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山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
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这是一份山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题），共24页。试卷主要包含了﹣1；，小明解方程﹣＝1的过程如下，计算，解不等式组等内容，欢迎下载使用。
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•淄川区一模）已知m≠0，n≠0，且，试求代数式的值．
二．二次根式的混合运算（共1小题）
2．（2023•沂源县一模）（1）计算：﹣|﹣2|﹣tan30°+（）﹣1；
（2）解不等式：4x﹣2＞3x﹣1．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
3．（2023•临淄区一模）春节期间，某网店从工厂购进A、B两款商品，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别价格
A款商品
B款商品
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款商品共30件，求两款商品分别购进的件数；
（2）第一次购进的商品售完后，该网店计划再次购进A、B两款商品共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）春节临近结束时，网店打算把B款商品调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款商品平均每天销售利润为90元？
四．解分式方程（共2小题）
4．（2023•沂源县一模）小明解方程﹣＝1的过程如下：
解：方程两边乘x，得1﹣（x﹣2）＝1．①
去括号，得1﹣x﹣2＝1．②
移项，得﹣x＝1﹣1+2．③
合并同类项，得﹣x＝2．④
解得x＝﹣2．⑤
所以，原分式方程的解为x＝﹣2．⑥
请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
5．（2023•临淄区一模）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
五．解一元一次不等式组（共1小题）
6．（2023•桓台县一模）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
7．（2023•临淄区一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若P为x轴上一点，△ABP的面积为5，求点P的坐标；
（3）结合图象，关于x的不等式kx+b＜的解集为 ．
8．（2023•高青县一模）如图，已知A（﹣2，n），B（1，﹣2）是一次函数y1＝kx+b和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．
七．平行线的判定与性质（共1小题）
9．（2023•高青县一模）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B及∠2的度数．
八．作图—基本作图（共1小题）
10．（2023•淄川区一模）如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM．
（1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2023•周村区一模）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点，过点E作BD的垂线交BD于点P，交AB于点F，连接AP并延长交BC于点G．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若BG＝CE，求∠EPG的度数；
（3）若AB＝6，EG＝1，求△PGE的面积．
一十．解直角三角形（共1小题）
12．（2023•周村区一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，．
（1）求BC的长：
（2）BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
13．（2023•高青县一模）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB＝60°，在B点测得∠MBA＝45°，AB＝800米．
（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）
（2）在B点又测得∠NBA＝53°，求MN的长．（结果精确到1米）
（参考数据：≈1.732，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）
一十二．列表法与树状图法（共3小题）
14．（2023•沂源县一模）在学校“红歌唱响校园”主题活动中，校广播站循环播放了4首红歌：A：《谁不说俺家乡好》，B：《歌唱祖国》，C：《没有共产党就没有新中国》，D：《我的祖国》．为了解学生最喜爱哪首歌，随机抽取部分学生进行调查，绘制了如下不完整的统计图，请结合图中信息回答下列问题：（1）本次抽样调查的学生有 人；
（2）图中：a＝ ，b＝ ，并把条形统计图补充完整；
（3）某同学最喜欢歌曲《我的祖国》，若音乐老师准备在四首歌中任选2首进行教唱，利用列表法或画树状图法，求能选中他喜欢的歌曲的概率．
15．（2023•张店区一模）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的时间不少于1小时．某校为了解学生参加户外活动的情况，对某班学生参加户外活动的时间进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）该班共有 人；户外活动时间的众数是 小时，中位数是 小时；将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生1200人，请根据上述调查结果，估计该校学生中户外活动的时间不少于1小时的学生总人数；
（3）某校园广播站的小记者准备到该班对学生参加户外活动的情况进行调查了解，决定对该班5位同学小明（用A表示）、小刚（用B表示）、小敏（用C表示）、小颖（用D表示）、小亮（用E表示）中的两个进行采访，则恰好采访到小明和小敏的概率是多少？（请用列表法或画树状图的方法说明理由）．
16．（2023•高青县一模）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1180名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•淄川区一模）已知m≠0，n≠0，且，试求代数式的值．
【答案】1．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
∵，
∴原式＝．
二．二次根式的混合运算（共1小题）
2．（2023•沂源县一模）（1）计算：﹣|﹣2|﹣tan30°+（）﹣1；
（2）解不等式：4x﹣2＞3x﹣1．
【答案】（1）2﹣2；
（2）x＞1．
【解答】解：（1）﹣|﹣2|﹣tan30°+（）﹣1
＝﹣2﹣+
＝2﹣2；
（2）4x﹣2＞3x﹣1，
4x﹣3x＞﹣1+2，
x＞1．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
3．（2023•临淄区一模）春节期间，某网店从工厂购进A、B两款商品，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别价格
A款商品
B款商品
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款商品共30件，求两款商品分别购进的件数；
（2）第一次购进的商品售完后，该网店计划再次购进A、B两款商品共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）春节临近结束时，网店打算把B款商品调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款商品平均每天销售利润为90元？
【答案】（1）20件，B款纪念品30件；
（2）当购进40件A款纪念品，160件B款纪念品时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是2520元；
（3）销售价定为每件30元或34元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元．
【解答】解：（1）设购进A款纪念品x件，B款纪念品y件，
依题意得：，
解得：，
答：购进A款纪念品20件，B款纪念品10件；
（2）设购进m件A款纪念品，
则购进（80﹣m）件B款纪念品，
依题意得：30m+25（80﹣m）≤2200，
解得：m≤40，
设再次购进的A、B两款纪念品全部售出后获得的总利润为w元，
则w＝（45−30）m+（37−25）（200−m）＝3m+2400，
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40+2400＝2520，
此时200﹣m＝160．
答：当购进40件A款纪念品，160件B款纪念品时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是2520元；
（3）设B款纪念品的降a元，
则每件的销售利润为（12﹣a）元，平均每天可售出4+2a件，
依题意得：（12﹣a）（4+2a）＝90，
整理得：a2﹣10a+21＝0，
解得：a1＝3，a2＝7．
∴37﹣3＝34或37﹣7＝30
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元．
四．解分式方程（共2小题）
4．（2023•沂源县一模）小明解方程﹣＝1的过程如下：
解：方程两边乘x，得1﹣（x﹣2）＝1．①
去括号，得1﹣x﹣2＝1．②
移项，得﹣x＝1﹣1+2．③
合并同类项，得﹣x＝2．④
解得x＝﹣2．⑤
所以，原分式方程的解为x＝﹣2．⑥
请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
【答案】小明的解法有三处错误：步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥前少“检验”步骤．
【解答】解：小明的解法有三处错误：
步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥前少“检验”步骤．
正确解法：
方程两边同乘x，得1﹣（x﹣2）＝x，
去括号，得1﹣x+2＝x，
移项，得﹣x﹣x＝﹣1﹣2，
合并同类项，得﹣2x＝﹣3，
两边同除以﹣2，得x＝1.5，
经检验，x＝1.5是原方程的解，
∴原方程的解是x＝1.5．
5．（2023•临淄区一模）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）x＝﹣3．
【解答】解：（1）＝＝
（2）方程两边乘x（x﹣3）得：2x＝x﹣3，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时x（x﹣3）≠0．
所以，原分式方程的解为x＝﹣3．
五．解一元一次不等式组（共1小题）
6．（2023•桓台县一模）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】﹣1≤x＜2，数轴见解答过程．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
7．（2023•临淄区一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若P为x轴上一点，△ABP的面积为5，求点P的坐标；
（3）结合图象，关于x的不等式kx+b＜的解集为 0＜x＜2或x＜﹣3 ．
【答案】（1）反比例函数的表达式是y＝，一次函数的表达式是y＝x+1；
（2）点P的坐标是（1，0）或（﹣3，0）；
（3）0＜x＜2或x＜﹣3．
【解答】解：（1）把B（2，3）代入y＝得：m＝2×3＝6，
即反比例函数的表达式是y＝，
把A（﹣3，n）代入y＝得：n＝＝﹣2，
即A（﹣3，﹣2），
把A、B的坐标代入y＝kx+b，得，
解得，
所以一次函数的表达式是y＝x+1；
（2）y＝x+1，
当y＝0时，x＝﹣1，
即直线y＝x+1与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
∵A（﹣3，﹣2），B（2，3），△ABP的面积为5，
∴CP×3+CP×2＝5，
∴CP＝2，
∴点P的坐标是（1，0）或（﹣3，0）；
（3）根据图象可知：关于x的不等式kx+b＜的解集为0＜x＜2或x＜﹣3，
故答案为：0＜x＜2或x＜﹣3．
8．（2023•高青县一模）如图，已知A（﹣2，n），B（1，﹣2）是一次函数y1＝kx+b和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣；y＝﹣x﹣1；
（2）1.5；
（3）﹣2＜x＜0或x＞1．
【解答】解：（1）∵B（1，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝1×（﹣2）＝﹣2，
则反比例函数的解析式是y＝﹣，
当x＝﹣时，y＝n＝1
则A的坐标是（﹣2，1），
根据题意得，
解得：，
则一次函数的解析式是y＝﹣x﹣1．
（2）在y＝﹣x﹣1中，令y＝0，解得x＝﹣1，
则C的坐标是（﹣1，0）
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+＝1.5．
（3）使得kx+b＜成立时，x的取值范围为：﹣2＜x＜0或x＞1；
七．平行线的判定与性质（共1小题）
9．（2023•高青县一模）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B及∠2的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：∵DE∥FC，
∴∠1＝∠BCF．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCF，
∴FG∥BC；
（2）∵在△AFG中，∠A＝60°，∠AGF＝70°，
∴∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGF＝50°．
又由（1）知，FG∥BC，
∴∠B＝∠AFG＝50°，
∵CF⊥AB，DE∥FC，
∴ED⊥AB，
∴∠1＝90°﹣∠B＝40°
∴∠2＝40°．
八．作图—基本作图（共1小题）
10．（2023•淄川区一模）如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM．
（1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：作图，DB、CD为所作；
（2）证明：∵AC平分∠BAM，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AM∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA．
∴∠BAC＝∠BCA．
∴AB＝BC，
同理可证：AB＝AD．
∴AD＝BC．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形．
九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2023•周村区一模）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点，过点E作BD的垂线交BD于点P，交AB于点F，连接AP并延长交BC于点G．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若BG＝CE，求∠EPG的度数；
（3）若AB＝6，EG＝1，求△PGE的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）22.5°；
（3）1或．
【解答】（1）证明：∵EF⊥BD于P，
∴∠EPB＝∠FPB＝90°．
在正方形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴∠PFB＝∠PBF＝45°，∠PEB＝∠PBE＝45°．
∴PF＝PB，PE＝PB．
∴PE＝PF；
（2）解：过点P作PM⊥AG交AB于M，
∴∠MPG＝∠EPB＝90°．
∴∠EPG＝∠BPM．
∵∠PEG＝45°，∠PBM＝45°，
∴∠PEG＝∠PBM．
在△EPG和△BPM中，
，
∴△EPG≌△BPM（ASA），
∴EG＝BM．
∵∠BFP＝∠BEP＝45°，
∴BF＝BE．
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，BF﹣BM＝BE﹣GE，
∴AF＝CE，FM＝BG．
∵BG＝CE，
∴AF＝FM．
∵∠APM＝90°，
∴，
∴，
∴∠EPG＝22.5°；
（3）解：过点F作FH∥BC交AG于H，
∴∠HFP＝∠GEP，∠HPF＝∠GPE．
在△FHP和△EGP中，
，
∴△FHP≌△EGP（ASA），
∴FH＝EG＝1．
又∵∠AFH＝∠ABG，∠FAH＝∠BAG，
∴△AFH∽△ABG，
∴．
设CE＝x，则BG＝5﹣x，AF＝CE＝x，
∴，
解得x1＝2，x2＝3，
∴BE＝4或3，
作PN⊥BC于N，
∵∠BPE＝90°，PE＝PB，
∴点N为BE的中点，
∴，
∴PN＝2或．
∵，
∴S△PGE＝1或．
一十．解直角三角形（共1小题）
12．（2023•周村区一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，．
（1）求BC的长：
（2）BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长．
【答案】（1）8；（2）．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于D，
∴．
∴AD＝AB•sin∠ABC＝5×＝3，
∴．
∵AB＝AC，
∴BC＝2BD＝8．
（2）补全图形，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴．
∵BE⊥AC于E，，
∴BE＝BC•sin∠ECD＝8×＝．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
13．（2023•高青县一模）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB＝60°，在B点测得∠MBA＝45°，AB＝800米．
（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）
（2）在B点又测得∠NBA＝53°，求MN的长．（结果精确到1米）
（参考数据：≈1.732，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）
【答案】（1）1200﹣400；（2）127m．
【解答】解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，
∵MD⊥AB，
∴∠MDA＝∠MDB＝90°，
∵∠MAB＝60°，∠MBA＝45°，
∴在Rt△ADM中，；
在Rt△BDM中，，
∴，
∵AB＝800m，
∴AD+BD＝800m，
∴AD+＝800，
∴AD＝（400）m，
∴BD＝MD＝（1200﹣400）m，
∴点M到AB的距离＝（1200﹣400）m．
（2）过点N作NE⊥AB于点E，
∵MD⊥AB，NE⊥AB，
∴MD∥NE，
∵AB∥MN，
∴四边形MDEN为平行四边形，
∴NE＝MD＝（1200﹣400）m，MN＝DE，
∵∠NBA＝53°，
∴在Rt△NEB中，，
∴BE≈（900﹣300）m，
∴MN＝AB﹣AD﹣BE≈300﹣100≈127m．
一十二．列表法与树状图法（共3小题）
14．（2023•沂源县一模）在学校“红歌唱响校园”主题活动中，校广播站循环播放了4首红歌：A：《谁不说俺家乡好》，B：《歌唱祖国》，C：《没有共产党就没有新中国》，D：《我的祖国》．为了解学生最喜爱哪首歌，随机抽取部分学生进行调查，绘制了如下不完整的统计图，请结合图中信息回答下列问题：（1）本次抽样调查的学生有 60 人；
（2）图中：a＝ 30 ，b＝ 20 ，并把条形统计图补充完整；
（3）某同学最喜欢歌曲《我的祖国》，若音乐老师准备在四首歌中任选2首进行教唱，利用列表法或画树状图法，求能选中他喜欢的歌曲的概率．
【答案】（1）60；
（2）30，20；
（3）．
【解答】解：（1）6÷10%＝60（人），
故答案为：60；
（2）∵a%＝18÷60×100%＝30%，
∴a＝30，
∵D的人数为60×40%＝24（人），
∴C的人数为60﹣18﹣6﹣24＝12（人），
∴b%＝12÷60×100%＝20%，
∴b＝20，
条形统计图如图：
故答案为：30，20；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，某同学最喜欢歌曲《新征程》，能选中他喜欢的歌曲的结果有6个，
∴某同学最喜欢歌曲《新征程》，能选中他喜欢的歌曲的概率为＝．
15．（2023•张店区一模）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的时间不少于1小时．某校为了解学生参加户外活动的情况，对某班学生参加户外活动的时间进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）该班共有 50 人；户外活动时间的众数是 1 小时，中位数是 1 小时；将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生1200人，请根据上述调查结果，估计该校学生中户外活动的时间不少于1小时的学生总人数；
（3）某校园广播站的小记者准备到该班对学生参加户外活动的情况进行调查了解，决定对该班5位同学小明（用A表示）、小刚（用B表示）、小敏（用C表示）、小颖（用D表示）、小亮（用E表示）中的两个进行采访，则恰好采访到小明和小敏的概率是多少？（请用列表法或画树状图的方法说明理由）．
【答案】（1）50；1；1；补全条形统计图见解答．
（2）960人．
（3）．
【解答】解：（1）该班共有10÷20%＝50（人），
户外活动时间的众数是1小时，
中位数是1小时，
故答案为：50；1；1．
每天参加户外活动的时间为1.5小时的人数为50×24%＝12（人）．
补全条形统计图如图．
（2）1200×＝960（人）．
∴该校学生中户外活动的时间不少于1小时的学生总人数约为960人．
（3）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好采访到小明和小敏，即A和C的结果有2种，
∴恰好采访到小明和小敏的概率为＝．
16．（2023•高青县一模）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 200 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1180名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
【答案】（1）200；
（2）见解答；
（3）472名；
（3）．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生为：40÷＝200（名），
故答案为：200；
（2）C的人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（名），
补全条形统计图如下：
（3）1180×＝472（名），
答：估计参加B项活动的学生为472名；
（4）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为＝．
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•淄川区一模）已知m≠0，n≠0，且，试求代数式的值．
二．二次根式的混合运算（共1小题）
2．（2023•沂源县一模）（1）计算：﹣|﹣2|﹣tan30°+（）﹣1；
（2）解不等式：4x﹣2＞3x﹣1．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
3．（2023•临淄区一模）春节期间，某网店从工厂购进A、B两款商品，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别价格
A款商品
B款商品
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款商品共30件，求两款商品分别购进的件数；
（2）第一次购进的商品售完后，该网店计划再次购进A、B两款商品共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）春节临近结束时，网店打算把B款商品调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款商品平均每天销售利润为90元？
四．解分式方程（共2小题）
4．（2023•沂源县一模）小明解方程﹣＝1的过程如下：
解：方程两边乘x，得1﹣（x﹣2）＝1．①
去括号，得1﹣x﹣2＝1．②
移项，得﹣x＝1﹣1+2．③
合并同类项，得﹣x＝2．④
解得x＝﹣2．⑤
所以，原分式方程的解为x＝﹣2．⑥
请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
5．（2023•临淄区一模）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
五．解一元一次不等式组（共1小题）
6．（2023•桓台县一模）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
7．（2023•临淄区一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若P为x轴上一点，△ABP的面积为5，求点P的坐标；
（3）结合图象，关于x的不等式kx+b＜的解集为 ．
8．（2023•高青县一模）如图，已知A（﹣2，n），B（1，﹣2）是一次函数y1＝kx+b和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．
七．平行线的判定与性质（共1小题）
9．（2023•高青县一模）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B及∠2的度数．
八．作图—基本作图（共1小题）
10．（2023•淄川区一模）如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM．
（1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2023•周村区一模）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点，过点E作BD的垂线交BD于点P，交AB于点F，连接AP并延长交BC于点G．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若BG＝CE，求∠EPG的度数；
（3）若AB＝6，EG＝1，求△PGE的面积．
一十．解直角三角形（共1小题）
12．（2023•周村区一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，．
（1）求BC的长：
（2）BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
13．（2023•高青县一模）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB＝60°，在B点测得∠MBA＝45°，AB＝800米．
（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）
（2）在B点又测得∠NBA＝53°，求MN的长．（结果精确到1米）
（参考数据：≈1.732，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）
一十二．列表法与树状图法（共3小题）
14．（2023•沂源县一模）在学校“红歌唱响校园”主题活动中，校广播站循环播放了4首红歌：A：《谁不说俺家乡好》，B：《歌唱祖国》，C：《没有共产党就没有新中国》，D：《我的祖国》．为了解学生最喜爱哪首歌，随机抽取部分学生进行调查，绘制了如下不完整的统计图，请结合图中信息回答下列问题：（1）本次抽样调查的学生有 人；
（2）图中：a＝ ，b＝ ，并把条形统计图补充完整；
（3）某同学最喜欢歌曲《我的祖国》，若音乐老师准备在四首歌中任选2首进行教唱，利用列表法或画树状图法，求能选中他喜欢的歌曲的概率．
15．（2023•张店区一模）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的时间不少于1小时．某校为了解学生参加户外活动的情况，对某班学生参加户外活动的时间进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）该班共有 人；户外活动时间的众数是 小时，中位数是 小时；将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生1200人，请根据上述调查结果，估计该校学生中户外活动的时间不少于1小时的学生总人数；
（3）某校园广播站的小记者准备到该班对学生参加户外活动的情况进行调查了解，决定对该班5位同学小明（用A表示）、小刚（用B表示）、小敏（用C表示）、小颖（用D表示）、小亮（用E表示）中的两个进行采访，则恰好采访到小明和小敏的概率是多少？（请用列表法或画树状图的方法说明理由）．
16．（2023•高青县一模）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1180名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•淄川区一模）已知m≠0，n≠0，且，试求代数式的值．
【答案】1．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
∵，
∴原式＝．
二．二次根式的混合运算（共1小题）
2．（2023•沂源县一模）（1）计算：﹣|﹣2|﹣tan30°+（）﹣1；
（2）解不等式：4x﹣2＞3x﹣1．
【答案】（1）2﹣2；
（2）x＞1．
【解答】解：（1）﹣|﹣2|﹣tan30°+（）﹣1
＝﹣2﹣+
＝2﹣2；
（2）4x﹣2＞3x﹣1，
4x﹣3x＞﹣1+2，
x＞1．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
3．（2023•临淄区一模）春节期间，某网店从工厂购进A、B两款商品，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别价格
A款商品
B款商品
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款商品共30件，求两款商品分别购进的件数；
（2）第一次购进的商品售完后，该网店计划再次购进A、B两款商品共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）春节临近结束时，网店打算把B款商品调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款商品平均每天销售利润为90元？
【答案】（1）20件，B款纪念品30件；
（2）当购进40件A款纪念品，160件B款纪念品时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是2520元；
（3）销售价定为每件30元或34元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元．
【解答】解：（1）设购进A款纪念品x件，B款纪念品y件，
依题意得：，
解得：，
答：购进A款纪念品20件，B款纪念品10件；
（2）设购进m件A款纪念品，
则购进（80﹣m）件B款纪念品，
依题意得：30m+25（80﹣m）≤2200，
解得：m≤40，
设再次购进的A、B两款纪念品全部售出后获得的总利润为w元，
则w＝（45−30）m+（37−25）（200−m）＝3m+2400，
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40+2400＝2520，
此时200﹣m＝160．
答：当购进40件A款纪念品，160件B款纪念品时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是2520元；
（3）设B款纪念品的降a元，
则每件的销售利润为（12﹣a）元，平均每天可售出4+2a件，
依题意得：（12﹣a）（4+2a）＝90，
整理得：a2﹣10a+21＝0，
解得：a1＝3，a2＝7．
∴37﹣3＝34或37﹣7＝30
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元．
四．解分式方程（共2小题）
4．（2023•沂源县一模）小明解方程﹣＝1的过程如下：
解：方程两边乘x，得1﹣（x﹣2）＝1．①
去括号，得1﹣x﹣2＝1．②
移项，得﹣x＝1﹣1+2．③
合并同类项，得﹣x＝2．④
解得x＝﹣2．⑤
所以，原分式方程的解为x＝﹣2．⑥
请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
【答案】小明的解法有三处错误：步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥前少“检验”步骤．
【解答】解：小明的解法有三处错误：
步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥前少“检验”步骤．
正确解法：
方程两边同乘x，得1﹣（x﹣2）＝x，
去括号，得1﹣x+2＝x，
移项，得﹣x﹣x＝﹣1﹣2，
合并同类项，得﹣2x＝﹣3，
两边同除以﹣2，得x＝1.5，
经检验，x＝1.5是原方程的解，
∴原方程的解是x＝1.5．
5．（2023•临淄区一模）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）x＝﹣3．
【解答】解：（1）＝＝
（2）方程两边乘x（x﹣3）得：2x＝x﹣3，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时x（x﹣3）≠0．
所以，原分式方程的解为x＝﹣3．
五．解一元一次不等式组（共1小题）
6．（2023•桓台县一模）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】﹣1≤x＜2，数轴见解答过程．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
7．（2023•临淄区一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若P为x轴上一点，△ABP的面积为5，求点P的坐标；
（3）结合图象，关于x的不等式kx+b＜的解集为 0＜x＜2或x＜﹣3 ．
【答案】（1）反比例函数的表达式是y＝，一次函数的表达式是y＝x+1；
（2）点P的坐标是（1，0）或（﹣3，0）；
（3）0＜x＜2或x＜﹣3．
【解答】解：（1）把B（2，3）代入y＝得：m＝2×3＝6，
即反比例函数的表达式是y＝，
把A（﹣3，n）代入y＝得：n＝＝﹣2，
即A（﹣3，﹣2），
把A、B的坐标代入y＝kx+b，得，
解得，
所以一次函数的表达式是y＝x+1；
（2）y＝x+1，
当y＝0时，x＝﹣1，
即直线y＝x+1与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
∵A（﹣3，﹣2），B（2，3），△ABP的面积为5，
∴CP×3+CP×2＝5，
∴CP＝2，
∴点P的坐标是（1，0）或（﹣3，0）；
（3）根据图象可知：关于x的不等式kx+b＜的解集为0＜x＜2或x＜﹣3，
故答案为：0＜x＜2或x＜﹣3．
8．（2023•高青县一模）如图，已知A（﹣2，n），B（1，﹣2）是一次函数y1＝kx+b和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣；y＝﹣x﹣1；
（2）1.5；
（3）﹣2＜x＜0或x＞1．
【解答】解：（1）∵B（1，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝1×（﹣2）＝﹣2，
则反比例函数的解析式是y＝﹣，
当x＝﹣时，y＝n＝1
则A的坐标是（﹣2，1），
根据题意得，
解得：，
则一次函数的解析式是y＝﹣x﹣1．
（2）在y＝﹣x﹣1中，令y＝0，解得x＝﹣1，
则C的坐标是（﹣1，0）
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+＝1.5．
（3）使得kx+b＜成立时，x的取值范围为：﹣2＜x＜0或x＞1；
七．平行线的判定与性质（共1小题）
9．（2023•高青县一模）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B及∠2的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：∵DE∥FC，
∴∠1＝∠BCF．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCF，
∴FG∥BC；
（2）∵在△AFG中，∠A＝60°，∠AGF＝70°，
∴∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGF＝50°．
又由（1）知，FG∥BC，
∴∠B＝∠AFG＝50°，
∵CF⊥AB，DE∥FC，
∴ED⊥AB，
∴∠1＝90°﹣∠B＝40°
∴∠2＝40°．
八．作图—基本作图（共1小题）
10．（2023•淄川区一模）如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM．
（1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：作图，DB、CD为所作；
（2）证明：∵AC平分∠BAM，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AM∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA．
∴∠BAC＝∠BCA．
∴AB＝BC，
同理可证：AB＝AD．
∴AD＝BC．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形．
九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2023•周村区一模）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点，过点E作BD的垂线交BD于点P，交AB于点F，连接AP并延长交BC于点G．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若BG＝CE，求∠EPG的度数；
（3）若AB＝6，EG＝1，求△PGE的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）22.5°；
（3）1或．
【解答】（1）证明：∵EF⊥BD于P，
∴∠EPB＝∠FPB＝90°．
在正方形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴∠PFB＝∠PBF＝45°，∠PEB＝∠PBE＝45°．
∴PF＝PB，PE＝PB．
∴PE＝PF；
（2）解：过点P作PM⊥AG交AB于M，
∴∠MPG＝∠EPB＝90°．
∴∠EPG＝∠BPM．
∵∠PEG＝45°，∠PBM＝45°，
∴∠PEG＝∠PBM．
在△EPG和△BPM中，
，
∴△EPG≌△BPM（ASA），
∴EG＝BM．
∵∠BFP＝∠BEP＝45°，
∴BF＝BE．
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，BF﹣BM＝BE﹣GE，
∴AF＝CE，FM＝BG．
∵BG＝CE，
∴AF＝FM．
∵∠APM＝90°，
∴，
∴，
∴∠EPG＝22.5°；
（3）解：过点F作FH∥BC交AG于H，
∴∠HFP＝∠GEP，∠HPF＝∠GPE．
在△FHP和△EGP中，
，
∴△FHP≌△EGP（ASA），
∴FH＝EG＝1．
又∵∠AFH＝∠ABG，∠FAH＝∠BAG，
∴△AFH∽△ABG，
∴．
设CE＝x，则BG＝5﹣x，AF＝CE＝x，
∴，
解得x1＝2，x2＝3，
∴BE＝4或3，
作PN⊥BC于N，
∵∠BPE＝90°，PE＝PB，
∴点N为BE的中点，
∴，
∴PN＝2或．
∵，
∴S△PGE＝1或．
一十．解直角三角形（共1小题）
12．（2023•周村区一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，．
（1）求BC的长：
（2）BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长．
【答案】（1）8；（2）．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于D，
∴．
∴AD＝AB•sin∠ABC＝5×＝3，
∴．
∵AB＝AC，
∴BC＝2BD＝8．
（2）补全图形，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴．
∵BE⊥AC于E，，
∴BE＝BC•sin∠ECD＝8×＝．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
13．（2023•高青县一模）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB＝60°，在B点测得∠MBA＝45°，AB＝800米．
（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）
（2）在B点又测得∠NBA＝53°，求MN的长．（结果精确到1米）
（参考数据：≈1.732，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）
【答案】（1）1200﹣400；（2）127m．
【解答】解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，
∵MD⊥AB，
∴∠MDA＝∠MDB＝90°，
∵∠MAB＝60°，∠MBA＝45°，
∴在Rt△ADM中，；
在Rt△BDM中，，
∴，
∵AB＝800m，
∴AD+BD＝800m，
∴AD+＝800，
∴AD＝（400）m，
∴BD＝MD＝（1200﹣400）m，
∴点M到AB的距离＝（1200﹣400）m．
（2）过点N作NE⊥AB于点E，
∵MD⊥AB，NE⊥AB，
∴MD∥NE，
∵AB∥MN，
∴四边形MDEN为平行四边形，
∴NE＝MD＝（1200﹣400）m，MN＝DE，
∵∠NBA＝53°，
∴在Rt△NEB中，，
∴BE≈（900﹣300）m，
∴MN＝AB﹣AD﹣BE≈300﹣100≈127m．
一十二．列表法与树状图法（共3小题）
14．（2023•沂源县一模）在学校“红歌唱响校园”主题活动中，校广播站循环播放了4首红歌：A：《谁不说俺家乡好》，B：《歌唱祖国》，C：《没有共产党就没有新中国》，D：《我的祖国》．为了解学生最喜爱哪首歌，随机抽取部分学生进行调查，绘制了如下不完整的统计图，请结合图中信息回答下列问题：（1）本次抽样调查的学生有 60 人；
（2）图中：a＝ 30 ，b＝ 20 ，并把条形统计图补充完整；
（3）某同学最喜欢歌曲《我的祖国》，若音乐老师准备在四首歌中任选2首进行教唱，利用列表法或画树状图法，求能选中他喜欢的歌曲的概率．
【答案】（1）60；
（2）30，20；
（3）．
【解答】解：（1）6÷10%＝60（人），
故答案为：60；
（2）∵a%＝18÷60×100%＝30%，
∴a＝30，
∵D的人数为60×40%＝24（人），
∴C的人数为60﹣18﹣6﹣24＝12（人），
∴b%＝12÷60×100%＝20%，
∴b＝20，
条形统计图如图：
故答案为：30，20；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，某同学最喜欢歌曲《新征程》，能选中他喜欢的歌曲的结果有6个，
∴某同学最喜欢歌曲《新征程》，能选中他喜欢的歌曲的概率为＝．
15．（2023•张店区一模）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的时间不少于1小时．某校为了解学生参加户外活动的情况，对某班学生参加户外活动的时间进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）该班共有 50 人；户外活动时间的众数是 1 小时，中位数是 1 小时；将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生1200人，请根据上述调查结果，估计该校学生中户外活动的时间不少于1小时的学生总人数；
（3）某校园广播站的小记者准备到该班对学生参加户外活动的情况进行调查了解，决定对该班5位同学小明（用A表示）、小刚（用B表示）、小敏（用C表示）、小颖（用D表示）、小亮（用E表示）中的两个进行采访，则恰好采访到小明和小敏的概率是多少？（请用列表法或画树状图的方法说明理由）．
【答案】（1）50；1；1；补全条形统计图见解答．
（2）960人．
（3）．
【解答】解：（1）该班共有10÷20%＝50（人），
户外活动时间的众数是1小时，
中位数是1小时，
故答案为：50；1；1．
每天参加户外活动的时间为1.5小时的人数为50×24%＝12（人）．
补全条形统计图如图．
（2）1200×＝960（人）．
∴该校学生中户外活动的时间不少于1小时的学生总人数约为960人．
（3）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好采访到小明和小敏，即A和C的结果有2种，
∴恰好采访到小明和小敏的概率为＝．
16．（2023•高青县一模）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 200 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1180名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
【答案】（1）200；
（2）见解答；
（3）472名；
（3）．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生为：40÷＝200（名），
故答案为：200；
（2）C的人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（名），
补全条形统计图如下：
（3）1180×＝472（名），
答：估计参加B项活动的学生为472名；
（4）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为＝．
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