山东省济宁市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）

这是一份山东省济宁市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题），共31页。试卷主要包含了，交y轴于点C等内容，欢迎下载使用。

山东省济宁市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
一．反比例函数综合题（共1小题）
1．（2023•嘉祥县二模）已知A（4，0）、B（0，12）是平面直角坐标系中的两点，连接AB．

（1）如图①，作∠AOB的角平分线交AB于点P，作⊙P与x轴相切于点C（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的基础上，求证⊙P与y轴相切；
（3）如图②，求过点P的反比例函数表达式．

二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023•邹城市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△ABE面积的最大值．
（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出点D坐标；若不存在，说明理由．

3．（2023•嘉祥县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，求的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一动点P，使得以线备用图段BP为直径的圆恰好经过点C．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．


4．（2023•微山县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）已知点D是直线AC上方的抛物线上一动点．
①当点D运动到什么位置时，四边形ABCD的面积最大？求此时D点的坐标和四边形ABCD的最大面积；
②连接DO，DC，并把△DOC沿CO翻折，得到四边形DOD′C，那么是否存在点D，使四边形DOD′C为菱形？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．

三．勾股定理的证明（共1小题）
5．（2023•泗水县二模）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．


（1）如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有 　 　个；
（2）如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）
①a2+b2+c2+d2＝　 　；
②b与c的关系为 　 　，a与d的关系为 　 　．
四．四边形综合题（共1小题）
6．（2023•任城区二模）在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且MN⊥DE，垂足为点F．
（1）如图1，当点N与点C重合时，求证：MN＝DE；
（2）将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H，
①依题意补全图2；
②用等式表示线段MH，HF，FN之间的数量关系，并证明．


五．切线的性质（共1小题）
7．（2023•任城区二模）如图，BC为⊙O的直径，点D在⊙O上，连接BD、CD，过点D的切线AE与CB的延长线交于点A，∠BCD＝∠AEO，OE与CD交于点F．
（1）求证：OF∥BD；
（2）当⊙O的半径为10，sin∠ADB＝时，求EF的长．

六．圆的综合题（共2小题）
8．（2023•曲阜市二模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为斜边AB上一点，以O为圆心、OA为半径的圆恰好与BC相切于点D，与AB的另一个交点为E，连接DE．
（1）请找出图中与△ADE相似的三角形，并说明理由；
（2）若AC＝3，AE＝4，试求图中阴影部分的面积；
（3）小明在解题过程中思考这样一个问题：图1中的⊙O的圆心究竟是怎么确定的呢？请你在图2中利用直尺和圆规找到符合题意的圆心O，并写出你的作图方法．

9．（2023•金乡县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证DN2＝BN•（BN+AC）；
（3）若DN＝10，cosC＝，求⊙O的直径．

七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
10．（2023•邹城市二模）已知四边形ABCD中，EF分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：．
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B＝∠EGF时，第（1）问的结论是否仍成立？若成立给予证明，若不成立，请说明理由．

八．相似形综合题（共1小题）
11．（2023•梁山县二模）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．
例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．
（1）【定义感知】
如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝110°，AB＝BD．
求证：AD是△ABC的“华丽分割线”．
（2）【问题解决】
①如图2，在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是等腰三角形，则∠C的度数为　 　．
②如图3，在△ABC中，AB＝2，AC＝，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD的长．


山东省济宁市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
参考答案与试题解析
一．反比例函数综合题（共1小题）
1．（2023•嘉祥县二模）已知A（4，0）、B（0，12）是平面直角坐标系中的两点，连接AB．

（1）如图①，作∠AOB的角平分线交AB于点P，作⊙P与x轴相切于点C（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的基础上，求证⊙P与y轴相切；
（3）如图②，求过点P的反比例函数表达式．

【答案】（1）作图见解析；
（2）见解析；
（3）y＝（x＞0）．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：如图，作PD⊥y轴于点D，
∵⊙P与x轴相切于点C，
∴PC⊥x轴，
∵OP是∠AOB的平分线，
∴PC＝PD，
∵PD⊥y轴于点D，
∴⊙P与y轴相切；
（3）解：∵⊙P与y轴相切，
∴PD⊥y轴．
∵PC⊥x轴，PC＝PD，
∴矩形OCPD是正方形．
设PD＝PC＝x，
∵A（4，0）、B（0，12），
∴OA＝4，OB＝12，
∴BD＝12﹣x，
∵PD∥OA，
∴△PDB∽△AOB，
∴＝，
∴＝，
解得x＝3，
∴P（3，3），
设过点P的函数表达式为y＝，
∴k＝xy＝3×3＝9，
∴过点P的反比例函数表达式为y＝（x＞0）．

二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023•邹城市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△ABE面积的最大值．
（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出点D坐标；若不存在，说明理由．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在直线解析式y＝x+4中，令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，4）．
∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
解得：b＝﹣3，c＝4，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4．

（2）如图，连接AE、过点E作EF⊥y轴于点F，

设点C坐标为（m，0）（m＜0），则点E坐标为（m，﹣m2﹣3m+4），
则OC＝﹣m，OF＝﹣m2﹣3m+4，
∵OA＝OB＝4，
∴BF＝﹣m2﹣3m，
则S△ABE＝S梯形AOFE﹣S△AOB﹣S△BEF
＝×（﹣m+4）（﹣m2﹣3m+4）﹣×4×4﹣×（﹣m）×（﹣m2﹣3m）．
＝﹣2m2﹣8m
＝﹣2（m+2）2+8，
∵﹣4＜m＜0，
∴当m＝﹣2时，S取得最大值，最大值为8．
即△ABE面积的最大值为8．

（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC＝﹣m，CD＝AC＝4+m，BD＝OC＝﹣m，
则D（m，4+m）．
∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似
∴△DBE必为等腰直角三角形．
i）若∠BED＝90°，则BE＝DE，
∵BE＝OC＝﹣m，
∴DE＝BE＝﹣m，
∴CE＝4+m﹣m＝4，
∴E（m，4）．
∵点E在抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上，
∴4＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝0（不合题意，舍去）或m＝﹣3，
∴D（﹣3，1）；
ii）若∠EBD＝90°，则BE＝BD＝﹣m，
在等腰直角三角形EBD中，DE＝BD＝﹣2m，
∴CE＝4+m﹣2m＝4﹣m，
∴E（m，4﹣m）．
∵点E在抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上，
∴4﹣m＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝0（不合题意，舍去）或m＝﹣2，
∴D（﹣2，2）．
综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．
3．（2023•嘉祥县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，求的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一动点P，使得以线备用图段BP为直径的圆恰好经过点C．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．


【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）；（3）存在，点P的坐标为．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：

设D（m，﹣m2+2m+3），直线AC的解析式为y＝kx+b，
由（1）可得：C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴H（m，﹣m+3），
∴DH＝﹣m2+3m．
∵DH∥y轴，
∴△OCN∽△DHN，
∴．
∴．
∵，
∴的最大值是；

（3）答：存在．
假设存在一动点P，使得以BP为直径的圆恰好经过点C，则∠PCB＝90°．
设直线BC的解析式为y＝k′x+b′，把点B（﹣1，0），C（0，3）代入，
得，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝3x+3，
∵BC⊥PC，
∴直线PC的解析式为，
∵抛物线的对称轴是，
∴当x＝1时，，
∴点P的坐标为．
4．（2023•微山县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）已知点D是直线AC上方的抛物线上一动点．
①当点D运动到什么位置时，四边形ABCD的面积最大？求此时D点的坐标和四边形ABCD的最大面积；
②连接DO，DC，并把△DOC沿CO翻折，得到四边形DOD′C，那么是否存在点D，使四边形DOD′C为菱形？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①点D的坐标为时，四边形ABCD的最大面积值为；②点D的坐标为．
【解答】解：（1）将点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3）代入函数解析式，得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①如图，过点D作DF⊥x轴于点F，交AC于点Q，

D在抛物线上，设D（m，﹣m2+2m+3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b1，
将点A（3，0）和点C（0，3）的坐标代入函数解析式，得
，
解得．
直线AC的解析为y＝﹣x+3，
设点Q的坐标为（m，﹣m+3），
DQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
OB＝1，AB＝3﹣（﹣1）＝4，
S四边形ABCD＝S△ABC+S△DCA
＝
＝
＝，
当时，四边形ABCD的面积最大．
当时，，即D点的坐标为．
当点D的坐标为时，四边形ABCD的最大面积值为；
②若四边形DOD′C为菱形，则点D在线段CO的垂直平分线上，
如图，连接DD′，则DE⊥CO，垂足为E，

∵C（0，3），
∴，
∴点D的纵坐标为，
当时，即，
解得，（不合题意，舍去），
∴点D的坐标为．
三．勾股定理的证明（共1小题）
5．（2023•泗水县二模）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．


（1）如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有 　3　个；
（2）如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）
①a2+b2+c2+d2＝　m2　；
②b与c的关系为 　b＝c　，a与d的关系为 　a+d＝m　．
【答案】（1）3；
（2）S1+S2＝S3，理由见解析；
（3）m2，b＝c，a+d＝m．
【解答】解：（1）根据题意得：a2+b2＝c2，
如图2：

即有：S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∴S1+S2＝S3；
如图3：

∵S1＝π（）2＝πa2，S3＝πc2，S2＝πb2，
∴πa2+πb2＝π（a2+b2）＝πc2，
∴S1+S2＝S3；
如图4：

下面推导正三角形的面积公式：
正△XYZ的边长为u，过顶点X作XV⊥YZ，V为垂足，如图，

在正△XYZ中，有∠Y＝60°，XZ＝XY＝YZ＝u，
∵XV⊥YZ，
∴∠XVY＝90，YV＝VZ＝YZ＝u，
在Rt△XYV中，有XV＝
＝＝u，
∴正△XYZ的面积为：S＝•YZ•XV＝u2，
∴S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∵a2+b2＝（a2+b2）＝c2，
∴S1+S2＝S3；
∴三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个，
故答案为：3；
（2）关系：S1+S2＝S3，理由如下：
以a为直径的半圆面积为：•π（）2＝πa2，
以b为直径的半圆面积为：•π（）2＝πb2，
以c为直径的半圆面积为：•π（）2＝πc2，
三角形的面积为：S3＝ab，
∴S1+S2＝πa2+πb2+S3﹣﹣πc2，
即：S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，
结合（1）的结论：a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3；
（3）①正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：SA+SB＝SE，SC+SD＝SF，SE+SF＝SM，
∴a2+b2＝e2，c2+d2＝f2，e2+f2＝m2，
∴a2+b2+c2+d2＝m2
故答案为：m2．
②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．
故答案为：b＝c，a+d＝m．

四．四边形综合题（共1小题）
6．（2023•任城区二模）在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且MN⊥DE，垂足为点F．
（1）如图1，当点N与点C重合时，求证：MN＝DE；
（2）将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H，
①依题意补全图2；
②用等式表示线段MH，HF，FN之间的数量关系，并证明．


【答案】（1）证明过程见解答；
（2）①图形见解答；
②MH+FN＝HF，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠BCD，
∵MN⊥DE，
∴∠BCM+∠DCF＝∠DCF+∠CDE＝90°，
∴∠BCM＝∠CDE，
∴△BCM≌△CDE（ASA），
∴MN＝DE；
（2）①过DE的中点F作MN⊥DE，分别与AB、AC、CD交于点M、H、N，如图即为补全的图形；

②MH+FN＝HF，理由如下：
如图，在FH上截取FG＝FN，连接EG交AC于点K，作CT∥MN交AB于点T，

∵AB∥DC，
∴四边形MTCN是平行四边形，
∴MT＝NC，
∵MN⊥DE，
∴CT⊥DE，
由（1）知：CT＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，
在Rt△BCT和Rt△DCE中，
，
∴Rt△BCT≌Rt△DCE（HL），
∴BT＝CE，
在△EFG和△DFN中，
，
∴△EFG≌△DFN（SAS），
∴EG＝DN，∠EGF＝∠DNF，
∴EG∥CD∥AB，
∴GE⊥BC，
∵∠ACB＝45°，
∴△CEK是等腰直角三角形，
∴EK＝CE＝BT，
∵AB＝CD，MT＝NC，
∴AM+BT＝DN＝EG＝EK+KG，
∴AM＝KG，
∵AB∥EG，
∴∠MAH＝∠GKH，
在△AMH和△KGH中，
，
∴△AMH≌△KGH（AAS），
∴MH＝GH，
∵GH+FG＝HF，
∴MH+FN＝HF．
五．切线的性质（共1小题）
7．（2023•任城区二模）如图，BC为⊙O的直径，点D在⊙O上，连接BD、CD，过点D的切线AE与CB的延长线交于点A，∠BCD＝∠AEO，OE与CD交于点F．
（1）求证：OF∥BD；
（2）当⊙O的半径为10，sin∠ADB＝时，求EF的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AE与ʘO相切，
∴OD⊥AE，
∴∠ADB+∠ODB＝90°，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，即∠ODB+∠ODC＝90°，
∴∠ADB＝∠ODC，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠C，
而∠BCD＝∠AEO，
∴∠ADB＝∠AEO，
∴BD∥OF；
（2）解：由（1）知，∠ADB＝∠E＝∠BCD，
∴sinC＝sinE＝sin∠ADB＝，
在Rt△BCD中，sinC＝＝，
∴BD＝×20＝8，
∵OF∥BD，
∴OF＝BD＝4，
在Rt△EOD中，sinE＝＝，
∴OE＝25
∴EF＝OE﹣OF＝25﹣4＝21．

六．圆的综合题（共2小题）
8．（2023•曲阜市二模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为斜边AB上一点，以O为圆心、OA为半径的圆恰好与BC相切于点D，与AB的另一个交点为E，连接DE．
（1）请找出图中与△ADE相似的三角形，并说明理由；
（2）若AC＝3，AE＝4，试求图中阴影部分的面积；
（3）小明在解题过程中思考这样一个问题：图1中的⊙O的圆心究竟是怎么确定的呢？请你在图2中利用直尺和圆规找到符合题意的圆心O，并写出你的作图方法．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△ACD与△ADE相似，如图（1）所示，

连接OD，∵⊙O恰好与BC相切于点D，
∴∠ODB＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠DAC，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠C，
∴△ACD∽△ADE．
（2）∵△ACD∽△ADE，
∴＝，
∴AD＝2，
∵AC＝3，根据勾股定理得CD＝，
∴sin∠DAC＝，
∴∠DAC＝∠EAD＝∠ODA＝30°，
∴∠AOD＝120°，
∴S△OAD＝OA2＝，
∴S＝﹣＝﹣．
（3）如图2所示，作图方法：
①以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点H，以H、C为圆心，大于CH长为半径画弧，交于点G，连接AG，AG即为∠BAC的角平分线，AG与BC的交点即为点D．
②以D为圆心，DC长为半径画弧，交BD于点C′，以C、C′为圆心，大于CC′为半径画弧，分别交于点E、F，连接EF，EF即为CC′的垂直平分线，EF与AB的交点即为点O．

9．（2023•金乡县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证DN2＝BN•（BN+AC）；
（3）若DN＝10，cosC＝，求⊙O的直径．

【答案】（1）证明见解析过程；
（2）证明见解析过程；
（3）⊙O的直径为．
【解答】证明：（1）如图，连接OD，

∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，
∴OD⊥MN，
又∵OD是半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，
∴∠BAD＝∠CDM，
∵∠BDN＝∠CDM，
∴∠BAD＝∠BDN，
又∵∠N＝∠N，
∴△BDN∽△DAN，
∴，
∴DN2＝BN•AN＝BN•（BN+AB）＝BN•（BN+AC）；
（3）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴cosC＝＝cos∠ABC＝，
∴设AB＝5x，BD＝3x，
∴AD＝＝＝4x，
∵△BDN∽△DAN，
∴＝，
∴，
∴AN＝，BN＝，
∴AB＝AN﹣BN＝，
∴⊙O的直径为．
七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
10．（2023•邹城市二模）已知四边形ABCD中，EF分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：．
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B＝∠EGF时，第（1）问的结论是否仍成立？若成立给予证明，若不成立，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）第（1）问的结论仍成立，理由见解析．
【解答】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠A＝90°，
∴∠ADE+∠GDC＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠DCF+∠GDC＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，
∴．
（2）解：第（1）问的结论仍成立，理由如下：
如图2，以C为圆心，CF的长为半径画弧交AD延长线于M，连接CM，
∴CM＝CF，
∴∠CMD＝∠CFD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠B＝∠EGF，
∴∠A+∠EGF＝180°，
∴∠AEG+∠AFG＝180°，
∵∠DFG+∠AFG＝180°，
∴∠AEG＝∠DFG，
∴∠AED＝∠CMD，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDM，
∴△ADE∽△DCM，
∴＝，
∴＝．

八．相似形综合题（共1小题）
11．（2023•梁山县二模）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．
例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．
（1）【定义感知】
如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝110°，AB＝BD．
求证：AD是△ABC的“华丽分割线”．
（2）【问题解决】
①如图2，在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是等腰三角形，则∠C的度数为　21°或42°　．
②如图3，在△ABC中，AB＝2，AC＝，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD的长．

【答案】（1）证明见解答；
（2）①21°或42°；
②．
【解答】证明：（1）∵AB＝BD，
∴△ABD是等腰三角形．
又∵∠B＝40°，
∴．
∴∠ADC＝180°﹣∠BDA＝110°＝∠BAC．
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC．
∴AD是△ABC的“华丽分割线”；
（2）①当AB＝BD时，得∠ADB＝67°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝113°．
∵△ADC∽△BAC，
∴∠BAC＝∠ADC＝113°．
在△ABC中，由内角和定理得∠C＝21°．
当AD＝BD时，
∴∠ADC＝92°．
∵△ADC∽△BAC，
∴∠BAC＝∠ADC＝92°．
在△ABC中，由内角和定理得∠C＝42°．
故∠C的度数为21°或42°．
故答案为：21°或42°；
②∵△ADC∽△BAC，
∴．
即，
解得CD＝1，
∴．
解得．