新高考数学考前冲刺练习卷17（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前冲刺练习卷17（原卷版+解析版），共21页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第一部分（选择题 共40分）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ” 的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的（ ）
A．内心B．重心C．外心D．垂心
5．在2018年合肥市高中生研究性学习课题展示活动中，甲、乙、丙代表队中只有一个队获得一等奖，经询问，丙队代表说：“甲代表队没得—等奖”；乙队代表说：“我们队得了一等奖”；甲队代表说：“丙队代表说的是真话”．事实证明，在这三个代表的说法中，只有一个说的是假话，那么获得一等奖的代表队是
A．甲代表队B．乙代表队C．丙代表队D．无法判断
6．已知角 SKIPIF 1 < 0 的顶点为坐标原点，始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴重合，终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线与圆心为C的圆 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，那么 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．椭圆 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =1与双曲线 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =1有相同的焦点，则a的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1或-2C．1或 SKIPIF 1 < 0 D．1
10．已知 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． SKIPIF 1 < 0 __．
12．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为__________.
13．在正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________； SKIPIF 1 < 0 ___________．
14．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________， SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
15．已知 SKIPIF 1 < 0 ，均为正数，并且 SKIPIF 1 < 0 ，给出下列四个结论：
① SKIPIF 1 < 0 中小于1的数最多只有一个；
② SKIPIF 1 < 0 中小于2的数最多只有两个；
③ SKIPIF 1 < 0 中最大的数不小于2022；
④ SKIPIF 1 < 0 中最小的数不小于 SKIPIF 1 < 0 ．
其中所有正确结论的序号为_________．
三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（13分）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.
已知锐角 SKIPIF 1 < 0 中，a､b､c分别为内角A，B､C的对边， SKIPIF 1 < 0 ，___________.
（1）求角C；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
(注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).
17．（14分）在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，
(1)若 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 上的点，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，试求 SKIPIF 1 < 0 的值．
18．（13分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
从第一个顾客开始办理业务时计时.
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2） SKIPIF 1 < 0 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及数学期望.
19．（15分）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个零点．
（i）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（ii）若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
20．（15分）神舟飞船是中国自行研制的航天器，从神舟一号到神舟十一号，都按照预定轨道完成巡天飞行.其中神舟五号的轨道是以地球的中心 SKIPIF 1 < 0 为一个焦点的椭圆，选取坐标系如图所示，椭圆中心在坐标原点，近地点 SKIPIF 1 < 0 距地面200千米，远地点 SKIPIF 1 < 0 距地面350千米，已知地球半径 SKIPIF 1 < 0 千米.
（1）求飞船飞行的椭圆轨道方程；
（2）神舟五号飞船在椭圆轨道运行14圈，历时21小时23分.若椭圆周长的一个近似公式为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的长半轴与短半轴的长)，请问：神舟五号飞船平均飞行速度每秒多少千米？(结果精确到0.01千米/秒， SKIPIF 1 < 0 取3.14)
21．（15分）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .记集合 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，写出集合 SKIPIF 1 < 0 的所有元素；
(2)若集合 SKIPIF 1 < 0 存在一个元素是3的倍数，证明： SKIPIF 1 < 0 的所有元素都是3的倍数；
(3)求集合 SKIPIF 1 < 0 的元素个数的最大值.
办理业务所需的时间（分）
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
新高考数学考前冲刺练习卷
数学•全解全析
单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
2．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】化简集合B，利用并集概念及运算即可得到结果.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故选：C
【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.
3．设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ” 的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.
详解：求解不等式 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
求解绝对值不等式 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可知：“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ” 的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的（ ）
A．内心B．重心C．外心D．垂心
【答案】C
【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，利用已知条件，证明 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，由此推出结论．
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵三棱锥的三条侧棱两两相等，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 为三角形的外心．
故选：C．
5．在2018年合肥市高中生研究性学习课题展示活动中，甲、乙、丙代表队中只有一个队获得一等奖，经询问，丙队代表说：“甲代表队没得—等奖”；乙队代表说：“我们队得了一等奖”；甲队代表说：“丙队代表说的是真话”．事实证明，在这三个代表的说法中，只有一个说的是假话，那么获得一等奖的代表队是
A．甲代表队B．乙代表队C．丙代表队D．无法判断
【答案】C
【分析】分别假设甲、乙、丙说假话，验证是否还有其他人说假话，从而可得结果.
【详解】若甲说的是假话，则丙说的也是假话，不合题意；若丙说的是假话，则甲获得了一等奖，那么乙说的也是假话，故不合题意；若乙说假话了，则甲丙说的都是真话，那么丙获得了一等奖，符合题意，故选C.
【点睛】本题主要考查推理案例，属于中档题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.
6．已知角 SKIPIF 1 < 0 的顶点为坐标原点，始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴重合，终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据角终边上点的坐标，求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入二倍角公式即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值．
【详解】因为终边上点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：B．
7．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线与圆心为C的圆 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，那么 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】求出抛物线的准线方程，求出 SKIPIF 1 < 0 坐标，然后求解向量的模．
【详解】解：抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线 SKIPIF 1 < 0 ，代入圆 SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0
圆的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
那么 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
8．函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，再通过计算 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，发现 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到零点所在区间．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，根据零点存在性定理，可得函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选B．
【点睛】本题考查基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题．
9．椭圆 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =1与双曲线 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =1有相同的焦点，则a的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1或-2C．1或 SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】D
【分析】根据椭圆和双曲线方程形式，利用焦点相同，列式求a的值.
【详解】由条件可知， SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴，所以椭圆的焦点也在 SKIPIF 1 < 0 轴，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）
故选：D
10．已知 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】对函数 SKIPIF 1 < 0 求导，将 SKIPIF 1 < 0 代入导数中可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到函数解析式，将 SKIPIF 1 < 0 代入函数解析式可得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
【点睛】本题考查导数的四则运算，考查特殊函数的导数公式，属于简单题.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． SKIPIF 1 < 0 __．
【答案】2
【分析】先化简，再求模.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2
12．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为__________.
【答案】100
【分析】求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，结合多项式乘法确定 SKIPIF 1 < 0 的系数.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式中通项为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，
含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
13．在正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________； SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据题意得出关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程组，可解得正数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，利用等比数列的通项公式可求得 SKIPIF 1 < 0 的表达式.
【详解】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查等比数列基本量和等比数列通项公式的求解，考查计算能力，属于基础题.
14．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________， SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 2
【分析】利用基本不等式求解即可，由于 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值，由于 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，等号当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时成立；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 ，等号当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时成立.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ，2
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
15．已知 SKIPIF 1 < 0 ，均为正数，并且 SKIPIF 1 < 0 ，给出下列四个结论：
① SKIPIF 1 < 0 中小于1的数最多只有一个；
② SKIPIF 1 < 0 中小于2的数最多只有两个；
③ SKIPIF 1 < 0 中最大的数不小于2022；
④ SKIPIF 1 < 0 中最小的数不小于 SKIPIF 1 < 0 ．
其中所有正确结论的序号为_________．
【答案】①②③
【分析】对于①②③，用反证法可以证明；对于④，举出反例说明其错误.
【详解】对于①,假设存在两个小于1的正数,不妨设 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
这与 SKIPIF 1 < 0 矛盾,
故 SKIPIF 1 < 0 中小于1的数最多只有一个, ①正确;
对于②, 假设存在3个小于2的正数,不妨设 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，这与 SKIPIF 1 < 0 矛盾,
故 SKIPIF 1 < 0 中小于2的数最多只有两个, ②正确;
对于③,假设 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 矛盾,
故 SKIPIF 1 < 0 中最大的数不小于2022, ③正确;
对于④,不妨假设 SKIPIF 1 < 0 中最小数为 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 ,
则取 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
即说明 SKIPIF 1 < 0 中最小的数可以小于 SKIPIF 1 < 0 ,④错误,
故答案为:①②③
【点睛】方法点睛：对于关于最多或最少类命题的解决方法，一般可采用反证法；对于多个数中的最大数或最小数的范围判断问题，可以用反证法说明反面不成立，证明原命题成立，也可以举反例说明命题不成立.
三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（13分）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.
已知锐角 SKIPIF 1 < 0 中，a､b､c分别为内角A，B､C的对边， SKIPIF 1 < 0 ，___________.
（1）求角C；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
(注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).
【答案】条件选择见解析；（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）选条件①：由条件结合正弦定理、三角恒等变换化简即可得解；
选条件②：由条件结合正弦定理、三角恒等变换化简即可得解；
选条件③：由条件结合正弦定理、余弦定理运算即可得解；
（2）确定B的范围，由正弦定理转化条件为 SKIPIF 1 < 0 ，结合三角恒等变换及三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）选条件①：由 SKIPIF 1 < 0 及正弦定理得
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为C为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
选条件②：由 SKIPIF 1 < 0 及正弦定理得
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
选条件③：由 SKIPIF 1 < 0 及正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 是锐角三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
17．（14分）在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，
(1)若 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 上的点，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，试求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）分别证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由面面平行的性质定理可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，然后可得答案.
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，即 SKIPIF 1 < 0 .
18．（13分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
从第一个顾客开始办理业务时计时.
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2） SKIPIF 1 < 0 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及数学期望.
【答案】（1）0.22；（2）分布列见解析，0.51.
【分析】（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列，对“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”分三种情况讨论①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，求概率.
（2）确定X所有可能的取值，求出对应的概率，即可得到X的分布列即数学期望.
【详解】（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：
记事件A：第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务
①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；
②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟
所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22；
（2）X所有可能的取值为：0，1，2
X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，
所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；
X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，
所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；
X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；
所以X的分布列为：
期望：EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.
即 SKIPIF 1 < 0 的数学期望为0.51..
【点睛】求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：
（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；
（3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.
19．（15分）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个零点．
（i）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（ii）若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （2）（ⅰ）a=1（ⅱ） SKIPIF 1 < 0
【详解】试题分析：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2=（x2﹣2x）lnx﹣x2+2，求出f′（x），则k=f′（1），代入直线方程的点斜式可得切线的方程．
（2）①令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数h（x）= SKIPIF 1 < 0 ，确定h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求a的值；
②当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若 SKIPIF 1 < 0 ，g（x）≥m，只需g（x）min≥m．
试题解析：
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程 SKIPIF 1 < 0 .
（2）（ⅰ）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数 又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，∴当函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个零点时， SKIPIF 1 < 0 .
（ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
只需 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
20．（15分）神舟飞船是中国自行研制的航天器，从神舟一号到神舟十一号，都按照预定轨道完成巡天飞行.其中神舟五号的轨道是以地球的中心 SKIPIF 1 < 0 为一个焦点的椭圆，选取坐标系如图所示，椭圆中心在坐标原点，近地点 SKIPIF 1 < 0 距地面200千米，远地点 SKIPIF 1 < 0 距地面350千米，已知地球半径 SKIPIF 1 < 0 千米.
（1）求飞船飞行的椭圆轨道方程；
（2）神舟五号飞船在椭圆轨道运行14圈，历时21小时23分.若椭圆周长的一个近似公式为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的长半轴与短半轴的长)，请问：神舟五号飞船平均飞行速度每秒多少千米？(结果精确到0.01千米/秒， SKIPIF 1 < 0 取3.14)
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】 SKIPIF 1 < 0 先设出椭圆的标准方程，根据椭圆的定义可求得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值，进而求得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆的方程可得．
SKIPIF 1 < 0 把从15日9时到16日6时的时间减去开始的时间，再减去最后多计的时间，可得飞船巡天飞行的时间，进而可算出平均速度．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 设椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 由题设条件得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 历时21小时23分，得飞船巡天飞行的时间是 SKIPIF 1 < 0 （秒 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以总飞行距离为： SKIPIF 1 < 0 ，
平均速度是 SKIPIF 1 < 0 （千米 SKIPIF 1 < 0 秒）
所以飞船巡天飞行的平均速度是 SKIPIF 1 < 0 ．
21．（15分）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .记集合 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，写出集合 SKIPIF 1 < 0 的所有元素；
(2)若集合 SKIPIF 1 < 0 存在一个元素是3的倍数，证明： SKIPIF 1 < 0 的所有元素都是3的倍数；
(3)求集合 SKIPIF 1 < 0 的元素个数的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)见解析
(3)5
【分析】（1）根据递推关系可求 SKIPIF 1 < 0 的所有元素；
（2）根据递推关系结合数学归纳法可得相应的证明；
（3）利用列举法可求 SKIPIF 1 < 0 的元素个数的最大值
【详解】（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2.
故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 互质，故 SKIPIF 1 < 0 为3的倍数；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 互质，
故 SKIPIF 1 < 0 为3的倍数，
依次类推，有 SKIPIF 1 < 0 均为3的倍数.
当 SKIPIF 1 < 0 时，我们用数学归纳法证明： SKIPIF 1 < 0 也是3的倍数.
当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为3的倍数；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为3的倍数，
设当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是3的倍数即 SKIPIF 1 < 0 为3的倍数，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为3的倍数；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 为3的倍数，故 SKIPIF 1 < 0 为3的倍数，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是3的倍数也成立，
由数学归纳法可得 SKIPIF 1 < 0 是3的倍数成立，
综上， SKIPIF 1 < 0 的所有元素都是3的倍数.
（3）当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为5；
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为4；
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为5；
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为5；
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为4；
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为5；
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为5；
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为4；
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为5；
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为5；
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为4；
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为5；
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为1；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的元素个数不超过为5，
综上， SKIPIF 1 < 0 的元素个数的最大值为5.
【点睛】思路点睛：根据递推关系研究数列的性质时，可根据局部性质结合数学归纳法去研究整体性质，另外对于数学有限情况的研究，可结合列举法讨论解决.
办理业务所需的时间（分）
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
Y
1
2
3
4
5
P
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
X
0
1
2
P
0.5
0.49
0.01