它交两坐标轴于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）先证明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
由题意得 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数应用，切点处的导数值是切线的斜率，这是求解切线问题的关键；恒成立问题一般是先分离参数，然后构造函数，求解函数的最值即可，适当的放缩能简化解题过程，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
21．（15分）给定数列 SKIPIF 1 < 0 . 对 SKIPIF 1 < 0 ，该数列前 SKIPIF 1 < 0 项的最大值记为 SKIPIF 1 < 0 ，后 SKIPIF 1 < 0 项 SKIPIF 1 < 0 的最小值记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 为3,4,7,1. 写出 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 是公比大于 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 是常数列.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 的定义，求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
（2）根据数列 SKIPIF 1 < 0 的单调性，确定 SKIPIF 1 < 0 ，根据等比数列的定义，证得 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（3）先证得 SKIPIF 1 < 0 后面的项，都不小于 SKIPIF 1 < 0 ，然后证得 SKIPIF 1 < 0 后面的项，都不大于 SKIPIF 1 < 0 ，由此证得 SKIPIF 1 < 0 后面的项，和 SKIPIF 1 < 0 都相等，即证得数列 SKIPIF 1 < 0 的每一项和 SKIPIF 1 < 0 都相等，也即证得 SKIPIF 1 < 0 是常数列.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 是公比大于 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 是等比数列.
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，且对 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ……①.
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以对 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ……②.
由①②知，对 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 .
同上可证 SKIPIF 1 < 0 .
以此类推，由于 SKIPIF 1 < 0 仅有有限项，所以 SKIPIF 1 < 0 是常数列.
【点睛】本小题主要考查新定义 SKIPIF 1 < 0 的理解和运用，考查等比数列的定义，考查分析思考与解决问题的能力，综合性很强，属于难题.
厨余垃圾桶
可回收物桶
其他垃圾桶
厨余垃圾
60
20
20
可回收物
10
40
10
其他垃圾
30
40
170