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山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
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这是一份山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题），共27页。试卷主要包含了先化简，再求值，，一次函数的图象与x轴交于点C，两点，交y轴于点C，问题等内容，欢迎下载使用。
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•宁阳县一模）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组：．
二．一元一次方程的应用（共1小题）
2．（2023•岱岳区一模）某校为美化校园，计划在假期对教室的地砖进行更换，每间教室的面积大小相同，安排了甲、乙两个工程队完成．7月份施工时，甲工程队7天完成了16间教室的地砖铺设；乙工程队3天铺完了8间教室地砖后再铺设了20m2的地砖，已知甲工程队比乙工程队每天少完成28m2的地砖铺设．
（1）求每间教室需要铺设地砖的面积；
（2）8月份施工时，甲、乙两个工程队各自需要完成24间教室的铺砖工作．由于天气炎热，甲、乙两个工程队均调整了施工速度，甲工程队每天铺设的地砖面积是乙工程队每天铺设的地砖面积的，乙工程队比甲工程队少用7天完成任务，求8月份甲、乙两个工程队每天各铺设地砖的面积．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2023•泰山区一模）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于5000元．那么有哪几种购买方案？
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
4．（2023•泰安一模）已知直线与双曲线交于点A、B，过点B作直线OA的平行线，并与x轴交于点C，且点A的横坐标是a，点B的横坐标是2a．
（1）求k的值；
（2）连接AC，求△AOC的面积．
5．（2023•新泰市一模）如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝x+m的图象交于点B和点A（1，﹣k+4），一次函数的图象与x轴交于点C．
（1）求出两个函数的表达式．
（2）延长AO交反比例函数于点M，设点N是y轴上的点，当S△BMN＝S△AOC时，求点N的坐标．
（3）直接写出x+m≥时x的取值范围．
五．二次函数综合题（共2小题）
6．（2023•泰山区一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；
（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．
7．（2023•东平县一模）抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；
（3）过点C作CH⊥PN于点H，S△BMN＝9S△CHM，
①求点P的坐标；
②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
六．四边形综合题（共1小题）
8．（2023•泰山区一模）问题：如图，在▱ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F．
（1）求EF的长．
探究：
（2）把“问题”中的条件“AB＝9”去掉，其余条件不变．当点E与点C重合时，求EF的长．
（3）把“问题”中的条件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
七．圆周角定理（共1小题）
9．（2023•泰山区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
（1）若AB＝AC，求证：AD平分∠BDE；
（2）若BC＝4，⊙O的半径为6，求cos∠BAC．
八．几何变换综合题（共1小题）
10．（2023•岱岳区一模）在习题课上，老师让同学们以课本一道习题“如图1，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库E和Q分别位于AD和DC上，且ED＝QC．证明两条直路BE＝AQ且BE⊥AQ．”为背景开展数学探究．
（1）独立思考：将上题条件中的ED＝QC去掉，将结论中的BE⊥AQ变为条件，其他条件不变，那么BE＝AQ还成立吗？请写出答案并说明理由；
（2）合作交流：“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图2，在正方形ABCD内有一点P，过点P作EF⊥GH，点E、F分别在正方形的对边AD、BC上，点G、H分别在正方形的对边AB、CD上，那么EF与GH相等吗？并说明理由．
（3）拓展应用：“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，想到了利用图2的结论解决以下问题：
如图3，将边长为10cm的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在DC的中点E处，折痕为MN，点N在BC边上，点M在AD边上．请你画出折痕，则折痕MN的长是 ；线段DM的长是 ．
九．相似三角形的判定与性质（共2小题）
11．（2023•岱岳区一模）在△ABC中，D在AC上，且∠ABD＝∠C＝45°．
（1）如图1，若AD＝4，CD＝2，求AB的长度．
（2）如图2，作DE⊥AB于E，过点E作EF∥BC交AC于点F，作FG⊥BC于G，探究FG与BC的关系，并证明你的结论．
12．（2023•新泰市一模）如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．
（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；
（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．
一十．列表法与树状图法（共1小题）
13．（2023•宁阳县一模）某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别
A
B
C
D
E
F
类型
足球
羽毛球
乒乓球
篮球
排球
其他
人数
10
4
6
2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有 人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为 %．
（2）被调查学生的总数为 人，其中，最喜欢篮球的有 人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 %．
（3）该校共有450名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生人数．
（4）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小乒乓球，把它们分别标号为1，2，3，小明从中随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，求两次摸出的小球标号的和是偶数的概率．
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•宁阳县一模）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组：．
【答案】（1），；
（2）﹣3≤x＜1．
【解答】解：（1）
＝﹣•+
＝﹣+
＝
＝，
当x＝2﹣时，原式＝＝；
（2），
解不等式①，得：x＜1；
解不等式②，得：x≥﹣3，
∴该不等式组的解集是﹣3≤x＜1．
二．一元一次方程的应用（共1小题）
2．（2023•岱岳区一模）某校为美化校园，计划在假期对教室的地砖进行更换，每间教室的面积大小相同，安排了甲、乙两个工程队完成．7月份施工时，甲工程队7天完成了16间教室的地砖铺设；乙工程队3天铺完了8间教室地砖后再铺设了20m2的地砖，已知甲工程队比乙工程队每天少完成28m2的地砖铺设．
（1）求每间教室需要铺设地砖的面积；
（2）8月份施工时，甲、乙两个工程队各自需要完成24间教室的铺砖工作．由于天气炎热，甲、乙两个工程队均调整了施工速度，甲工程队每天铺设的地砖面积是乙工程队每天铺设的地砖面积的，乙工程队比甲工程队少用7天完成任务，求8月份甲、乙两个工程队每天各铺设地砖的面积．
【答案】（1）56m2；
（2）甲工程队每天各铺设地砖的面积为48m2，乙工程队每天铺设的面积为64m2．
【解答】解：（1）设每间教室需要铺设地砖的面积xm2，依题意得：
，
解得：x＝56，
答：每间教室需要铺设地砖的面积56m2；
（2）设乙工程队每天铺设ym2，则甲工程队每天铺设ym2，依题意得：
，
解得：y＝64，
经检验：y＝64是原方程的解，
则甲工程队每天铺设的面积为：×64＝48（m2），
答：甲工程队每天各铺设地砖的面积为48m2，乙工程队每天铺设的面积为64m2．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2023•泰山区一模）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于5000元．那么有哪几种购买方案？
【答案】（1）篮球的单价是90元，足球的单价是60元；
（2）共有6种购买方案，①采购篮球41个，足球19个；②采购篮球42个，足球18个；③采购篮球43个，足球17个；④采购篮球44个，足球16个；⑤采购篮球45个，足球15个；⑥采购篮球46个，足球14个．
【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，则足球的单价是（x﹣30）元，
由题意得：＝2×，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣30＝60，
答：篮球的单价是90元，足球的单价是60元；
（2）设采购篮球m个，则采购足球为（60﹣m）个，
由题意得：，
解得：，
又∵m为整数，
∴m的值可为41，42，43，44，45，46，
∴共有6种购买方案：
①采购篮球41个，足球19个；
②采购篮球42个，足球18个；
③采购篮球43个，足球17个；
④采购篮球44个，足球16个；
⑤采购篮球45个，足球15个；
⑥采购篮球46个，足球14个．
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
4．（2023•泰安一模）已知直线与双曲线交于点A、B，过点B作直线OA的平行线，并与x轴交于点C，且点A的横坐标是a，点B的横坐标是2a．
（1）求k的值；
（2）连接AC，求△AOC的面积．
【答案】（1）k＝12；
（2）9．
【解答】解：（1）∵点A、B在直线上，点A的横坐标是a，点B的横坐标是2a，
∴A（a，﹣），B（2a，﹣a+6），
∵点A，B都在双曲线上，
∴a（﹣a+6）＝2a（﹣a+6）
解得a＝0（0不合题意，舍去），a＝3，
∴点A（3，4），点B（6，2），
∴k＝12；
（2）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
在中，令y＝0，则x＝9，
∴E（9，0），
∵A（3，4），B（6，2），
∴M（3，0），N（6，0），
∴MN＝EN＝3，
∵AM∥BN，
∴AB＝EB，
∵AO∥BC，
∴C是OE的中点，
∴OC＝EC＝，
∴S△AOC＝＝＝9．
5．（2023•新泰市一模）如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝x+m的图象交于点B和点A（1，﹣k+4），一次函数的图象与x轴交于点C．
（1）求出两个函数的表达式．
（2）延长AO交反比例函数于点M，设点N是y轴上的点，当S△BMN＝S△AOC时，求点N的坐标．
（3）直接写出x+m≥时x的取值范围．
【答案】（1）；（2）N（0，2）或（0，﹣8）；（3）x≥1或﹣2≤x＜0．
【解答】解：（1）将A（1，﹣k+4）代入得：
﹣k+4＝k，
解得：k＝2，
∴，A（1，2），
将A（1，2）代入y＝x+m得：
2＝1+m，
解得：m＝1，
∴y＝x+1．
（2）∵y＝x+1，令y＝0，则x＝﹣1，
∴C（﹣1，0）．
∴OC＝1．
∴＝＝1，
∵，
∴，
延长BM交y轴于D点，如图，
设直线BD的解析式为y＝mx+b，
∵A（1，2），∴M（﹣1，﹣2），
∵，
解得：，．
∴B（﹣2，﹣1）．
∴，
解得：．
∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣3．
令x＝0，则y＝﹣3，
∴D（0，﹣3），
∴OD＝3
∴＝＝，
∵，
∴|yN+3|＝5，
yN＝2或﹣8，
∴N（0，2）或（0，﹣8）；
（3）由图象可知：点A右侧的部分，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
在点B的右侧的部分，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴x≥1或﹣2≤x＜0时，一次函数的函数值大于或等于反比例函数的函数值，
∴x≥1或﹣2≤x＜0时，．
五．二次函数综合题（共2小题）
6．（2023•泰山区一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；
（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，
∴a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）C（0，2），
∴BC的直线解析式为y＝﹣x+2，
当t＝时，AM＝3，
∵AB＝5，
∴MB＝2，
∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），
∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积＝MB×DM﹣MB×MN＝×2×2＝2；
（3）∵BM＝5﹣2t，
∴M（2t﹣1，0），
设P（2t﹣1，m），
∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，
∵PB＝PC，
∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，
∴m＝4t﹣5，
∴P（2t﹣1，4t﹣5），
∵PC⊥PB，
∴×＝﹣1
∴t＝1或t＝2，
∴M（1，0）或M（3，0），
∴D（1，3）或D（3，2）．
7．（2023•东平县一模）抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；
（3）过点C作CH⊥PN于点H，S△BMN＝9S△CHM，
①求点P的坐标；
②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；
（2）PM取得最大值2，此时点M的坐标为（2，﹣2）；
（3）①P（1，﹣）；②存在点Q，点Q的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）．
【解答】解：（1）∵设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝（x+2）（x﹣4）＝x2﹣x﹣4；
（2）在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣t﹣4），则M（t，t﹣4），
∴PM＝t﹣4﹣（t2﹣t﹣4）＝﹣t2+2t，
∵PM＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，﹣＜0，
∴当t＝2时，PM取得最大值2，此时点M的坐标为（2，﹣2）；
（3）①如图1，∵P（t，t2﹣t﹣4），M（t，t﹣4），N（t，0），B（4，0），C（0，﹣4），CH⊥PN，
∴BN＝4﹣t，MN＝4﹣t，CH＝t，MH＝t﹣4﹣（﹣4）＝t，
∵S△BMN＝9S△CHM，
∴×（4﹣t）2＝9×t2，
解得：t1＝1，t2＝﹣2，
∵点P是线段BC下方抛物线上的一个动点，
∴0＜t＜4，
∴t＝1，
∴P（1，﹣）；
②存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，设Q（0，m），
∵C（0，﹣4），P（1，﹣），
∴CP2＝（1﹣0）2+（﹣+4）2＝，CQ2＝（﹣4﹣m）2，PQ2＝12+（﹣﹣m）2，
当∠CQP＝90°时，如图2，PQ⊥y轴，
∴Q（0，﹣）；
当∠CPQ＝90°时，如图3，
在Rt△CPQ中，CP2+PQ2＝CQ2，
∴+12+（﹣﹣m）2＝（﹣4﹣m）2，
解得：m＝﹣，
∴Q（0，﹣）；
综上所述，点Q的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）．
六．四边形综合题（共1小题）
8．（2023•泰山区一模）问题：如图，在▱ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F．
（1）求EF的长．
探究：
（2）把“问题”中的条件“AB＝9”去掉，其余条件不变．当点E与点C重合时，求EF的长．
（3）把“问题”中的条件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
【答案】（1）3；（2）9；（3）或3或．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝9，BC＝AD＝6，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝6，
同理：BC＝CF＝6，
∵DE+CF＝DE+CE+EF＝CD+EF，
∴EF＝DE+CF﹣CD＝6+6﹣9＝3；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝6，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝6，
同理：BC＝CF＝6，
如图2所示：
∵点E与点C重合，
∴点F与点D重合，
∴EF＝DC＝9；
（3）分三种情况：
①如图3所示：
同（1）得：AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴＝3；
②如图4所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，
∴；
③如图5所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝DC＝CE，
∴；
综上所述，的值为或3或．
七．圆周角定理（共1小题）
9．（2023•泰山区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
（1）若AB＝AC，求证：AD平分∠BDE；
（2）若BC＝4，⊙O的半径为6，求cos∠BAC．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）cos∠BAC的值为．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE；
（2）解：连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CBF＝90°，
在Rt△BCF中，BC＝4，CF＝12，
∴BF＝＝＝8，
∴cos∠BFC＝＝＝，
∵∠BAC＝∠BFC，
∴，
∴cos∠BAC的值为．
八．几何变换综合题（共1小题）
10．（2023•岱岳区一模）在习题课上，老师让同学们以课本一道习题“如图1，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库E和Q分别位于AD和DC上，且ED＝QC．证明两条直路BE＝AQ且BE⊥AQ．”为背景开展数学探究．
（1）独立思考：将上题条件中的ED＝QC去掉，将结论中的BE⊥AQ变为条件，其他条件不变，那么BE＝AQ还成立吗？请写出答案并说明理由；
（2）合作交流：“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图2，在正方形ABCD内有一点P，过点P作EF⊥GH，点E、F分别在正方形的对边AD、BC上，点G、H分别在正方形的对边AB、CD上，那么EF与GH相等吗？并说明理由．
（3）拓展应用：“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，想到了利用图2的结论解决以下问题：
如图3，将边长为10cm的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在DC的中点E处，折痕为MN，点N在BC边上，点M在AD边上．请你画出折痕，则折痕MN的长是 5cm ；线段DM的长是 cm ．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：BE＝AQ，
理由如下：∵BE⊥AQ，
∴∠AEB＝90°﹣∠DAQ＝∠AQD，
又∵AB＝AD，∠BAE＝∠QDA＝90°，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE＝AQ；
（2）解：EF＝GH，理由如下：
如图1，作BM∥EF交AD于M，作AN∥GH交CD于N，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AGHN四边形BMEF都是平行四边形，
∴BM＝EF，AN＝GH，
由（1）知，BM＝AN，
∴EF＝GH；
（3）解：如图2，
∵E为DC的中点，
∴DE＝5cm，
∴＝＝5cm，
∵MN⊥AE，由（2）可知，
∴MN＝AE＝5cm，
设DM＝xcm，则AM＝ME＝（10﹣x）cm．
在Rt△DME中，DM2+DE2＝ME2，
即x2+52＝（10﹣x）2，
解得x＝．
∴线段DM的长为cm．
故答案为：5cm，cm．
九．相似三角形的判定与性质（共2小题）
11．（2023•岱岳区一模）在△ABC中，D在AC上，且∠ABD＝∠C＝45°．
（1）如图1，若AD＝4，CD＝2，求AB的长度．
（2）如图2，作DE⊥AB于E，过点E作EF∥BC交AC于点F，作FG⊥BC于G，探究FG与BC的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）；
（2）BC＝2FG，证明见解析．
【解答】解：（1）∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴AB2＝AD⋅AC，
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC＝6，
∴；
（2）BC＝2FG，
证明：连接BF，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠C，
∵∠C＝∠ABD，
∴∠AFE＝∠ABD，
又∵∠EAF＝∠DAB，
∴△AFE∽△ABD．
∴，
∴，
∴△ABF∽△ADE，
∴∠AED＝∠AFB＝90°，
∴∠BFD＝∠BED＝90°，
∴∠FBC＝∠C＝45°，
∴FB＝FC，
∵FG⊥BC，
∴BC＝2FG．
12．（2023•新泰市一模）如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．
（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；
（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）∠PQA＝∠ACB，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BAC，
∴∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，
∴∠CAQ＝∠BAP，
∵∠2＝∠ABP，
∴△CAQ∽△BAP，
∴＝，
∴AC•AP＝AB•AQ．
（2）解：∠PQA＝∠ACB，
理由：∵AC•AP＝AB•AQ，
∴＝，
∵∠1＝∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴∠PQA＝∠ACB．
一十．列表法与树状图法（共1小题）
13．（2023•宁阳县一模）某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别
A
B
C
D
E
F
类型
足球
羽毛球
乒乓球
篮球
排球
其他
人数
10
4
6
2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有 4 人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为 32 %．
（2）被调查学生的总数为 50 人，其中，最喜欢篮球的有 16 人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 24 %．
（3）该校共有450名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生人数．
（4）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小乒乓球，把它们分别标号为1，2，3，小明从中随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，求两次摸出的小球标号的和是偶数的概率．
【答案】（1）4、32；
（2）50、16、24；
（3）54人；
（4）．
【解答】解：（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有4人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为32%，
故答案为：4、32；
（2）被调查学生的总数为10÷20%＝50（人），
最喜欢篮球的有50×32%＝16（人），
最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为（50﹣10﹣4﹣16﹣6﹣2）÷50×100%＝24%，
故答案为：50、16、24；
（3）根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生人数为450×＝54（人），
（4）列表得，
标号
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
所有等可能的结果数有9种，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果，
∴两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为．
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•宁阳县一模）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组：．
二．一元一次方程的应用（共1小题）
2．（2023•岱岳区一模）某校为美化校园，计划在假期对教室的地砖进行更换，每间教室的面积大小相同，安排了甲、乙两个工程队完成．7月份施工时，甲工程队7天完成了16间教室的地砖铺设；乙工程队3天铺完了8间教室地砖后再铺设了20m2的地砖，已知甲工程队比乙工程队每天少完成28m2的地砖铺设．
（1）求每间教室需要铺设地砖的面积；
（2）8月份施工时，甲、乙两个工程队各自需要完成24间教室的铺砖工作．由于天气炎热，甲、乙两个工程队均调整了施工速度，甲工程队每天铺设的地砖面积是乙工程队每天铺设的地砖面积的，乙工程队比甲工程队少用7天完成任务，求8月份甲、乙两个工程队每天各铺设地砖的面积．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2023•泰山区一模）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于5000元．那么有哪几种购买方案？
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
4．（2023•泰安一模）已知直线与双曲线交于点A、B，过点B作直线OA的平行线，并与x轴交于点C，且点A的横坐标是a，点B的横坐标是2a．
（1）求k的值；
（2）连接AC，求△AOC的面积．
5．（2023•新泰市一模）如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝x+m的图象交于点B和点A（1，﹣k+4），一次函数的图象与x轴交于点C．
（1）求出两个函数的表达式．
（2）延长AO交反比例函数于点M，设点N是y轴上的点，当S△BMN＝S△AOC时，求点N的坐标．
（3）直接写出x+m≥时x的取值范围．
五．二次函数综合题（共2小题）
6．（2023•泰山区一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；
（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．
7．（2023•东平县一模）抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；
（3）过点C作CH⊥PN于点H，S△BMN＝9S△CHM，
①求点P的坐标；
②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
六．四边形综合题（共1小题）
8．（2023•泰山区一模）问题：如图，在▱ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F．
（1）求EF的长．
探究：
（2）把“问题”中的条件“AB＝9”去掉，其余条件不变．当点E与点C重合时，求EF的长．
（3）把“问题”中的条件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
七．圆周角定理（共1小题）
9．（2023•泰山区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
（1）若AB＝AC，求证：AD平分∠BDE；
（2）若BC＝4，⊙O的半径为6，求cos∠BAC．
八．几何变换综合题（共1小题）
10．（2023•岱岳区一模）在习题课上，老师让同学们以课本一道习题“如图1，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库E和Q分别位于AD和DC上，且ED＝QC．证明两条直路BE＝AQ且BE⊥AQ．”为背景开展数学探究．
（1）独立思考：将上题条件中的ED＝QC去掉，将结论中的BE⊥AQ变为条件，其他条件不变，那么BE＝AQ还成立吗？请写出答案并说明理由；
（2）合作交流：“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图2，在正方形ABCD内有一点P，过点P作EF⊥GH，点E、F分别在正方形的对边AD、BC上，点G、H分别在正方形的对边AB、CD上，那么EF与GH相等吗？并说明理由．
（3）拓展应用：“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，想到了利用图2的结论解决以下问题：
如图3，将边长为10cm的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在DC的中点E处，折痕为MN，点N在BC边上，点M在AD边上．请你画出折痕，则折痕MN的长是 ；线段DM的长是 ．
九．相似三角形的判定与性质（共2小题）
11．（2023•岱岳区一模）在△ABC中，D在AC上，且∠ABD＝∠C＝45°．
（1）如图1，若AD＝4，CD＝2，求AB的长度．
（2）如图2，作DE⊥AB于E，过点E作EF∥BC交AC于点F，作FG⊥BC于G，探究FG与BC的关系，并证明你的结论．
12．（2023•新泰市一模）如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．
（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；
（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．
一十．列表法与树状图法（共1小题）
13．（2023•宁阳县一模）某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别
A
B
C
D
E
F
类型
足球
羽毛球
乒乓球
篮球
排球
其他
人数
10
4
6
2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有 人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为 %．
（2）被调查学生的总数为 人，其中，最喜欢篮球的有 人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 %．
（3）该校共有450名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生人数．
（4）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小乒乓球，把它们分别标号为1，2，3，小明从中随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，求两次摸出的小球标号的和是偶数的概率．
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•宁阳县一模）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组：．
【答案】（1），；
（2）﹣3≤x＜1．
【解答】解：（1）
＝﹣•+
＝﹣+
＝
＝，
当x＝2﹣时，原式＝＝；
（2），
解不等式①，得：x＜1；
解不等式②，得：x≥﹣3，
∴该不等式组的解集是﹣3≤x＜1．
二．一元一次方程的应用（共1小题）
2．（2023•岱岳区一模）某校为美化校园，计划在假期对教室的地砖进行更换，每间教室的面积大小相同，安排了甲、乙两个工程队完成．7月份施工时，甲工程队7天完成了16间教室的地砖铺设；乙工程队3天铺完了8间教室地砖后再铺设了20m2的地砖，已知甲工程队比乙工程队每天少完成28m2的地砖铺设．
（1）求每间教室需要铺设地砖的面积；
（2）8月份施工时，甲、乙两个工程队各自需要完成24间教室的铺砖工作．由于天气炎热，甲、乙两个工程队均调整了施工速度，甲工程队每天铺设的地砖面积是乙工程队每天铺设的地砖面积的，乙工程队比甲工程队少用7天完成任务，求8月份甲、乙两个工程队每天各铺设地砖的面积．
【答案】（1）56m2；
（2）甲工程队每天各铺设地砖的面积为48m2，乙工程队每天铺设的面积为64m2．
【解答】解：（1）设每间教室需要铺设地砖的面积xm2，依题意得：
，
解得：x＝56，
答：每间教室需要铺设地砖的面积56m2；
（2）设乙工程队每天铺设ym2，则甲工程队每天铺设ym2，依题意得：
，
解得：y＝64，
经检验：y＝64是原方程的解，
则甲工程队每天铺设的面积为：×64＝48（m2），
答：甲工程队每天各铺设地砖的面积为48m2，乙工程队每天铺设的面积为64m2．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2023•泰山区一模）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于5000元．那么有哪几种购买方案？
【答案】（1）篮球的单价是90元，足球的单价是60元；
（2）共有6种购买方案，①采购篮球41个，足球19个；②采购篮球42个，足球18个；③采购篮球43个，足球17个；④采购篮球44个，足球16个；⑤采购篮球45个，足球15个；⑥采购篮球46个，足球14个．
【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，则足球的单价是（x﹣30）元，
由题意得：＝2×，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣30＝60，
答：篮球的单价是90元，足球的单价是60元；
（2）设采购篮球m个，则采购足球为（60﹣m）个，
由题意得：，
解得：，
又∵m为整数，
∴m的值可为41，42，43，44，45，46，
∴共有6种购买方案：
①采购篮球41个，足球19个；
②采购篮球42个，足球18个；
③采购篮球43个，足球17个；
④采购篮球44个，足球16个；
⑤采购篮球45个，足球15个；
⑥采购篮球46个，足球14个．
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
4．（2023•泰安一模）已知直线与双曲线交于点A、B，过点B作直线OA的平行线，并与x轴交于点C，且点A的横坐标是a，点B的横坐标是2a．
（1）求k的值；
（2）连接AC，求△AOC的面积．
【答案】（1）k＝12；
（2）9．
【解答】解：（1）∵点A、B在直线上，点A的横坐标是a，点B的横坐标是2a，
∴A（a，﹣），B（2a，﹣a+6），
∵点A，B都在双曲线上，
∴a（﹣a+6）＝2a（﹣a+6）
解得a＝0（0不合题意，舍去），a＝3，
∴点A（3，4），点B（6，2），
∴k＝12；
（2）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
在中，令y＝0，则x＝9，
∴E（9，0），
∵A（3，4），B（6，2），
∴M（3，0），N（6，0），
∴MN＝EN＝3，
∵AM∥BN，
∴AB＝EB，
∵AO∥BC，
∴C是OE的中点，
∴OC＝EC＝，
∴S△AOC＝＝＝9．
5．（2023•新泰市一模）如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝x+m的图象交于点B和点A（1，﹣k+4），一次函数的图象与x轴交于点C．
（1）求出两个函数的表达式．
（2）延长AO交反比例函数于点M，设点N是y轴上的点，当S△BMN＝S△AOC时，求点N的坐标．
（3）直接写出x+m≥时x的取值范围．
【答案】（1）；（2）N（0，2）或（0，﹣8）；（3）x≥1或﹣2≤x＜0．
【解答】解：（1）将A（1，﹣k+4）代入得：
﹣k+4＝k，
解得：k＝2，
∴，A（1，2），
将A（1，2）代入y＝x+m得：
2＝1+m，
解得：m＝1，
∴y＝x+1．
（2）∵y＝x+1，令y＝0，则x＝﹣1，
∴C（﹣1，0）．
∴OC＝1．
∴＝＝1，
∵，
∴，
延长BM交y轴于D点，如图，
设直线BD的解析式为y＝mx+b，
∵A（1，2），∴M（﹣1，﹣2），
∵，
解得：，．
∴B（﹣2，﹣1）．
∴，
解得：．
∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣3．
令x＝0，则y＝﹣3，
∴D（0，﹣3），
∴OD＝3
∴＝＝，
∵，
∴|yN+3|＝5，
yN＝2或﹣8，
∴N（0，2）或（0，﹣8）；
（3）由图象可知：点A右侧的部分，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
在点B的右侧的部分，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴x≥1或﹣2≤x＜0时，一次函数的函数值大于或等于反比例函数的函数值，
∴x≥1或﹣2≤x＜0时，．
五．二次函数综合题（共2小题）
6．（2023•泰山区一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；
（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，
∴a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）C（0，2），
∴BC的直线解析式为y＝﹣x+2，
当t＝时，AM＝3，
∵AB＝5，
∴MB＝2，
∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），
∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积＝MB×DM﹣MB×MN＝×2×2＝2；
（3）∵BM＝5﹣2t，
∴M（2t﹣1，0），
设P（2t﹣1，m），
∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，
∵PB＝PC，
∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，
∴m＝4t﹣5，
∴P（2t﹣1，4t﹣5），
∵PC⊥PB，
∴×＝﹣1
∴t＝1或t＝2，
∴M（1，0）或M（3，0），
∴D（1，3）或D（3，2）．
7．（2023•东平县一模）抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；
（3）过点C作CH⊥PN于点H，S△BMN＝9S△CHM，
①求点P的坐标；
②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；
（2）PM取得最大值2，此时点M的坐标为（2，﹣2）；
（3）①P（1，﹣）；②存在点Q，点Q的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）．
【解答】解：（1）∵设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝（x+2）（x﹣4）＝x2﹣x﹣4；
（2）在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣t﹣4），则M（t，t﹣4），
∴PM＝t﹣4﹣（t2﹣t﹣4）＝﹣t2+2t，
∵PM＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，﹣＜0，
∴当t＝2时，PM取得最大值2，此时点M的坐标为（2，﹣2）；
（3）①如图1，∵P（t，t2﹣t﹣4），M（t，t﹣4），N（t，0），B（4，0），C（0，﹣4），CH⊥PN，
∴BN＝4﹣t，MN＝4﹣t，CH＝t，MH＝t﹣4﹣（﹣4）＝t，
∵S△BMN＝9S△CHM，
∴×（4﹣t）2＝9×t2，
解得：t1＝1，t2＝﹣2，
∵点P是线段BC下方抛物线上的一个动点，
∴0＜t＜4，
∴t＝1，
∴P（1，﹣）；
②存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，设Q（0，m），
∵C（0，﹣4），P（1，﹣），
∴CP2＝（1﹣0）2+（﹣+4）2＝，CQ2＝（﹣4﹣m）2，PQ2＝12+（﹣﹣m）2，
当∠CQP＝90°时，如图2，PQ⊥y轴，
∴Q（0，﹣）；
当∠CPQ＝90°时，如图3，
在Rt△CPQ中，CP2+PQ2＝CQ2，
∴+12+（﹣﹣m）2＝（﹣4﹣m）2，
解得：m＝﹣，
∴Q（0，﹣）；
综上所述，点Q的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）．
六．四边形综合题（共1小题）
8．（2023•泰山区一模）问题：如图，在▱ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F．
（1）求EF的长．
探究：
（2）把“问题”中的条件“AB＝9”去掉，其余条件不变．当点E与点C重合时，求EF的长．
（3）把“问题”中的条件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
【答案】（1）3；（2）9；（3）或3或．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝9，BC＝AD＝6，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝6，
同理：BC＝CF＝6，
∵DE+CF＝DE+CE+EF＝CD+EF，
∴EF＝DE+CF﹣CD＝6+6﹣9＝3；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝6，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝6，
同理：BC＝CF＝6，
如图2所示：
∵点E与点C重合，
∴点F与点D重合，
∴EF＝DC＝9；
（3）分三种情况：
①如图3所示：
同（1）得：AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴＝3；
②如图4所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，
∴；
③如图5所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝DC＝CE，
∴；
综上所述，的值为或3或．
七．圆周角定理（共1小题）
9．（2023•泰山区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
（1）若AB＝AC，求证：AD平分∠BDE；
（2）若BC＝4，⊙O的半径为6，求cos∠BAC．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）cos∠BAC的值为．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE；
（2）解：连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CBF＝90°，
在Rt△BCF中，BC＝4，CF＝12，
∴BF＝＝＝8，
∴cos∠BFC＝＝＝，
∵∠BAC＝∠BFC，
∴，
∴cos∠BAC的值为．
八．几何变换综合题（共1小题）
10．（2023•岱岳区一模）在习题课上，老师让同学们以课本一道习题“如图1，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库E和Q分别位于AD和DC上，且ED＝QC．证明两条直路BE＝AQ且BE⊥AQ．”为背景开展数学探究．
（1）独立思考：将上题条件中的ED＝QC去掉，将结论中的BE⊥AQ变为条件，其他条件不变，那么BE＝AQ还成立吗？请写出答案并说明理由；
（2）合作交流：“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图2，在正方形ABCD内有一点P，过点P作EF⊥GH，点E、F分别在正方形的对边AD、BC上，点G、H分别在正方形的对边AB、CD上，那么EF与GH相等吗？并说明理由．
（3）拓展应用：“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，想到了利用图2的结论解决以下问题：
如图3，将边长为10cm的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在DC的中点E处，折痕为MN，点N在BC边上，点M在AD边上．请你画出折痕，则折痕MN的长是 5cm ；线段DM的长是 cm ．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：BE＝AQ，
理由如下：∵BE⊥AQ，
∴∠AEB＝90°﹣∠DAQ＝∠AQD，
又∵AB＝AD，∠BAE＝∠QDA＝90°，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE＝AQ；
（2）解：EF＝GH，理由如下：
如图1，作BM∥EF交AD于M，作AN∥GH交CD于N，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AGHN四边形BMEF都是平行四边形，
∴BM＝EF，AN＝GH，
由（1）知，BM＝AN，
∴EF＝GH；
（3）解：如图2，
∵E为DC的中点，
∴DE＝5cm，
∴＝＝5cm，
∵MN⊥AE，由（2）可知，
∴MN＝AE＝5cm，
设DM＝xcm，则AM＝ME＝（10﹣x）cm．
在Rt△DME中，DM2+DE2＝ME2，
即x2+52＝（10﹣x）2，
解得x＝．
∴线段DM的长为cm．
故答案为：5cm，cm．
九．相似三角形的判定与性质（共2小题）
11．（2023•岱岳区一模）在△ABC中，D在AC上，且∠ABD＝∠C＝45°．
（1）如图1，若AD＝4，CD＝2，求AB的长度．
（2）如图2，作DE⊥AB于E，过点E作EF∥BC交AC于点F，作FG⊥BC于G，探究FG与BC的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）；
（2）BC＝2FG，证明见解析．
【解答】解：（1）∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴AB2＝AD⋅AC，
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC＝6，
∴；
（2）BC＝2FG，
证明：连接BF，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠C，
∵∠C＝∠ABD，
∴∠AFE＝∠ABD，
又∵∠EAF＝∠DAB，
∴△AFE∽△ABD．
∴，
∴，
∴△ABF∽△ADE，
∴∠AED＝∠AFB＝90°，
∴∠BFD＝∠BED＝90°，
∴∠FBC＝∠C＝45°，
∴FB＝FC，
∵FG⊥BC，
∴BC＝2FG．
12．（2023•新泰市一模）如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．
（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；
（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）∠PQA＝∠ACB，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BAC，
∴∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，
∴∠CAQ＝∠BAP，
∵∠2＝∠ABP，
∴△CAQ∽△BAP，
∴＝，
∴AC•AP＝AB•AQ．
（2）解：∠PQA＝∠ACB，
理由：∵AC•AP＝AB•AQ，
∴＝，
∵∠1＝∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴∠PQA＝∠ACB．
一十．列表法与树状图法（共1小题）
13．（2023•宁阳县一模）某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别
A
B
C
D
E
F
类型
足球
羽毛球
乒乓球
篮球
排球
其他
人数
10
4
6
2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有 4 人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为 32 %．
（2）被调查学生的总数为 50 人，其中，最喜欢篮球的有 16 人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 24 %．
（3）该校共有450名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生人数．
（4）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小乒乓球，把它们分别标号为1，2，3，小明从中随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，求两次摸出的小球标号的和是偶数的概率．
【答案】（1）4、32；
（2）50、16、24；
（3）54人；
（4）．
【解答】解：（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有4人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为32%，
故答案为：4、32；
（2）被调查学生的总数为10÷20%＝50（人），
最喜欢篮球的有50×32%＝16（人），
最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为（50﹣10﹣4﹣16﹣6﹣2）÷50×100%＝24%，
故答案为：50、16、24；
（3）根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生人数为450×＝54（人），
（4）列表得，
标号
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
所有等可能的结果数有9种，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果，
∴两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为．
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